第15章結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算

結(jié)構(gòu)力學(xué)

第15章結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算主要內(nèi)容1基本概念2無阻尼單自由度體系的自由振動(dòng)3無阻尼單自由度體系的受迫振動(dòng)4阻尼對(duì)振動(dòng)的影響5兩自由度體系的自由振動(dòng)6多自由度體系的自由振動(dòng)7多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)8振型分解法§15.1引言1.1動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和內(nèi)容

在以前各章中，討論了結(jié)構(gòu)在靜力荷載作用下的計(jì)算，它只研究結(jié)構(gòu)處于靜力平衡位置時(shí)，外荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。此時(shí)荷載的大小、方向和作用點(diǎn)以及所產(chǎn)生的內(nèi)力、位移等均認(rèn)為是不隨時(shí)間t變化。但在實(shí)際工程中，絕大多數(shù)荷載都是隨時(shí)間而變化的。如：具有偏心質(zhì)量的回旋機(jī)器它所傳遞給結(jié)構(gòu)上的橫向力就是時(shí)間t的函數(shù)。Fpt圖(a)圖(b)Fpsint這類荷載稱為動(dòng)力荷載

顯然，結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的計(jì)算與靜力荷載作用下的計(jì)算將有很大的的區(qū)別，而且要復(fù)雜的多。這是因?yàn)?，在進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算時(shí)，除了需要考慮慣性力外，還需取時(shí)間作為自變量。在動(dòng)力問題中，內(nèi)力與荷載不能構(gòu)成靜力平衡，但根據(jù)達(dá)朗伯爾原理，可以將動(dòng)力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題，方法是任一時(shí)刻在結(jié)構(gòu)上加入假想的慣性力作為外力。即結(jié)構(gòu)在形式上處于“平衡狀態(tài)”，這樣，就可以應(yīng)用靜力學(xué)的有關(guān)原理和方法計(jì)算在給定時(shí)刻的內(nèi)力和位移等。在實(shí)際工程中，大多數(shù)荷載都是隨時(shí)間的改變而變化的，但有一些荷載使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很小的震動(dòng)，以至于其上的慣性力可以忽略不計(jì)，此時(shí)為了簡化計(jì)算，將其視為靜力荷載。僅將那些隨時(shí)間變化，且使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大正的振動(dòng)影響的荷載作為動(dòng)力荷載來考慮。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究的內(nèi)容：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究的內(nèi)容是研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算原理和方法。而“動(dòng)力反應(yīng)”是指在動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力、動(dòng)位移、速度、加速度等。動(dòng)力反應(yīng)的大小主要取決于自振頻率（結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)的頻率）和阻尼（結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)引起的能量耗損）。一般而言，結(jié)構(gòu)的自振頻率往往有很多個(gè)甚至無窮多個(gè)，對(duì)于每一個(gè)自振頻率，結(jié)構(gòu)均有一種相應(yīng)的振動(dòng)形式與之對(duì)應(yīng)，這種與自振頻率相對(duì)應(yīng)的振動(dòng)形式，簡稱振型。結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)與結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特征有密切的關(guān)系。因此，研究結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)就成為動(dòng)力計(jì)算中重要的組成部分。結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算可分為自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)兩類。前者研究結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型，后者研究在動(dòng)力荷載的作用下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)。1.2動(dòng)力荷載的分類

根據(jù)動(dòng)力荷載的變化規(guī)律及對(duì)結(jié)構(gòu)的作用特點(diǎn)，可將動(dòng)力荷載分為如下幾類：簡諧荷載：按正弦或余弦函數(shù)變化的周期荷載，如圖(a)中的勻速回轉(zhuǎn)機(jī)械。一般周期荷載：它是指除了簡諧荷載以外的其他形式的周期荷載，如各種機(jī)械中的曲柄連桿滑塊機(jī)構(gòu)中的連桿受力。沖擊荷載：這類荷載的特點(diǎn)為在很短的時(shí)間內(nèi)荷載值急劇增大或減小。如鍛壓機(jī)械中的鍛錘對(duì)基礎(chǔ)的沖擊、炸藥爆炸等。隨機(jī)荷載：這類荷載特點(diǎn)是它們不僅隨時(shí)間作復(fù)雜的變化，而且荷載在基本條件不變的情況下，由于偶然因素的影響，兩次荷載不會(huì)重復(fù)同一波形。如風(fēng)荷載、海洋中的波浪荷載、地震荷載等1.3體系振動(dòng)的自由度

象靜力計(jì)算一樣，在動(dòng)力計(jì)算時(shí)，首先需要選取一個(gè)合理的計(jì)算簡圖。但由于需要考慮慣性力，因此在動(dòng)力計(jì)算的簡圖中，多了一項(xiàng)關(guān)于質(zhì)量分布的處理問題。當(dāng)體系振動(dòng)時(shí)，它的慣性力與質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)情況有關(guān)，所以確定質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)中的位置具有重要的意義，質(zhì)量的位置可以用某些獨(dú)立的參變數(shù)表示。

振動(dòng)的自由度：我們把確定體系上全部質(zhì)量位置所需的獨(dú)立參變數(shù)的數(shù)目，稱為該體系的振動(dòng)自由度。例1如圖(a)所示跨中置一質(zhì)量為m電動(dòng)機(jī)的簡支梁，當(dāng)梁自身的質(zhì)量遠(yuǎn)小于電動(dòng)機(jī)的質(zhì)量時(shí)，梁的質(zhì)量可忽略不計(jì)。其計(jì)算簡圖如圖(b)所示。

圖(a)圖(b)y(t)m故該體系的振動(dòng)自由度為1。例2如圖所示三層平面剛架(b)例2圖

當(dāng)僅考慮在水平動(dòng)力荷載作用下剛架的橫向振動(dòng)時(shí)，其各層面的豎向振動(dòng)較小，可略去不計(jì)，再假定將各立柱的質(zhì)量分別集中于柱的兩端，并不考慮各桿的軸向變形，其計(jì)算簡圖如圖(b)所示。其振動(dòng)自由度為3

象這樣，具有兩個(gè)或兩個(gè)以上，且為有限數(shù)目自由度的體系稱為多自由度體系。例3如圖所示具有連續(xù)分布質(zhì)量的體系，設(shè)單位長度上的質(zhì)量集度為m，可將其視為無窮多質(zhì)點(diǎn)的情況，故其自由度是無窮多個(gè)，這種體系稱為無限自由度體系。

凡屬于需考慮桿件自身質(zhì)量的結(jié)構(gòu)都是無限自由度體系，嚴(yán)格地講，一切彈性體系都屬于無限自由度體系，只是為了便于分析有時(shí)才簡化為多自由度體系。

