第07章：幾何建模與實體造型2014

第7章幾何建模與實體造型7.1幾何建模和造型技術(shù)概述幾何建模(GeometryModeling也稱為產(chǎn)品幾何造型)：研究如何采用數(shù)學(xué)方法在計算機中表示物體的形狀、大小、位置和結(jié)構(gòu)等屬性及其相互關(guān)系，以便在計算機中建立產(chǎn)品對象的幾何模型(GeometricModel)。以產(chǎn)品實體造型建立的三維幾何模型為基礎(chǔ)，可以進一步進行運動學(xué)和動力學(xué)分析、模擬裝配、運動仿真、干涉檢查、數(shù)控程編以及加工模擬等，因此幾何建模技術(shù)在很大程度上決定了CAD/CAM系統(tǒng)的技術(shù)水平。7.2產(chǎn)品建模與造型的基礎(chǔ)知識對一個形體的表達和描述是建立在對其幾何信息和拓撲信息處理的基礎(chǔ)上的。幾何信息指一個形體在歐氏空間中的形狀、大小和位置信息拓撲信息用來表達形體各個組成部分間的相互關(guān)系。7.2.1形體的定義為了完整地描述一個形體，形體的幾何模型應(yīng)當(dāng)同時包括產(chǎn)品對象的幾何信息和拓撲信息這兩個方面的信息。三維形體的幾何信息和拓撲信息拓撲結(jié)構(gòu)等價的兩個幾何形體形體的定義除了幾何信息和拓撲信息外，形體的非幾何信息主要包括形體的物理屬性和工藝屬性，如形體的質(zhì)量、性能參數(shù)、公差、加工粗糙度和技術(shù)要求等信息。為了滿足CAD/CAM系統(tǒng)集成的要求，非幾何信息的描述和表示顯得越來越重要。三維形體的層次結(jié)構(gòu)任何一三維形體都可以由空間封閉面組成，面由一個或多個封閉環(huán)確定，而環(huán)又是由一組相鄰的邊組成，邊由兩點確定，點是最基本的拓撲信息，這種由點、邊、環(huán)、面和實體等形成的層次結(jié)構(gòu)，實際上反映了形體的幾何信息以外的拓撲信息。1980年國際計算機輔助制造協(xié)會CAM-I在其所制定的有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中，規(guī)定了三維形體的層次結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)模型標(biāo)準(zhǔn)。三維形體的層次結(jié)構(gòu)1.點(Vertex)點是零維幾何元素，也是幾何造型中最基本的元素，任何形體都可用有序的點集來表示。從拓撲關(guān)系上，點是邊的端點，通常所說的點包括端點、交點、切點、頂點和孤立點等。拓撲意義上的點可以對應(yīng)幾何意義上的坐標(biāo)點、直線的端點、圓弧的端點或空間參數(shù)曲線的控制點等。1.點(Vertex)二維坐標(biāo)系中的點可用二維直角坐標(biāo)(x，y)或參數(shù)坐標(biāo)(x(t)，y(t))來表示，三維空間中的點可用三維直角坐標(biāo)(x,y,z)或參數(shù)坐標(biāo)(x(t)，y(t)，z(t))來表示。一般地，N維空間中的點在齊次坐標(biāo)系下可用由N+1個分量組成的向量來表示。點一般不能離開一個形體而孤立地存在。在自由曲線及曲面中還常用到三種類型的點，即控制點、型值點和插值點。2.邊(Edge)邊是一維幾何元素，通常它是兩個鄰面的交線，直線邊(Line)由兩個端點確定，而曲線邊(Curve)由一系列型值點(如插值曲線)或控制點來描述(如Beizer曲線)，也可用曲線方程來表示。邊可以規(guī)定其方向從而成為有向邊，在一個給定的面中一般規(guī)定邊的逆時針方向為其正方向。在相鄰的兩個面中邊的方向是相反的。對于直線邊它的方向也可以指定為由起點指向終點。在相鄰的兩個面中邊的方向相反3.環(huán)(Loop)環(huán)是有序、有向邊組成的面的封閉邊界，環(huán)有內(nèi)外之分.