固體物理第二章4

固體的彈性性質(zhì)：固體的范性性質(zhì)：假設(shè)無(wú)形變的晶體內(nèi)部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒子偏離原來(lái)的平衡位置。由于晶體結(jié)構(gòu)的各向異性，各方向上粒子偏移程度不同，從而使宏觀的形變各向異性；---------------晶體內(nèi)部粒子沿各方向偏移程度的差異，使粒子恢復(fù)到原來(lái)平衡位置所產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力也隨方向不同。顯然，晶體的彈性性質(zhì)也是各向異性的，需要用張量來(lái)描述。§2.8應(yīng)力、應(yīng)變、胡克定律稱為并矢，作為張量的9個(gè)基。一般張量可寫為張量：（二階）張量是具有9個(gè)分量的物理量。設(shè)直角坐標(biāo)系的單位基矢量為張量的9個(gè)分量寫為用矩陣表示一、應(yīng)力張量1、應(yīng)力定義：固體受到外力時(shí)，內(nèi)部產(chǎn)生的抵抗形變的彈性恢復(fù)力。彈性恢復(fù)力：物體受外力作用發(fā)生形變，分子（質(zhì)點(diǎn)）就偏離其平衡位置。此時(shí)每個(gè)分子受周圍分子的作用產(chǎn)生—個(gè)趨向于使其恢復(fù)到平衡位置的力。

一個(gè)物體處于受力狀態(tài)，一般有兩種情況：*

物體整個(gè)體積受力并且力的大小與物體的體積成正比，這稱為徹體力，例如重力；*另一種情況是物體受到壓縮、拉伸或扭轉(zhuǎn)、彎曲的作用而發(fā)生形變時(shí)，在物體內(nèi)部的任一部分和它周圍相鄰部分之間將產(chǎn)生相互作用力，這種力的大小與相接觸部分表面積的大小成正比，而力與面積之比就稱為應(yīng)力。即在固體形變時(shí)，作用在固體中單位面積上的力。

應(yīng)力定義：直角坐標(biāo)系中，（x,y,z）點(diǎn)，以x,y,z為外法線的面積元上的應(yīng)力分別為yySTD-

此處i,j=x,y,z

第一下標(biāo)i表示應(yīng)力的方向，第二下標(biāo)j表示應(yīng)力所作用的面的法向。作用在立方體上的應(yīng)力張量元

例如作用在垂直于X軸的單位面積上沿X方向的應(yīng)力是Txx

。這類應(yīng)力是垂直于表面的，稱為正應(yīng)力，代表張力或壓力;

作用在垂直于X軸的單位面積上沿Y方向的應(yīng)力是Tyx

。這類應(yīng)力是沿著表面的，即平行于表面的切向，代表切應(yīng)力。應(yīng)力張量矩陣表達(dá)式晶體中某點(diǎn)(x.y.z)的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)9個(gè)應(yīng)力分量用矩陣表示，即作用在立方體上的應(yīng)力張量元

在靜力平衡條件下，內(nèi)應(yīng)力作用在物體上的總力矩等于零。物理意義：當(dāng)不存在體積轉(zhuǎn)矩時(shí)，在相互垂直的面上，垂直于該二面交線的切應(yīng)力相等。即，應(yīng)力張量是對(duì)稱的二級(jí)張量，它只有六個(gè)獨(dú)立的張量元。常用符號(hào)Th代表應(yīng)力分量：作用在單位體積元上的力與應(yīng)力張量元的關(guān)系如圖所示，沿x方向力的分量有三個(gè)：三式相加，可得作用在體積元ΔxΔyΔz上的力的x分量為：作用在體積元上的應(yīng)力作用在單位體積上的力的x分量為：作用在體積元上的應(yīng)力同理，可得作用在單位體積上的力的y、z分量：二、應(yīng)變張量當(dāng)晶體形變時(shí)，晶體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離都會(huì)發(fā)生形變:

介質(zhì)間發(fā)生的相對(duì)位移，稱之為應(yīng)變。如圖，在固體中取xy平面，P為任一點(diǎn)，PA＝Δx，PB＝Δy，PA平行x軸，PB平行于y軸，由于形變，P，A，B三點(diǎn)分別移到質(zhì)點(diǎn)位移表示計(jì)算沿坐標(biāo)軸方向線元的伸縮形變：

線段在長(zhǎng)度方向上的相對(duì)伸長(zhǎng)（或縮短）量稱為正應(yīng)變，

PA的正應(yīng)變?yōu)椋篜B線段的正應(yīng)變坐標(biāo)軸間夾角的變化：從圖可知，PA、PB線段發(fā)生正應(yīng)變的同時(shí)，其方向也發(fā)生了變化:PA轉(zhuǎn)過(guò)的角度為PB轉(zhuǎn)過(guò)的角度為定義：PA與PB線段的偏轉(zhuǎn)角之和為切應(yīng)變同理，對(duì)于yz和xz平面，可求得由以上可知，某一點(diǎn)的應(yīng)變有9個(gè)分量，用矩陣表示，則為應(yīng)變張量是個(gè)對(duì)稱二級(jí)張量，只有6個(gè)獨(dú)立的元。如果把雙下標(biāo)按下列對(duì)應(yīng)關(guān)系換成單下標(biāo)并規(guī)定：