應(yīng)該指出，把一個(gè)無限自由度體系簡化為有限自由度體系時(shí)，除了集中質(zhì)量的方法之外，還可以通過近似地假設(shè)振動(dòng)曲線來實(shí)現(xiàn)。例3圖dxmdx例4如圖示具有分布質(zhì)量的煙囪，假定它的振動(dòng)曲線為上式中ai(i=1,2……n)為待定系數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)；i(x)(i=1,2……n)為形狀函數(shù)，是滿足位移邊界條件的已知函數(shù)。例4圖xy(x)1.4體系振動(dòng)的衰減現(xiàn)象和阻尼力

與靜力問題相比，在分析某些動(dòng)力問題時(shí)，除了必須考慮質(zhì)點(diǎn)的慣性力外，還需考慮體系中的另一個(gè)重要的特性力——阻尼力。如圖下圖所示為一鋼結(jié)構(gòu)模型在自由振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)中，位移與時(shí)間的關(guān)系曲線的大致形狀。ty

實(shí)驗(yàn)表明，自由振動(dòng)時(shí)的振幅隨時(shí)間增加逐步減小，直至最后振幅衰減為零振動(dòng)停止。這種現(xiàn)象稱為自由振動(dòng)的衰減。

因?yàn)樵谡穹奈恢茫ㄎ灰谱畲笾档奈恢茫┙Y(jié)構(gòu)的變形速度為零，故此時(shí)的變形能即代表體系的全部機(jī)械能，振幅隨時(shí)間減小這一現(xiàn)象說明，在振動(dòng)過程中，要產(chǎn)生能量耗損，當(dāng)初始的能量完全耗盡時(shí)，振動(dòng)即停止。引起能量耗損的因素有：結(jié)構(gòu)材料的內(nèi)摩擦阻力；周圍介質(zhì)對(duì)震動(dòng)的阻力；支座、結(jié)點(diǎn)等結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)處的摩擦力；地基的內(nèi)摩擦阻力等。這些引起能量耗散的因素稱為阻尼。阻尼是結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要的動(dòng)力特征，對(duì)于阻尼因素的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，到目前為止研究的還很不夠。對(duì)一個(gè)結(jié)構(gòu)來說，往往同時(shí)存在幾種不同性質(zhì)的阻尼因素，這就使得數(shù)學(xué)表達(dá)更加困難，因而不得不采用簡化的阻尼模型，以便進(jìn)行振動(dòng)分析。

關(guān)于阻尼力問題，有幾種不同的阻尼理論，在這里介紹一種應(yīng)用最廣泛的所謂粘滯阻尼理論（也稱伊伏特理論），這種理論假設(shè)：

阻尼力與體系振動(dòng)時(shí)的變形速度成正比，但方向與運(yùn)動(dòng)方向相反。即上式中，R為阻尼力，c為阻尼系數(shù)。(15-1)§15.2無阻尼單自由度體系的自由振動(dòng)

2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立如圖(a)所示無質(zhì)量懸臂梁，在自由端有一質(zhì)量為m的物體。當(dāng)未受到外界干擾時(shí)，梁將在重力的作用下處于虛線所示的靜平衡位置。質(zhì)量m處的靜力位移為ys。m

現(xiàn)假設(shè)由于外界干擾使質(zhì)量m離開靜平衡位置，當(dāng)外部干擾突然消失后，由于梁的彈性影響，質(zhì)量m將在靜平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。這種在振動(dòng)過程中，不受干擾力作用，而由初始位移或初始速度或兩者共同影響下所引起的振動(dòng)，稱為自由振動(dòng)或稱固有振動(dòng)。

此懸臂梁振動(dòng)的理想模型如圖(b)所示的彈簧質(zhì)量體系，梁對(duì)質(zhì)量m所提供的彈性恢復(fù)力改用剛度系數(shù)為k11的彈簧表示。m圖(a)k11m圖(b)靜平衡位置ysydmgS(t)I(t)圖(c)

其運(yùn)動(dòng)微分方程可根據(jù)達(dá)朗伯爾原理求出。取質(zhì)量m為隔離體如圖(c)所示。設(shè)在t時(shí)刻向下運(yùn)動(dòng)。則質(zhì)量m的受力有重力：mg

彈性恢復(fù)力S(t)，它的方向與位移的方向相反慣性力I(t)，它的方向與加速度的方向相反mgS(t)I(t)圖(c)其中列動(dòng)平衡方程為因?yàn)?，代入上式整理?/p>

上述確定體系運(yùn)動(dòng)方程的方法稱為列動(dòng)力平衡方程法（也稱剛度法），也可采用列位移方程的方法（也稱柔度法）建立運(yùn)動(dòng)方程。

質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻t的位移，為體系受到的作用力有重力mg，慣性力（彈性恢復(fù)力是內(nèi)力）引起的位移之和。即(a)上式整理即得(a)式。這種確定體系運(yùn)動(dòng)方程的方法稱為列位移方程法（也稱柔度法）。

(a)上式表明，若建立體系的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，以靜平衡位置作為位移計(jì)算起點(diǎn)，則所得動(dòng)位移的運(yùn)動(dòng)方程與重力無關(guān)。在以后的內(nèi)容學(xué)習(xí)中，將采用這種方法，且為了書寫方便，略去表示動(dòng)位移的下標(biāo)d，直接用y(t)表示。這樣上式改寫為(15-2)這就是無阻尼單自由度體系自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。2.2自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程的解

為了便于求解，將無阻尼單自由度體系自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程（15-2）式改寫成下列標(biāo)準(zhǔn)形式（15-3）上式中（15-3）式是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的二階線性齊次微分方程，其通解為由初始位移條件y(0)=y0得B=y0

，由初始速度條件得，則動(dòng)位移為（15-4）上式也可改寫成另一種形式，令y0=Asin，則（15-5）其中（15-5）式說明，無阻尼單自由度體系自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)的幅值（質(zhì)點(diǎn)m的最大動(dòng)位移）為A，初相角為。(1)結(jié)構(gòu)的自振周期

2.3結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率

（15-5）式右邊為一個(gè)周期函數(shù)，其周期為（15-7）（15-5）不難驗(yàn)證，，。這說明，在自振過程中，每經(jīng)過一段T時(shí)間后，質(zhì)點(diǎn)重復(fù)原來的運(yùn)動(dòng)情況，因此T被稱為自振周期，單位一般用s（秒）。(2)工程頻率