確定面最大外邊界的環(huán)稱為面的外環(huán)，構(gòu)成外環(huán)的邊以逆時針方向為其正方向確定面中內(nèi)孔或凸臺等邊界的環(huán)稱為面的內(nèi)環(huán)，與外環(huán)方向相反，構(gòu)成內(nèi)環(huán)的邊以順時針方向為正方向。根據(jù)定義，在面上沿一個環(huán)前進時，其左側(cè)總是面內(nèi)，而右側(cè)總是面外。另外環(huán)中各邊不能自交，環(huán)的相鄰兩邊共享一個端點。由環(huán)構(gòu)成面的兩種情況4.面(Face)面是形體上一個有限、非零的區(qū)域。面可以對應(yīng)幾何意義上的平面、圓柱面、直紋面或參數(shù)曲面等，幾何造型系統(tǒng)常用的面還包括平面、二次曲面和三次參數(shù)曲面等。從拓撲結(jié)構(gòu)上，面可由一個外環(huán)和若干個內(nèi)環(huán)來界定其范圍，面也可以無內(nèi)環(huán)，但至少必須有一個外環(huán)來確定其外邊界。4.面(Face)由于區(qū)分面的正、反向在面面求交、交線分類、真實圖形顯示等應(yīng)用中是十分重要的，因此要區(qū)分面的方向，一般用其外法矢方向(即指向形體外部且與面正交的方向)作為面的正方向。5.體(Object)體或稱形體(Shape)由有限個封閉的邊界面圍成的非零空間區(qū)域，即三維空間中非空、有界的封閉子集，其邊界是有限面的并集。為保證幾何造型的可靠性和可加工性，要求形體上任意一點的足夠小的鄰域在拓撲上應(yīng)是一個等價的封閉圓，即圍繞該點的形體鄰域在二維空間中可構(gòu)成一個連通域，把滿足這一定義的形體稱之為正則形體。不滿足上述要求的形體稱為非正則形體非正則形體就是維數(shù)不一致的形體。非正則形體的例子形體的正則集合運算幾何建模中形體的正則集合運算(BooleanSetOperations)的理論依據(jù)是集合論中的交(Intersection)、并(Union)和差(Difference)等集合運算，在基本體素的基礎(chǔ)上通過集合運算就可以由簡單形體構(gòu)造出各種復(fù)雜的形體。形體的正則集合運算三種基本集合運算的定義如下：交集：C＝A∩B＝B∩A，形體C包含所有A與B的共同點；并集：C＝A∪B＝B∪A，形體C包含A與B的所有點；差集：C＝A－B，形體C包含從A中減去A和B共同點的其余點；幾何造型中集合運算的定義集合運算實例7.3.1線框模型線框模型(WireframeModel)是二維工程圖的直接延伸，它在二維圖形繪制的基礎(chǔ)上增加了用于表示深度的Z坐標(biāo)，即把原來的平面直線和圓弧擴展到空間直線和圓弧，采用它們來表示形體的邊界和外部輪廓。7.3線框模型、表面模型和實體模型單位立方體的頂點、棱線和面線框模型單位立方體是由6個表面形成，每個面由四條棱邊構(gòu)成，每條棱邊通過兩個端點來定義，這種關(guān)系形成一種樹狀結(jié)構(gòu)。線框模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于正確地描述每一線框的棱邊在計算機內(nèi)部以點表和邊表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來表示和存儲，點表描述了每個頂點的編號和坐標(biāo)，而邊表則給出了每條棱邊的編號及其起點和終點的編號。單位立方體的線框模型線框模型線框模型具有很好的交互作圖功能，用于構(gòu)圖的圖素是點、線、圓、圓弧和B樣條曲線等。線框模型所含的數(shù)據(jù)量較少，模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和處理算法也比較簡單和易于掌握，對計算機硬件的要求不高，運算速度快線框模型符合長期以來工程設(shè)計人員的設(shè)計習(xí)慣，通過線框模型可以方便地生成物體的工程圖、軸側(cè)圖和透視圖。線框模型的特點只能提供一個鐵絲籠似的框架，無法描述曲面輪廓投影線等重要信息，也不能給出輪廓線內(nèi)有關(guān)面的信息，所以有時除了設(shè)計者之外，別人很難對圖形作出唯一的解釋。