《向量的線性運(yùn)算》同步作業(yè)

6.1.5向量的線性運(yùn)算(建議用時(shí)：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．化簡(jiǎn)：3(2a＋b)＋2(4a＋2b)＝()A．7a＋4b B．14a＋4bC．7a＋14b D．14a＋7b答案D解析原式＝6a＋3b＋8a＋4b＝14a＋7b.故選D.2．已知向量a，b不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為()A．3 B．－3C．0 D．2答案A解析∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3.))∴x－y＝3.3.如圖所示,向量,,的終點(diǎn)A,B,C在一條直線上,且=-3.設(shè)=p,=q,=r,則以下等式中成立的是 ()A.r=-p+q B.r=-p+2qC.r=p-q D.r=-q+2p答案C解析因?yàn)?+,=-3=3,所以=,所以=+=+(-).所以r=q+(r-p).所以r=-p+q.4.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D答案A解析=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2,所以,共線,且有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線.5．以下選項(xiàng)中，a與b不一定共線的是()A．a(chǎn)＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a(chǎn)＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2C．a(chǎn)＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a(chǎn)＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.答案C解析找出一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ使得a＝λb即可判斷a∥b.A項(xiàng)中a＝－eq\f(1,2)b；B項(xiàng)中a＝4b；D項(xiàng)中a＝－eq\f(3,2)b，故A，B，D三項(xiàng)中a∥b，而C項(xiàng)中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C項(xiàng)a與b不一定共線，故選C.二、填空題6.如圖正方形ABCD中,點(diǎn)E是DC的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn),則=________(用向量,表示).

答案:-解析=+=+=-.答案:-7．已知A，B，C是三個(gè)不同的點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－3b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝3a－5b，則A，B，C三點(diǎn)________．(填寫“共線”或“不共線”)答案：共線8.已知向量a,b是兩個(gè)非零向量,在下列條件中,能使a,b共線的是________.

①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在相異實(shí)數(shù)λ,μ,使λa+μb=0;③xa+yb=0(實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=0);④已知在梯形ABCD中,=a,=b.【解析】①由已知條件得,10a-b=0,故滿足條件;②顯然滿足條件;對(duì)于③,當(dāng)x+y=0時(shí),a,b不一定共線;④中,若AB∥CD,則a,b共線,若AD∥BC,則a,b不共線.答案:①②三、解答題9．設(shè)x，y是未知向量．(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－y＝a，,x－\f(1,2)y＝b.))解(1)原方程可變?yōu)?x＋5a＋3x－3b＝0，即8x＝－5a＋3b，∴x＝－eq\f(5,8)a＋eq\f(3,8)b.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－y＝a，①,x－\f(1,2)y＝b.②))－2×①＋②，得eq\f(3,2)y＝－2a＋b，∴y＝－eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b.代入②，得x＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)a＋\f(4,3)b，,y＝－\f(4,3)a＋\f(2,3)b.))10．設(shè)兩個(gè)非零向量e1，e2不共線，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A，B，D三點(diǎn)共線，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．解：設(shè)存在k∈R，使得A，B，D三點(diǎn)共線．因?yàn)閑q\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2.又因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(DB,\s\up6(→))，所以2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝－λ，,k＝4λ，))所以k＝－8，所以存在k＝－8，使得A，B，D三點(diǎn)共線．[等級(jí)過關(guān)練]1.(2019懷化高一檢測(cè))已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,滿足++=,則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系為 ()A.P在△ABC內(nèi)部B.P在△ABC外部C.P在AB邊所在直線上D.P是AC邊的三等分點(diǎn)【解析】選D.因?yàn)?-,所以++=-,即2+=0,即=2,故=,所以點(diǎn)P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn).2.O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ,λ∈[0,+∞),則P的軌跡一定通過△ABC的 ()A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心【解析】選B.如圖,為上的單位向量,為上的單位向量,則+的方向?yàn)椤螧AC的平分線的方向.又λ∈[0,+∞),所以λ的方向與+的方向相同.=+λ,所以點(diǎn)P在上移動(dòng).所以P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.3．D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正確命題的序號(hào)為________．答案①②③④解析如圖，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝b＋eq\f(1,2)(－b－a)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.4．設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－3eq\o(OB,\s\up6(→))，則△AOB與△AOC的面積之比為________．答案1∶3解析如圖，由平行四邊形法則，知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，其中E為AC的中點(diǎn)．所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))＝－3eq\o(OB,\s\up6(→)).所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up6(→))，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(OE,\s\up6(→))|.設(shè)點(diǎn)A到BD的距離為h，則S△AOB＝eq\f(1,2)|eq\o(OB,\s\up6(→))|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|eq\o(OE,\s\up6(→))|·h.所以eq\f(S△AOB,S△AOC)＝eq\f(\f(1,2)|\o(OB,\s\up6(→))|·h,|\o(OE,\s\up6(→))|·h)＝eq\