自振周期的倒數(shù)稱為工程頻率。用f表示。（15-8）工程頻率f表示單位時(shí)間(秒)內(nèi)振動(dòng)次數(shù)。單位是1/s，或稱為赫茲(Hz)。由（15-8）式可得（15-8）（15-9）上式表示2秒內(nèi)振動(dòng)次數(shù)，稱為園頻率，簡稱頻率，自由振動(dòng)時(shí)常稱其為自振頻率。

結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率是一個(gè)重要的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征量。其定義不難看出，它是由結(jié)構(gòu)固有屬性確定的，與外界的干擾因素?zé)o關(guān)，因此常常百自振周期稱為固有周期。例1如圖示體系，求其運(yùn)動(dòng)方程。ymEIl例1圖Msin

t解：取靜平衡位置為位移計(jì)算起點(diǎn)，采用列位移方程法建立運(yùn)動(dòng)方程?！摺噙@就是所要求的運(yùn)動(dòng)方程。例2

如圖示三種不同支承情況的單跨梁，不計(jì)梁的自重，EI=常數(shù)，比較三者的自振頻率。例2圖ml/2l/2(a)(b)(c)解：

∵3mgl/16mgl/8mgl/8∴振動(dòng)加快！例3

如圖示剛架的自振頻率，不計(jì)立柱的質(zhì)量。EIEIEI1=∞m例3圖解：

在不考慮軸向變形的情況下，橫梁的各質(zhì)點(diǎn)水平位移相同。故為單自由度體系。由知，應(yīng)先求k11

1k11k1112EI/h312EI/h3使橫梁單位位移后，由平衡條件得則2.4簡諧自由振動(dòng)的特性

∵∴則慣性力為上式說明，在無阻尼自由振動(dòng)中，位移、加速度和慣性力都是初相角相同的正弦規(guī)律變化的同步運(yùn)動(dòng)，因此，這三者將同時(shí)達(dá)到各自的最大值（幅值）。即

受迫振動(dòng)是指體系在干擾力Fp(t)作用下所產(chǎn)生的振動(dòng)。如圖(a)所示為單自由度體系的受迫振動(dòng)模型?！?5.3無阻尼單自由度體系的受迫振動(dòng)k11m圖(a)Fp(t)

取靜平衡位置作為位移計(jì)算起點(diǎn)，質(zhì)量m為隔離體，由動(dòng)力平衡方程得Fp(t)mI(t)S(t)或（15-12）這就是無阻尼單自由度體系受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程。下面討論在幾種常見動(dòng)力荷載Fp(t)作用下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況和動(dòng)力特性。設(shè)簡諧荷載的表達(dá)式為3.1簡諧荷載

（15-13）上式中為簡諧荷載的圓頻率，F(xiàn)p為干擾力的幅值。把簡諧荷載代入受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程得上式的解(齊次方程的通解加特解)為積分常數(shù)由初始條件確定。設(shè)：y(0)=0，，可得代回得上式由兩部分組成：第一部分sint項(xiàng)按自振頻率振動(dòng)，它是伴隨干擾力的作用而產(chǎn)生的，稱為伴生自由振動(dòng)。在實(shí)際的振動(dòng)過程中，由于存在阻尼的作用（下一節(jié)講），將很快衰減至零；第二部分sint項(xiàng)是按干擾力的頻率進(jìn)行的振動(dòng)。開始時(shí)，兩種振動(dòng)同時(shí)存在的階段通常稱為過渡階段。將伴生自由振動(dòng)衰減后只按干擾力頻率振動(dòng)的階段稱為平穩(wěn)階段。此階段的振動(dòng)一般稱為穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)，或稱受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。下面討論穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。此時(shí)有∵∴（15-14）式中稱為放大系數(shù)，或稱位移動(dòng)力系數(shù)

稱為頻比

討論：(1)當(dāng)<1，即<時(shí)，則>1

表明動(dòng)力位移的方向與干擾力Fp(t)的方向相同，且動(dòng)力位移的幅值(.ys)恒大于干擾力幅值所產(chǎn)生的靜力位移ys。當(dāng)<<時(shí)（很小，干擾力的周期將很大），.≈1。此時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)與干擾力幅值所產(chǎn)生的靜力反應(yīng)趨于一致（不振動(dòng)）。如：時(shí)(2)當(dāng)>1，即>時(shí)，則<0

此時(shí)說明，動(dòng)力位移的方向與干擾力Fp(t)的方向相反。若>>(干擾力的頻率很高)，將有.→0，這說明，質(zhì)量m只在靜平衡位置附近做幅度極小的高頻振動(dòng)。(3)當(dāng)≈時(shí)，則→∞這說明當(dāng)干擾力的頻率與自振頻率重合時(shí)，動(dòng)力位移將無限增大，這種現(xiàn)象稱為“共振”。下一節(jié)將討論，由于阻尼的存在，不可能無限增大，但仍將很大，容易造成結(jié)構(gòu)破壞。因此，在工程設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量避免。一般規(guī)定與的值至少相差25%。3.2一般動(dòng)力荷載