線框模型的特點在線框模型的數(shù)據(jù)模型中缺少關(guān)于形體面和體的拓撲信息線框模型不能利用有關(guān)算法消除隱線，不能生成形體的剖視圖，不能計算物體的體積、面積、重量和慣性矩等物性特征，也不能進行面的求交運算或生成刀具運動軌跡。在現(xiàn)代三維實體造型系統(tǒng)中，仍然需要引入線框模型以協(xié)助實體模型的建立。形體線框模型的二義性1.曲面模型的概念曲面模型(SurfaceModel)又稱為表面模型，它是通過對物體各表面或曲面進行描述的一種三維形體構(gòu)造模型，主要適用于其表面不能用簡單的數(shù)學(xué)模型進行描述的物體，如飛機、汽車等的一些復(fù)雜外形表面。曲面模型在線框模型的基礎(chǔ)上增加了有關(guān)面與邊的拓撲信息，即同時給出了頂點的幾何信息、邊與頂點以及面與邊之間的拓撲信息。7.3.2曲面模型單位立方體的表面模型曲面模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)要在線框模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加面的有關(guān)信息與連接指針，單位立方體的曲面模型由六個邊界平面圍成的一個封閉空間來定義的，這些平面可分別由組成這個面的四條棱邊來定義。2.曲面造型的幾種常用方法根據(jù)曲面特征的不同，曲面造型中的曲面主要包括兩種基本類型，即幾何圖形曲面(GeometricalSurfaces)和自由型曲面(FreeformSurfaces)。幾何圖形曲面是指那些具有固定幾何形狀的曲面，如球面、圓錐面、牽引曲面(DraftSurfaces)和旋轉(zhuǎn)曲面(RevolvedSurfaces)等。自由型曲面主要包括各種二維和三維掃描曲面(SweepSurfaces)、孔斯曲面、Bezier曲面、B樣條曲面和NURBS曲面等。1)掃描曲面根據(jù)掃描方法的不同，掃描曲面(SweptSurface)又可進一步分為：旋轉(zhuǎn)掃描曲面軌跡掃描曲面通過掃描可以形成以下幾種曲面形式：(1)線性拉伸面(2)旋轉(zhuǎn)面(3)掃成面掃描曲面(1)線性拉伸面線性拉伸面是由一條曲線(母線)沿著某個直線方向移動而形成的曲面。(2)旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面是由一條曲線(母線)繞某個給定的軸線，按給定的旋轉(zhuǎn)半徑旋轉(zhuǎn)一定的角度而掃描成的曲面。旋轉(zhuǎn)面(3)掃成面掃成面是由一條曲線(母線)沿著另一條或多條軌跡曲線掃描而成的面。掃成面直紋面和復(fù)雜曲面2)直紋面直紋面(RuledSurface)是以直線為母線，直線的兩個端點在同一方向上分別沿著兩條軌跡曲線移動所生成的曲面。圓柱面、圓錐面都是典型的直紋面。3)復(fù)雜曲面復(fù)雜曲面(ComplexSurface)的基本生成原理是：先確定曲面上特定的離散點(型值點)的坐標(biāo)位置，通過擬合使曲面通過或逼近給定的型值點從而得到相應(yīng)的曲面。一般地，曲面的參數(shù)方程不同，就可以得到不同類型及特性的曲面。常見的復(fù)雜曲面有：孔斯(Coons)曲面貝塞爾(Bezier)曲面B樣條(B-spline)曲面7.3.3實體模型實體造型(SolidModeling)也稱三維立體造型，是造型技術(shù)的高級形式，它是20世紀70年代后期開始發(fā)展起來的方法，具有完整性、清晰性和準(zhǔn)確性，是目前三維CAD/CAM系統(tǒng)所普遍采用的幾何建模方法。7.3.3實體模型實體模型(SolidModeling)不但能夠在計算機屏幕上直觀地顯示產(chǎn)品對象的三維形體，而且能夠表示形體的大小、外形、色澤、內(nèi)外、體積、重心和轉(zhuǎn)動慣量等物性，是CAD/CAM設(shè)計系統(tǒng)中設(shè)計對象的主要表達形式。實體模型還是進一步對設(shè)計對象進行工程分析的基礎(chǔ)，通過實體模型可以在其他軟件模塊中進行應(yīng)力、應(yīng)變、穩(wěn)定性和振動等分析，因此實體模型是產(chǎn)品設(shè)計自動化的基礎(chǔ)。