則與應(yīng)變有關(guān)的許多公式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，運(yùn)算中，應(yīng)變張量常被寫成一個(gè)六元縱列矩陣。三、胡克定律、晶體彈性模量胡克定律指出，在彈性形變下，應(yīng)力與應(yīng)變存在線性關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：可以寫成矩陣的形式或統(tǒng)一表示為：系數(shù)cλμ稱為晶體的彈性模量。我們也可以把晶體的應(yīng)變和應(yīng)力的關(guān)系寫成如下形式：系數(shù)Sλμ稱為彈性系數(shù)，從上面兩式可以看出，彈性模量張量和彈性系數(shù)張量是互逆的，即：四、彈性模量的對(duì)稱性

通過(guò)求解晶體的應(yīng)變能（應(yīng)力作功使晶體的位能增加量），可以證明，cλμ具有交換腳標(biāo)的對(duì)稱性，即：

cλμ

＝cμλ因此，矩陣（C）為一對(duì)稱矩陣，只有21個(gè)獨(dú)立元素。如果晶體具有對(duì)稱性，獨(dú)立元素的數(shù)目還要減少。對(duì)六角晶系，只剩下五個(gè)獨(dú)立的晶體張量元；而對(duì)稱性最大的立方晶系，如果將坐標(biāo)軸取作立方體軸，矩陣只有三個(gè)不為零的矩陣元。下面，我們以立方晶系為例，通過(guò)變換下標(biāo)的方法來(lái)說(shuō)明。以三個(gè)4度軸為坐標(biāo)軸，先繞z軸轉(zhuǎn)90度，則坐標(biāo)將按以下方式變換：或簡(jiǎn)寫為：于是在四個(gè)下標(biāo)的四階張量中，下標(biāo)的變換方式如下：注意：彈性模量是四階張量，具有四個(gè)下標(biāo)，它的前兩個(gè)下標(biāo)和后兩個(gè)下標(biāo)分別具有對(duì)稱性，因此我們通常采用以下方法簡(jiǎn)化下標(biāo)來(lái)代替雙下標(biāo)，對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：xy于是彈性模量中21個(gè)獨(dú)立分量的下標(biāo)，將發(fā)生如下變換：用簡(jiǎn)化下標(biāo)時(shí)：此處略去左下方的一半，因?yàn)樗菍?duì)稱的。由于是對(duì)稱操作，變換前后的各對(duì)應(yīng)項(xiàng)應(yīng)相等，從而有：項(xiàng)不變；最后得矩陣形式為：然后再繞y軸或x軸旋轉(zhuǎn)90度，坐標(biāo)變換分別按以下方式變換：則有：其余各項(xiàng)為零。

于是，立方晶系中的彈性模量的獨(dú)立分量再次減少到3個(gè)，其完整的矩陣形式為§2.9彈性動(dòng)力學(xué)方程、彈性波

一、彈性動(dòng)力學(xué)方程（彈性波通過(guò)晶體時(shí)，晶體中單位體積元的運(yùn)動(dòng)方程）前面我們導(dǎo)出過(guò)作用在單位體積上的力的x、y、z方向的分量為：彈性波通過(guò)晶體時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：彈性波通過(guò)晶體時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：式中ρ代表晶體密度，u、v、w代表晶體中質(zhì)粒位移沿主軸x、y、z方向的分量。根據(jù)應(yīng)力分量符號(hào)，上式可以寫為上式稱為彈性動(dòng)力學(xué)方程。二、彈性波求解在各向異性結(jié)構(gòu)中的晶體中，彈性波在不同方向上的傳播情況是不同的。假設(shè)有一沿R＝（l，m，n）方向傳播的彈性波，它的方向余弦為l,m,n，在這方向上某點(diǎn)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P（x、y、z）同原點(diǎn)的距離為：我們研究該方向上P點(diǎn)處的應(yīng)變Sn:由應(yīng)變張量元公式將胡克定律和上式代入動(dòng)力學(xué)方程（3）式