在一般動(dòng)力荷載如圖(b)所示tFp(t)t圖(b)其特解可利用瞬時(shí)沖量作用下的振動(dòng)導(dǎo)出。dS=Fp()dd瞬時(shí)沖量tFp(t)t圖(b)dS=Fp()dd一個(gè)靜止的體系，在瞬時(shí)沖量作用下的振動(dòng)，可視為一個(gè)由初始條件引起的自由振動(dòng)。為此，先確定由瞬時(shí)沖量引起的初位移和初速度。如圖(c)所示為一瞬時(shí)沖量（一個(gè)脈沖），根據(jù)牛頓第二定律tFp(t)圖(c)dtFp(t)則上式中dv為速度增量。如果質(zhì)量在瞬時(shí)沖量dS的作用之前處于靜止，則dv即為dS作用后質(zhì)量m在t=dt時(shí)的速度。在dt時(shí)間內(nèi)的平均速度為于是質(zhì)量m在t=dt時(shí)的位移為當(dāng)t>dt時(shí)，因荷載Fp(t)已不作用于結(jié)構(gòu)上，故結(jié)構(gòu)的振動(dòng)為以dy、dv為初始條件的自由振動(dòng)?？紤]到dy為高階微量。則當(dāng)t>dt時(shí)的初始條件可簡化為y0=0，。代入（15-4）式自由振動(dòng)響應(yīng)的表達(dá)式得瞬時(shí)沖量dS引起的動(dòng)力反應(yīng)為（15-15）利用上式，即可求出任意干擾力作用下的振動(dòng)方程。如圖(c)所示任意干擾力，將其時(shí)間劃分為無窮多個(gè)微段dt，則Fp(t).dt可視為瞬時(shí)沖量dS，利用（15-15）式可得任意干擾力引起的動(dòng)力反應(yīng)為（15-16）上式稱為杜哈梅(Duhamel)積分。它就是在初始處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意干擾力Fp(t)作用下的動(dòng)力位移計(jì)算公式。如果初始條件不為零，則由疊加原理得總響應(yīng)為（15-17）將上式代入杜哈梅積分，得動(dòng)力響應(yīng)為積分整理可得例4當(dāng)初始條件為零時(shí)，求干擾力為突加長期荷載時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)。解：突加長期荷載的數(shù)學(xué)表達(dá)式為tFp(t)例5當(dāng)初始條件為零時(shí)，求干擾力為短時(shí)荷載時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)。tFp(t)t0解：所謂短時(shí)荷載是指只是在很短的時(shí)間內(nèi)停留在結(jié)構(gòu)上的荷載。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為對(duì)于這種情況，可做如下處理：在t=0時(shí)突然加入荷載Fp，并一直作用于結(jié)構(gòu)上，到t=t0時(shí)，又突然加入一個(gè)大小相等，方向相反的荷載。則這兩種突加荷載引起的動(dòng)力反應(yīng)疊加的結(jié)果即為短時(shí)突加荷載的動(dòng)力反應(yīng)。(1)當(dāng)0<t<t0時(shí)(2)當(dāng)t>t0時(shí)利用三角函數(shù)關(guān)系：上式整理可得可以看出，短時(shí)荷載的動(dòng)力反應(yīng)與短時(shí)荷載在結(jié)構(gòu)上的停留時(shí)間有關(guān)。(a)當(dāng)時(shí)t0≥T/2，最大動(dòng)力位移出現(xiàn)在0<t<t0階段。此時(shí)=2

(b)當(dāng)時(shí)t0<T/2，最大動(dòng)力位移出現(xiàn)在t>t0階段。此時(shí)最大位移（振幅）為動(dòng)力系數(shù)為例6當(dāng)初始條件為零時(shí)，求干擾力為三角形沖擊荷載時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)。解：

三角形沖擊荷載的數(shù)學(xué)表達(dá)式為tFp(t)t0爆炸荷載有時(shí)可簡化為三角形沖擊荷載。由杜哈梅積分得(1)當(dāng)0<t≤t0時(shí)積分可得(2)當(dāng)t>t0時(shí)積分可得§15.4阻尼對(duì)振動(dòng)的影響

具有阻尼的單自由度體系的振動(dòng)模型如圖(a)所示。體系的阻尼特性用阻尼減振器表示。阻尼系數(shù)為c，取質(zhì)量m為隔離體，靜平衡位置為位移計(jì)算起點(diǎn)，任意時(shí)刻向下運(yùn)動(dòng)。作用質(zhì)量m上的力有k11m圖(a)Fp(t)cI(t)Fp(t)mS(t)R(t)慣性力彈性恢復(fù)力阻尼力干擾力對(duì)隔離體列動(dòng)力平衡方程得（15-18）這就是單自由度體系有阻尼運(yùn)動(dòng)（微分）方程。4.1有阻尼的自由振動(dòng)

在（15-18）式中令干擾力Fp(t)=0，即得考慮粘滯阻尼作用時(shí)單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程為（15-18）（15-19）令：則上式可改寫為這是一個(gè)常系數(shù)的齊次線性微分方程，其解的形式為y=ert，代入上式得特征方程為解之得于是（15-20）式的通解為（15-20）其具體的表達(dá)形式取決于特征值的根式內(nèi)的具體結(jié)果。討論如下(a)當(dāng)<1(即弱阻尼情況)

此時(shí)r1和r2為兩個(gè)共軛的復(fù)根，令利用毆拉公式：解可以寫成設(shè)初始條件為y(0)=y0，，可得則（15-21）改寫成單項(xiàng)的形式為（15-22）由（15-22）式可以看出，弱阻尼的自由振動(dòng)是一種衰減振動(dòng)，雖然它不是嚴(yán)格意義的周期運(yùn)動(dòng)，但質(zhì)點(diǎn)在兩次通過靜平衡位置時(shí)的時(shí)間間隔是相等的習(xí)慣上仍稱此時(shí)間間隔為周期。并把這種振動(dòng)稱為衰減性周期振動(dòng)，稱為衰減振動(dòng)的圓頻率。稱為衰減振動(dòng)振幅，有阻尼的自由振動(dòng)的yt曲線如圖(b)所示。tyy0v0圖(b)若用An表示時(shí)刻tn的振幅，An+1表示經(jīng)過了一個(gè)周期T’后的振幅，則上式說明，相隔一個(gè)周期后的兩個(gè)振幅之比為常數(shù)，即振幅是按等比級(jí)數(shù)衰減的。在有阻尼的振動(dòng)問題中，是一個(gè)非常重要的參數(shù)，稱為阻尼比，工程中常根據(jù)上式來確定阻尼比。對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得(b)=1則（15-23）此時(shí)r1和r2為兩個(gè)相等的實(shí)根，（15-20）式的解為（15-20）（15-24）其yt曲線如圖(c)所示。ty0v0y圖(c)（15-24）式表明，體系從初始位置出發(fā)，逐步返回到靜平衡位置無振動(dòng)發(fā)生。這是因?yàn)樽枘嶙饔幂^大，體系受干擾偏離平衡位置所積蓄的初始能量，在恢復(fù)到平衡位置的過程中全部消耗于克服阻尼的影響，沒有多于的能量來引起振動(dòng)。這種情況稱為臨界阻尼。此時(shí)的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)，用ccr表示。由得(c)﹥1此時(shí)r1和r2為兩個(gè)不等的負(fù)根，利用毆拉公式：（15-20）式的解可以寫成為（15-25）其yt曲線如圖(c)類似。它也無振動(dòng)發(fā)生。這種情況稱為強(qiáng)阻尼或過度阻尼。在實(shí)際工程中很小遇到這種情況，故不再進(jìn)一步討論。例7圖示門架為一單層建筑的計(jì)算簡圖。設(shè)橫梁的EI=，EA=，房蓋系統(tǒng)和橫梁的重量及立柱部分質(zhì)量可以認(rèn)為集中于橫梁上。設(shè)總重量為W，為了確定水平振動(dòng)時(shí)門架的動(dòng)力特征，進(jìn)行以下振動(dòng)實(shí)驗(yàn)：EI=∞EA=∞m例7圖在橫梁加一水平力Fp=98kN，門架的側(cè)移y0=0.5cm，然后突然釋放，使結(jié)構(gòu)作自由振動(dòng)，并測得一個(gè)周期后橫梁擺回側(cè)移為y1=0.4cm，周期為T’=1.5s。求門架水平振動(dòng)的阻尼系數(shù)c及5周后的振幅。解：