實體模型在實體模型的構(gòu)造過程中，一個三維實體被看作是由一組有規(guī)則的基本幾何體組成的，這些基本幾何體稱為體素(Primitive)，如立方體、圓柱體、錐體和球體等。雖然每個體素的計算機表示并不困難，但由體素組成零件時，體素之間的組合關(guān)系卻千變?nèi)f化，因此實體造型的核心問題是采用什么方法來表示這些基本體素間的關(guān)系。實體模型與線框造型相比，實體造型能準(zhǔn)確地定義一個物體的幾何形狀，不會產(chǎn)生二義性。利用實體造型也可以對十分復(fù)雜的零件進行造型，提供物體完整的幾何信息和拓撲信息。實體模型在實體造型中為了確定形體輪廓表面的哪一側(cè)存在實體，常用有向棱邊的右手法則來確定所在面的法線方向，并規(guī)定其正向指向體外。實際CAD/CAM系統(tǒng)中實體模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比這里介紹的要復(fù)雜得多。單位立方體的實體模型7.4實體造型的方法實體造型的本質(zhì)是要解決如何在計算機內(nèi)部來表示一個實體模型，不同的表示方法決定了不同的實體模型種類。7.4.2構(gòu)造實體幾何法(CSG)構(gòu)造實體幾何法(ConstructiveSolidGeometry：CSG)，又稱幾何體素構(gòu)造法，其研究的重點是如何用基本幾何體(體素)來構(gòu)造復(fù)雜組合實體，它是一種利用基本體素的變換和集合運算來構(gòu)造幾何形體的實體造型方法。在1977年由羅切斯特(Rochester)大學(xué)的Voelcker和Bequicha等人首先提出方法。構(gòu)造實體幾何法(CSG)CSG法在構(gòu)造某個形體的實體模型時，將對這些基本體素施以并、交、差等集合運算，最終生成一棵有序的CSG二叉樹，其中CSG二叉樹的葉結(jié)點對應(yīng)于一個基本體素，并記錄體素的參數(shù)，而樹的中間結(jié)點則對應(yīng)于體素的平移或旋轉(zhuǎn)等一元運算(只有一個體素參加的運算)以及并、交、差等二元正則集合運算(有二個體素參加的運算)，也用于表示經(jīng)過這些運算生成的中間形體，樹根即是最終生成的幾何實體。CSG二叉樹也可以看成是對三維實體進行單元體素分解的結(jié)果。CSG法構(gòu)造實體的過程及CSG二叉樹構(gòu)造實體幾何法(CSG)三維形體的CSG表示法與機械裝配的方式類似。對機械產(chǎn)品來說一般先設(shè)計零件，然后將零件裝配成產(chǎn)品。用CSG法構(gòu)造幾何形體時，則是先定義體素，然后通過布爾運算將體素拼合成所需要的幾何體。因此CSG法所建立的實體模型也被稱為隱式模型或過程模型。CSG法的優(yōu)點(1)信息簡單、處理方便且無冗余的幾何信息，它詳細地記錄了構(gòu)成幾何體的原始特征和定義參數(shù)，必要時還可以附加幾何體體素的各種屬性；(2)CSG法表示的形體還具有唯一性和明確性；(3)用戶操作方便，造型概念直觀，可以通過修改形體生成的各個環(huán)節(jié)以改變形體的形狀；(4)能夠表示的實體范圍較廣，體素的種類越多，則能夠構(gòu)造出的形體也越多；(5)表達簡單，構(gòu)形直觀、容易。CSG法的缺點(1)一個形體的CSG表示和描述方式不是唯一的，即可用幾種不同的CSG樹表示同一個形體；(2)CSG樹僅僅定義了三維形體的構(gòu)造方式，但它不能查詢到形體較低層次的信息，例如形體有關(guān)頂點、邊和面的幾何信息和拓撲信息；(3)對形體的修改操作不能深入到形體的局部，例如對形體上某根直線無法直接進行拾取和刪除操作；(4)直接基于CSG表達顯示形體的效率很低，且不便于圖形輸出，也不能直接產(chǎn)生顯示線框圖所需要的數(shù)據(jù)，而必須經(jīng)過邊界計算程序的處理后才能完成從CSG到邊界表示的轉(zhuǎn)換。