式中Γij稱為克利斯托夫模量，共有九個(gè)分量，但Γij＝Γji，故獨(dú)立分量只有6個(gè)，其具體表達(dá)式為：

上式是一個(gè)波動(dòng)方程，其特解可用晶體中傳播的聲波（平面波）來(lái)表示。為便于記憶和運(yùn)算，［Γij］也可以寫成矩陣形式：

克利斯托夫模量只是彈性波的傳播方向R（l、m、n）和晶體彈性模量的函數(shù)，它具有彈性模量的量綱。設(shè)表示沿R傳播的波在晶體中所引起的彈性位移矢，分量為位移矢的方向余弦為把上式代入波動(dòng)方程（4）得這就是沿R方向傳播的彈性波方程。為有效彈性模量。那么的長(zhǎng)度為把（6）式代入波動(dòng)方程（4）得同理有效彈性模量與克利斯托夫模量關(guān)系為使該線性方程組具有非零解，必須滿足如下久期方程：它必需滿足如下方程組：對(duì)應(yīng)這三個(gè)波，質(zhì)粒分別有相應(yīng)的三個(gè)位移。的傳播聲速為由此可知，一般情況下有三個(gè)解，它們對(duì)應(yīng)三個(gè)不同的波，其對(duì)應(yīng)例：討論立方晶系的晶體中沿［100］方向傳播的聲波。解：當(dāng)聲波沿［100］方向傳播時(shí)，立方晶系只有三個(gè)獨(dú)立的彈性模量，其矩陣形式如下：因此由克利斯托夫模量表達(dá)式可以算得：這時(shí)久期方程式變?yōu)椋寒?dāng)聲波沿［100］方向傳播時(shí)，可解得代入（7）式得三個(gè)彈性波的波速和對(duì)應(yīng)的質(zhì)粒位移方向：v1對(duì)應(yīng)的聲波使質(zhì)點(diǎn)沿方向振動(dòng)。-----縱波1）v2對(duì)應(yīng)的聲波使質(zhì)點(diǎn)沿方向振動(dòng)。----橫波2）v3對(duì)應(yīng)的聲波使質(zhì)點(diǎn)沿方向振動(dòng)。----橫波3）從以上討論可以看出，某方向傳播的彈性波，一般有三個(gè)模式，其中一個(gè)波的位移方向和波矢方向R相同，稱為縱波；而另兩個(gè)波的位移方向垂直于波矢方向，則稱為橫波。例題:已知某晶體中相鄰兩原子間的互作用勢(shì)能可表示成（1）求出平衡時(shí)，兩原子間的距離。（2）平衡時(shí)的結(jié)合能。（3）若取m=2,n=10,兩原子間的平衡距離為3埃，每個(gè)原子的離解能為4eV，計(jì)算A及B的值。（4）如果平衡時(shí)晶體的體積為V0，結(jié)合能為E0，求出晶體的體彈性模量。（5）晶體在平衡時(shí)，原子之間具有量值相等、方向相反的吸引力和排斥力，求出平衡時(shí)，原子間的吸引力（排斥力）的量值。解：（1）平衡時(shí)，要求互作用勢(shì)能取極小值，所以由上式可以求得平衡時(shí)兩原子間的距離（2）平衡時(shí)的結(jié)合能即為

離解能就是晶體全部解離成各個(gè)原子狀態(tài)所需要的參量。因此，離解能實(shí)際上即是該晶體的結(jié)合能Eb。如果只計(jì)及最近鄰原子間的互作用勢(shì)能，則（3）已知m=2，n=10，已知每個(gè)原子的離解能因此因此把上述數(shù)值分別代入（2）和（3）式，可得即由（6）式即可得把A的數(shù)值代入（5）式，即得（4）體彈性模量和晶體總互作用勢(shì)能關(guān)系為如果只計(jì)及最近鄰的原子間互作用勢(shì)能，則有因?yàn)橄噜徳娱g的距離為r，所以晶體的體積

這里α是與晶體的原子幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)的系數(shù)，對(duì)于簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)，α＝1，因此根據(jù)（9）式，所以根據(jù)（8）式，把（2）式代入，可得把（11）、（12）代入（10）式，得到因?yàn)槠胶鈺r(shí)的結(jié)合能為E0，所以根據(jù)（3）及（4）式即把上式代入（13）式，并利用則可得（5）平衡時(shí)，原子間的吸引力（排斥力）的量值在互作用勢(shì)能表達(dá)式中，第一項(xiàng)相應(yīng)于吸引勢(shì)，第二項(xiàng)相應(yīng)于排斥勢(shì)，即吸引勢(shì)及排斥勢(shì)分別為因此吸引力及排斥力應(yīng)為在平衡時(shí)，它們的值分別為第二章要點(diǎn)1、晶體結(jié)合的基本類型晶體中原子的相互作用稱為鍵，晶體結(jié)合按鍵的性質(zhì)主要有以下幾種：離子鍵、共價(jià)健、金屬鍵、范德瓦爾斯鍵和氫鍵。2、結(jié)合能（1）定義：原子結(jié)合成晶體后釋放的能量E0：晶體的總能量（內(nèi)能）EN：是組成該晶體的N個(gè)原子在自由狀態(tài)時(shí)的總能量（2）相互作用