分析：求阻尼系數(shù)c

∵∴屬于弱阻尼情況，故可取則阻尼系數(shù)為∵∴4.2有阻尼的受迫振動(dòng)

有阻尼體系（設(shè)<1）在一般動(dòng)力荷載Fp(t)作用下，其動(dòng)力位移也可表示為杜哈梅積分。由（15-21）式知，單獨(dú)由初始速度v0(y0=0)引起的振動(dòng)為利用上式，象無阻尼情況一樣，可以導(dǎo)出瞬時(shí)沖量dS=Fp(t)dt引起的動(dòng)力響應(yīng)為把一般動(dòng)力荷載的加載過程看成為無窮多個(gè)瞬時(shí)沖量組成的，則對(duì)于t=

到t=+d的時(shí)間上沖量dS=Fp()d來說，它所引起的動(dòng)力響應(yīng)為則當(dāng)初始條件全為零時(shí)，一般動(dòng)力荷載Fp(t)所引起的動(dòng)力響應(yīng)為（15-26）下面討論當(dāng)初始條件全為零時(shí)，簡諧荷載Fp(t)所引起的動(dòng)力響應(yīng)。設(shè)：將上式代入（15-26）式得積分可得(15-27)式中(15-27)上式說明，振動(dòng)由兩部分組成，一部分振動(dòng)的頻率與干擾力的頻率一致，而另一部分的頻率則與體系的衰減振動(dòng)圓頻率’一致。由于阻尼的作用，頻率為’的那一部分振動(dòng)（稱為伴生自由振動(dòng)）因含有衰減因子e-t，將因衰減而很快消失。最后只剩下頻率為的那一部分振動(dòng)（稱為穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)）。下面討論穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的一些性質(zhì)。由(15-27)式知，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的方程為將其表示為單項(xiàng)的形式為(15-28)式中(15-29)因?yàn)閯t振幅A又可改寫為(15-30)(15-30)由上式可知，動(dòng)力系數(shù)不僅與頻比有關(guān)，而且與阻尼比有關(guān)。下圖給出了不同的值時(shí)曲線。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0由圖可以看出(1)當(dāng)<<1(<<)時(shí)，1。這表明體系的振動(dòng)的很慢，可近似地將Fpsint作為靜力荷載來計(jì)算。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0(2)當(dāng)>>1(>>)時(shí)，0。這表明當(dāng)體系的干擾力頻率遠(yuǎn)大于體系的自振頻率時(shí)，體系振動(dòng)的很快，且質(zhì)量m接近于不動(dòng)或在靜平衡位置附近做幅度微小的高頻振動(dòng)。(3)當(dāng)1()時(shí)，則很大。這時(shí)阻尼比

對(duì)的影響很大。在0.75<<1.25（習(xí)慣上稱為共振區(qū)）的范圍內(nèi)，阻尼力顯著地減小了受迫振動(dòng)的位移，但在此范圍以外的區(qū)域，阻尼力的影響較小，可近似地按無阻尼計(jì)算。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0(4)的最大值并不發(fā)生在=1處。利用求極值的方法，不難求得，當(dāng)時(shí)的取得最大值。但因阻尼比很小，在工程計(jì)算時(shí)，仍近似地將=1時(shí)的值作為最大值，并稱此時(shí)的振動(dòng)為共振。此時(shí)的動(dòng)力系數(shù)為(15-31)(5)

此外，由(15-28)式知，動(dòng)力響應(yīng)為干擾力Fp(t)不同步。其相位差為當(dāng)<1時(shí)，0<</2

當(dāng)>1時(shí)，/2<<

當(dāng)=1時(shí)，

=/2

也就是說，只要有阻尼的存在，位移總是滯后于振動(dòng)荷載。共振時(shí)，將=/2代入動(dòng)力響應(yīng)方程可得相應(yīng)的慣性力為彈性恢復(fù)力為注意共振時(shí)有可知共振時(shí)慣性力與彈性恢復(fù)力相互平衡。又因?yàn)樽⒁獾焦舱?=1)時(shí)，。則阻尼力為這說明，共振時(shí)干擾力與阻尼力相互平衡，故運(yùn)動(dòng)呈穩(wěn)態(tài)，而在無阻尼受迫振動(dòng)時(shí)，因無此阻尼項(xiàng)與干擾力相平衡，故出現(xiàn)位移與內(nèi)力無限增大現(xiàn)象。例8如圖示結(jié)構(gòu)當(dāng)初始條件為零時(shí)，求地面水平運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)力反應(yīng)。解：

地面在水平方向若發(fā)生運(yùn)動(dòng)體系將產(chǎn)生受迫振動(dòng)。如地震或臨近的動(dòng)力設(shè)備對(duì)結(jié)構(gòu)的影響都屬于該類問題。如題8圖所示單自由度體系，在質(zhì)量m上并沒有直接作用動(dòng)力荷載。設(shè)地面的水平運(yùn)動(dòng)為yg(t)，于是質(zhì)量m發(fā)生了相對(duì)地面的位移y(t)，在任一時(shí)刻t，質(zhì)量m的絕對(duì)位移為yg(t)m題8圖y(t)[yg(t)+y(t)]、絕對(duì)加速度為，則作用于質(zhì)量m上慣性力為在振動(dòng)的過程中，結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力和阻尼力分別只與質(zhì)量m的相對(duì)運(yùn)動(dòng)有關(guān)，即yg(t)m題8圖y(t)S(t)I(t)R(t)列動(dòng)平衡方程得或其中稱為等效動(dòng)力荷載。根據(jù)杜哈梅積分得動(dòng)力響應(yīng)為§15.5兩自由度體系的自由振動(dòng)

以上各節(jié)討論了單自由度體系的振動(dòng)問題，在本節(jié)中將討論兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)問題。主要是確定體系的頻率和振型及振型特性。5.1運(yùn)動(dòng)方程的建立

如圖(a)所示簡支梁，當(dāng)梁的質(zhì)量忽略不計(jì)時(shí)，體系為兩自由度體系。m1m2圖(a)y1(t)y2(t)質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的位移分別為y1(t)和y2(t)。位移的計(jì)算起點(diǎn)均為靜平衡位置，并取向下為正。在建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，有兩種方法可供選擇。(a)列位移方程（也稱柔度法）