7.4.3邊界表示法(B-rep)邊界表示法B-rep(BoundaryRepresentation)是一種用三維形體的完整邊界表面來定義和描述幾何形體的方法，它能給出物體完整、顯式的邊界描述，CATIA和EUCLID等軟件就是以邊界表示法為基礎(chǔ)的。B-rep邊界表示法的基本觀點是物體都由有限個面(平面或曲面)構(gòu)成，這些面稱為單元面，每個單元面都是由有限條邊圍成的封閉區(qū)域，單元面具有面積，所有這些單元面構(gòu)成了形體的邊界，形體邊界將形體和它周圍的環(huán)境分隔開來。實體的B-rep表示法邊界表示法(B-rep)實體的幾何信息(GeometryInformation)用于描述實體的大小、尺寸、位置和形狀等方面，而實體的拓撲信息(TopologicalInformation)用于描述實體上所有的頂點、棱邊和表面之間的連接關(guān)系。在B-rep表示法中，實體模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可用：體表面表環(huán)表邊表頂點表邊界表示法(B-rep)(1)體表：幾何體所包含的基本體素的名稱以及它們之間的相互位置和拼合關(guān)系；(2)面表：幾何體所包含的各個面的數(shù)學(xué)方程，每個面有且只有一個外環(huán)，如果面內(nèi)有孔，則還有內(nèi)環(huán)；(3)環(huán)表：組成環(huán)的邊的信息；(4)邊表中有直邊、二次曲線邊、三次樣條曲線邊以及各種面相貫后產(chǎn)生的高次曲線邊等；(5)頂點表：端點或曲線的型值點信息。B-rep法中點不允許孤立地存在于幾何的內(nèi)部或外部，它只能在幾何體的邊界上。邊界表示法的樹形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)示意圖邊界表示法(B-rep)邊界表示法B-rep強調(diào)形體的外表細節(jié)，它能夠詳細記錄構(gòu)成形體的所有幾何元素的幾何信息及相互間的拓撲關(guān)系，可以直接存取組成形體的各個面、面的邊界以及各個頂點的定義參數(shù)，便于以邊和面為基礎(chǔ)進行各種幾何運算和操作。7.4.4CSG與B-rep混合造型方法作為兩種典型的實體造型方法，邊界表示B-rep法以邊界表示為基礎(chǔ)，構(gòu)造實體幾何CSG法以體素為基礎(chǔ)。B-rep法在圖形處理上有明顯的優(yōu)點，因為這種方法與工程圖的表示法很相近，有利于生成和繪制線框圖、投影圖、有限元網(wǎng)絡(luò)劃分和幾何特性的計算。根據(jù)B-rep數(shù)據(jù)還可以迅速轉(zhuǎn)換為曲面模型，它還便于計算機處理、交互設(shè)計與修改。此外B-rep表示法在生成濃淡圖時也很方便，在顯示速度和質(zhì)量方面也有明顯優(yōu)點。另外用B-rep法描述平面、B樣條曲面、Bezier曲面和Coons曲面都是可行的。CSG法與B－rep法的性能比較CSG與B-rep混合造型方法CSG法和B-rep表示法各有所長，因此在許多三維實體建模的CAD/CAM系統(tǒng)中，通常采用CSG和B-rep描述相結(jié)合的混合建模(HybridModeling)方法，即在用戶界面上采用CSG法來建立系統(tǒng)的外部模型，以便充分發(fā)揮其直觀、簡單和方便的特點，而在計算機內(nèi)部則采用B-rep描述法來建立系統(tǒng)的內(nèi)部模型，利用它來記錄三維形體的完整幾何信息和拓撲信息，以確保實體模型信息的完整性與精確性。CSG與B-rep混合造型方法也有的混合造型系統(tǒng)中模型首先以CSG法存儲，在顯示時再生成邊界表示模型，在計算物理特性時則可能要通過計算轉(zhuǎn)換為分解模型供臨時使用。但邊界模型不能轉(zhuǎn)化為CSG模型。7.4.5掃描表示法掃描表示法(SweepRepresentation)的基本原理是用曲線、曲面或形體沿某一路徑運動后生成二維或三維物體。這種表示方法的實施需要兩個條件：其一是給出一個在掃描過程中移動的形體，稱為基體?；w可以是曲線、曲面或三維實體，它是掃描表示法的關(guān)鍵，如果