與單自由度體系的做法相同，應(yīng)用達(dá)朗伯爾原理，認(rèn)為自由振動(dòng)過程中，質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的位移是由慣性力和共同作用所產(chǎn)生的。圖(b)由疊加原理可列運(yùn)動(dòng)方程如下式中ij(i,j=1,2)為結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)。1121111222上式整理得（15-32）這就是兩自由度體系借助于柔度系數(shù)建立的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程。寫成矩陣的形式為其中[]稱為柔度系數(shù)矩陣，[]對(duì)稱矩陣；[M]稱為質(zhì)量矩陣，[M]均為對(duì)角矩陣。為位移列向量為加速度列向量。(b)列動(dòng)力平衡方程（也稱剛度法）

可取質(zhì)量為隔離體，列動(dòng)力平衡方程求出運(yùn)動(dòng)方程。也可不將質(zhì)點(diǎn)分離，按位移法來處理。在任意時(shí)刻t質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的位移方向上附加連桿，建立位移法基本結(jié)構(gòu)。如圖(c)所示。由位移法典型方程得y2圖(c)y1因?yàn)閷⑵浯肷鲜秸砜傻茫?5-33）1k11k211k12k22式中kij(i,j=1,2)為結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)。這就是兩自由度體系借助于剛度系數(shù)建立的自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。寫成矩陣的形式為

其中[k]稱為剛度系數(shù)矩陣，[k]為對(duì)稱矩陣。因?yàn)閇k]-1=[]，因此（15-33）式與（15-32）式實(shí)質(zhì)是相同的。5.2頻率方程和頻率

雖然運(yùn)動(dòng)方程有兩種不同的表示形式，但其求解過程是完全類似的。下面以柔度法為例，討論運(yùn)動(dòng)方程的求解方法。

設(shè)：體系的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)，則質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的位移可表示為(a)上式中A1和A2分別為質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的振幅，為體系的自振頻率，為初相角。A1、A2、和均為待定量。將(a)式代入（15-32）式可得（15-32）(b)上式中(b)式是關(guān)于A1和A2的齊次線性方程組，因?yàn)橐鸭俣ˋ1和A2不能全為零，則要求(b)式中的系數(shù)行列式為零。即（15-34）上式可用于確定頻率，稱之為頻率方程。將其展開可得解之得于是可以求得兩個(gè)頻率值其中最小的頻率1稱為第一頻率，或稱基本頻率；而2稱為第二頻率。頻率的數(shù)目與體系振動(dòng)的自由度數(shù)相同。5.3主振型(簡稱振型)

求出頻率1和2后，代回(b)式，即可確定A1和A2的比值，這是因?yàn)轭l率1和2均滿足（15-34）式，說明(b)式的兩方程彼此不獨(dú)立（線性相關(guān)）。(b)(a)當(dāng)=1時(shí)

相應(yīng)的質(zhì)量m1和質(zhì)量m2振動(dòng)方程為則說明在振動(dòng)時(shí)，兩質(zhì)量的位移比值恒為常數(shù)1，也就是說，體系的變形形式不變。此種情況下的振動(dòng)形式稱為主振型，簡稱振型。

因?yàn)椴⒆⒁獾剑簩?duì)于單跨梁有12>0，則必有1>0它表明，對(duì)于單跨梁而言，當(dāng)體系按頻率1作簡諧振動(dòng)時(shí)，兩質(zhì)量總是同相位的，如圖(d)所示。它稱為第一振型，或稱基本振型。第一振型：A1(1)圖(d)1A1(1)取A1(1)=1，得規(guī)準(zhǔn)化后得第一振型的振型向量為（15-35）(b)當(dāng)=2時(shí)

(b)（常數(shù)）相應(yīng)的質(zhì)量m1和質(zhì)量m2振動(dòng)方程為則,(在單跨梁的情況下，同理可得2<0)說明，當(dāng)體系按頻率2作簡諧振動(dòng)時(shí)，兩質(zhì)量總是反相位的，如圖(e)所示。它稱為第二振型。A1(2)圖(e)第二振型：2A1(2)同樣取A1(2)=1，得規(guī)準(zhǔn)化后得第二振型的振型向量為（15-36）5.4運(yùn)動(dòng)方程的一般解

上面討論了體系按主振型所作的簡諧振動(dòng)。這種振動(dòng)是在特定的初始條件下，才能實(shí)現(xiàn)的一種運(yùn)動(dòng)形式。例如對(duì)于第一振型，由可知這表明，只有當(dāng)質(zhì)量m2的初位移和初速度分別為質(zhì)量m1的初位移和初速度的1倍時(shí)，上述振動(dòng)才會(huì)出現(xiàn)。這種在特定的初始條件下出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)形式，在數(shù)學(xué)上稱為微分方程的特解。由上可知，（15-32）式共有兩個(gè)特解，分別對(duì)應(yīng)1和2。它們的線性組合就是其一般解。一般解為（15-32）（15-37）上式中待定系數(shù)A1(1)

、A1(2)

、1和2由初始條件y1(0)、y2(0)、v1(0)和v2(0)確定。在一般情況下，體系的自由振動(dòng)由不同頻率的簡諧振動(dòng)疊加而成，其結(jié)果是振動(dòng)將不在是簡諧振動(dòng)?！?5.6多自由度體系的自由振動(dòng)

在本節(jié)中討論多自由度體系的自由振動(dòng)問題，為了書寫方便，將采用矩陣形式表示。6.1柔度法

如圖(a)所示，具有n個(gè)質(zhì)量的無質(zhì)量的簡支梁，取靜平衡位置為位移計(jì)算起點(diǎn)，設(shè)振動(dòng)時(shí)任一質(zhì)量mi(i=1,2,……n)的位移為yi(i=1,2,……n)。m1圖(a)m2mimn由慣性力所產(chǎn)生的位移，利用疊加原理可得作用于該質(zhì)量上的慣性力為Ii(i=1,2,……n)，(a)將上式整理，并用矩陣形式表示，則有（15-38）這就是用柔度系數(shù)矩陣表示的多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程

.上式中[]稱為柔度系數(shù)矩陣，[]為對(duì)稱矩陣；[M]稱為質(zhì)量矩陣，[M]為對(duì)角矩陣；為位移列向量；為加速度列向量。從數(shù)學(xué)的角度看，（15-38）時(shí)是一個(gè)齊次線性微分方程組，其一般解可由n個(gè)線性無關(guān)的特解，線性組合得到。令：其特解為(b)上式中{A}={A1

A2…An}T為振幅列向量。把(b)式代入（15-38）式得（15-39）其中,[E]為單位矩陣。（15-39）式是一個(gè)關(guān)于A1、A2、…An的齊次線性方程組，欲使其具有非零解，則要求起系數(shù)行列式為零。即（15-40）上式就是n個(gè)自由度體系的頻率方程。其具體形式為(c)將上式展開，得到一個(gè)關(guān)于的n階代數(shù)方程，解此方程，可得n個(gè)實(shí)根1、2、…n，利用，可進(jìn)一步求得n個(gè)頻率

1、2、…n。其中最小的一個(gè)稱為第一頻率，其后，按數(shù)值由小到大排列，并依次順次稱為第二頻率、…第n頻率等。對(duì)于每一個(gè)頻率k都有一組特解上式中，{Y(k)}為與頻率k相對(duì)應(yīng)的位移列向量，{A(k)}為與頻率k相對(duì)應(yīng)的振幅列向量。根據(jù)線性微分方程組的理論知，微分方程組（15-38）的通解為（15-41）為了考察特解的性質(zhì)，對(duì)于任一特解{Y(k)}展開有(d)由上式可知(a)

各質(zhì)量均按同一頻率k作同步簡諧振動(dòng)；(b)

振動(dòng)時(shí)各質(zhì)量的位移比值為y1(k)：y2(k)：…：yn(k)=A1(k)：A2(k)：…：An(k)與時(shí)間無關(guān)。它表明，在振動(dòng)過程中，各質(zhì)量位移的比值保持不變，且有一種固定的形式，此種振動(dòng)形式即為振型。為了確定振型，令代入（15-39）式得(e)由于上式的系數(shù)行列式為零，因此上式只有n-1個(gè)獨(dú)立方程，從而只能求出{A(k)}中各分量的相對(duì)值。以第一個(gè)質(zhì)量的振幅為基準(zhǔn)，則振幅向量為上式中稱為規(guī)準(zhǔn)化振型向量。將代入(e)式得（15-42）即：(f)記：(g)其中由(g)式可得（15-43）于是對(duì)于與第k個(gè)頻率k相對(duì)應(yīng)的規(guī)準(zhǔn)化振型向量為（15-44）與n個(gè)頻率相對(duì)應(yīng)共有n個(gè)規(guī)準(zhǔn)化振型向量，這n個(gè)規(guī)準(zhǔn)化振型向量組成一個(gè)方陣這個(gè)方陣稱為振型矩陣。6.2剛度法

除了柔度法外，還可以采用剛度系數(shù)矩陣建立運(yùn)動(dòng)方程求解。對(duì)于具有n個(gè)自由度體系，參照二自由度體系的作法，取靜平衡位置為位移計(jì)算起點(diǎn)，按位移法來處理，可得動(dòng)力平衡方程為(h)寫成矩陣的形式為（15-45）這就是用剛度系數(shù)矩陣表示的多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程。(15-45)式中，[k]稱為剛度系數(shù)矩陣，[k]為對(duì)稱矩陣。因?yàn)閇k]-1=[]，因此(15-45)式與(15-38)式實(shí)質(zhì)是相同的.下面討論方程的解。象柔度法一樣，設(shè)其特解為，將其代入（15-45）式得（15-46）欲使振幅向量有非零解，則要求其系數(shù)行列式為零，即（15-47）這就是由剛度系數(shù)矩陣表示的頻率方程。解此方程可得n個(gè)頻率k(k=1,2…n)。將k代回（15-46）式，即可確定體系的振型。令：，得(i)象柔度法一樣，振型規(guī)準(zhǔn)化后，把代入(i)式得（15-48）即：(j)記：(k)其中由(k)式可得（15-49）于是對(duì)于與第k個(gè)頻率k相對(duì)應(yīng)的規(guī)準(zhǔn)化振型向量為例9某等截面懸臂梁，設(shè)單位長度上質(zhì)量為。簡化為兩自由度體系模型如圖所示。求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型(EI=常數(shù))。2l/52l/5l/5m1m2題9圖其中解：

取靜平衡位置為位移計(jì)算起點(diǎn)，體系振動(dòng)自由度如圖所示。本題采用柔度法較方便，因?yàn)槿岫认禂?shù)相對(duì)易求出。y1y22l/51圖4l/51圖2l/51圖4l/51圖則柔度系數(shù)矩陣為質(zhì)量矩陣為(1)先求頻率

由頻率方程得上式中解之得即(2)再求振型

因?yàn)榈谝徽裥停骸摺嗟诙裥停骸摺嗟谝徽裥停?3.121第二振型：10.3205例10如圖示剛架，求其自振頻率和振型。EI=∞EI=∞m1m2m3EI=∞圖中m1=180×103kg，m2=270×103kg，m2=270×103kg，各立柱的質(zhì)量忽略不計(jì)，各層的抗剪剛度(即各層發(fā)生相對(duì)單位水平位移時(shí)，各層立柱的剪力之和)分別為k1=98MN/m，k2=196MN/m，k3=245MN/m。解：

取靜平衡位置為位移計(jì)算起點(diǎn)，體系振動(dòng)自由度如示。y1y2y3本題采用剛度法較方便，因?yàn)閯偠认禂?shù)相對(duì)易求出。質(zhì)量矩陣為111k11=98k21=-98k31=0k12=-98k22=98+196k32=-196k13=0k23=-196k33=196+245剛度系數(shù)矩陣為代入頻率方程整理得式中展開頻率方程得解之得相應(yīng)的頻率分別為再求振型

因?yàn)閯t第一振型

則第二振型

則第三振型則第一振型:12/31/3第一振型第二振型:2/32/31第二振型第三振型:

134第三振型6.3振型的正交性

所謂振型正交性是指多自由度體系中任意兩個(gè)不同的振型之間都存在下述條件正交的性質(zhì)。設(shè)第i個(gè)頻率i的相應(yīng)振型向量為{Φ(i)}，第j（j≠i）個(gè)頻率j(j≠i)的相應(yīng)振型向量為{Φ(j)}。由（15-48）式知(a)則(b)將(b)中第一式兩邊轉(zhuǎn)置，其值不變，并注意，得由上式可得(15-50)上式說明，振型向量對(duì)質(zhì)量矩陣帶權(quán)正交，對(duì)剛度系數(shù)矩陣帶權(quán)正交。分別稱為第一正交條件（關(guān)于質(zhì)量矩陣正交條件）和第二正交條件（關(guān)于剛度系數(shù)矩陣正交條件）。

上述的振型的正交性是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中一個(gè)重要概念，在按振型分解法分析受迫振動(dòng)時(shí)，將用到該性質(zhì)?！?5.7多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)

為了便于討論問題，先不考慮阻尼的影響，如圖(a)所示具有n個(gè)自由度體系，其上作用有k個(gè)簡諧荷載Fpisint(i=1,2…k)。m1mimnmkFpksintFpisint圖(a)

采用柔度法，任一質(zhì)量mi的位移可表示為(a)上式中ij為柔度系數(shù)，yip為各動(dòng)力荷載在質(zhì)量mi處引起靜力位移的代數(shù)和。即(b)其中為各動(dòng)力荷載幅值在質(zhì)量mi處引起靜力位移的代數(shù)和。將(a)式整理并改寫成矩陣形式得（15-51）式中（15-51）式為非齊次的線性微分方程組，它的解由兩部分組成，一部分為與自由振動(dòng)相對(duì)應(yīng)的齊次的線性微分方程組的通解，另一部分為方程的特解。

自由振動(dòng)部分，在實(shí)際工程中，由于存在阻尼力，將很快衰減掉。因此，在研究多自由度體系的受迫振動(dòng)時(shí)，可以重點(diǎn)討論（15-51）式的特解——穩(wěn)態(tài)解。設(shè)方程（15-51）式的特解為（15-52）式中為受迫振動(dòng)位移幅值列向量。把(d)式代回（15-52）式即得多自由度體系受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。將（15-52）式代入（15-51）式整理可得(c)上式中[E]為單位矩陣，解之得(d)在穩(wěn)態(tài)的受迫振動(dòng)中，任一質(zhì)量mi的慣性力為則質(zhì)量的慣性力列向量為(e)其中{I}*為慣性力幅值列向量

因此，在計(jì)算最大位移和最大動(dòng)內(nèi)力時(shí)，可先求出慣性力幅值列向量{I}*

，然后把慣性力幅值列向量{I}*和干擾力幅值列向量（{Fp}={Fp1

Fp2…Fpk}T），同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)上，按靜力分析方法計(jì)算最大位移和最大動(dòng)內(nèi)力。由(e)式可以看出，慣性力列向量、位移列向量和干擾力列向量按統(tǒng)一頻率作同步簡諧振動(dòng)。(e)Fpisint

另外，因?yàn)?，所以受迫振?dòng)位移幅值列向量也可表示為將上式代入(c)式得(c)（15-53）（15-53）上式就是求解慣性力幅值列向量的線性方程組。注意到（15-53）式的系數(shù)行列式D為每一列都提出mi(i=1,2…n)得上式中，當(dāng)時(shí)=k(k=1,2…n)，則有D=0。即慣性力幅值列向量將趨于∞。

這就是說，干擾力的頻率與體系的自振頻率相重合時(shí)，將發(fā)生共振。一般而言，對(duì)于n個(gè)自由度體系有n個(gè)自振頻率，所以共有n個(gè)共振區(qū)。例11求圖示體系的最大動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力。已知EI=常數(shù)，m1=m2=m，m1m2Fpsintl/3l/3l/3解：

取靜平衡位置為位移計(jì)算起點(diǎn)，方向向下為正。采用柔度法，先求柔度系數(shù)。利用圖乘法可得y1y21l/92l/91l/92l/9則代入慣性力幅值方程（15-53）式得（15-53）代入數(shù)據(jù)整理得解之得

求出慣性力幅值后，連同干擾力幅值一同作用于結(jié)構(gòu)上，如圖所示，按靜力分析，易得最大的動(dòng)彎矩和最大的動(dòng)剪力。FpI1*I2*FpI1*I2*M圖(×Fpl)0.31730.2034FQ圖(×Fp)0.95190.34150.6103?⊕∵∴在質(zhì)量m1處動(dòng)力幅值所產(chǎn)生的靜力值為相應(yīng)的動(dòng)力系數(shù)分別為位移：彎矩：剪力：可見，在多自由度體系中，沒有一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。這與單自由度體系不同。m1m2Fpl/3l/3l/315.8振型分解法

在上節(jié)討論多自由度體系的受迫振動(dòng)時(shí)，采用質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)（也稱幾何坐標(biāo)），所得到的運(yùn)動(dòng)方程彼此不獨(dú)立，是一組耦聯(lián)微分方程。對(duì)于無阻尼的簡諧受迫振動(dòng)，由于各質(zhì)點(diǎn)都作同步簡諧振動(dòng)，利用這一特性，可將耦聯(lián)微分方程組轉(zhuǎn)化為聯(lián)立代數(shù)方程組，求解不會(huì)存在多大的困難。然而，當(dāng)考慮阻尼影響或一般動(dòng)力荷載作用時(shí)，求解耦聯(lián)微分方程組將存在較大的困難。本節(jié)介紹的振型分解法，試圖通過坐標(biāo)變換，把原來耦聯(lián)微分方程組轉(zhuǎn)化為彼此獨(dú)立的微分方程，從而達(dá)到簡化計(jì)算的目的。8.1正則（廣義）坐標(biāo)的概念

在討論振型分解法之前，先介紹有關(guān)坐標(biāo)變換和正則坐標(biāo)的概念。為了便于敘述，以圖(a)所示的兩自由度體系為例說明。Fp1(t)Fp2(t)m1m2圖(a)

采用幾何坐標(biāo)時(shí)，質(zhì)量位移可表示為任選兩個(gè)量v1、v2作為新坐標(biāo)，并使新坐標(biāo)與舊坐標(biāo)間存在如下關(guān)系(a)式中的系數(shù)矩陣行列式不為零。即要求{y1

y2}T與{v1

v2}T之間存在單值關(guān)系由系數(shù)a、b、c、d組成的系數(shù)矩陣稱為坐標(biāo)變換矩陣。下面的工作就是尋求一組坐標(biāo)變換矩陣，使得在新坐標(biāo)系下，振動(dòng)微分方程組成為非耦合的形式。

設(shè)已求得體系的兩振型，選取第一振型規(guī)準(zhǔn)化向量的兩元素1(1)、2(1)為坐標(biāo)變換矩陣中的a、c，第二振型規(guī)準(zhǔn)化向量的兩元素1(2)、2(2)為坐標(biāo)變換矩陣中的b、d，即體系的振型矩陣作為坐標(biāo)變換矩陣。則1(1)2(1)第一振型1(2)2(2)第二振型(b)由于不同的振型對(duì)應(yīng)于不同的頻率，它們是線性無關(guān)的，因此必有|[]|≠0，說明采用振型矩陣[]作為坐標(biāo)變換矩陣，滿足線性變換條件。下面討論作了這樣的變換后，在新坐標(biāo)系下原來的運(yùn)動(dòng)方程有何變化。設(shè)兩