第5章 MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算-1

第5章MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算5.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理5.2數(shù)據(jù)插值5.3曲線擬合5.4離散傅立葉變換5.5

多項(xiàng)式計(jì)算5.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理5.11最大值和最小值

max和min，兩種調(diào)用格式：y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。(2)[y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號(hào)存入I，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。2．求矩陣的最大值和最小值max;min

有3種調(diào)用格式：(1)max(A)：返回一個(gè)行向量，向量的第i個(gè)元素是矩陣A的第i列上的最大值。(2)[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號(hào)。(3)max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1時(shí)，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時(shí)，該函數(shù)返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A矩陣的第i行上的最大值。3．兩個(gè)向量或矩陣對(duì)應(yīng)元素的比較

函數(shù)max和min還能對(duì)兩個(gè)同型的向量或矩陣進(jìn)行比較，調(diào)用格式為：(1)U=max(A,B)(2)U=max(A,n)：n是一個(gè)標(biāo)量5.1.2求和與求積函數(shù)是sum和prod

設(shè)X是向量，A是矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘積。sum(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素乘積。sum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于sum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于prod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素乘積。5.1.3平均值和中值:mean;median。mean(A)：第i元素是A的第i列的算術(shù)平均值。median(A)：第i個(gè)元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于mean(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的算術(shù)平均值。5.1.4累加和與累乘積Cumsum;cumprodcumsum(A)：第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：第i列是A的第i列的累乘積向量。cumsum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于cumsum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)矩陣，其第i行是A的第i行的累加和向量。5.1.5標(biāo)準(zhǔn)方差與相關(guān)系數(shù)1．求標(biāo)準(zhǔn)方差:std。

std(A)各元素是矩陣A各列或各行的標(biāo)準(zhǔn)方差。std函數(shù)的一般調(diào)用格式為：Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。當(dāng)dim=1時(shí)，求各列元素的標(biāo)準(zhǔn)方差；當(dāng)dim=2時(shí)，則求各行元素的標(biāo)準(zhǔn)方差。flag取0或1，當(dāng)flag=0時(shí)，按S1所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差，當(dāng)flag=1時(shí)，按S2所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差。缺省flag=0，dim=1。

2．相關(guān)系數(shù):corrcoef

可以求出數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。corrcoef函數(shù)的調(diào)用格式為：

corrcoef(X)：返回從矩陣X形成的一個(gè)相關(guān)系數(shù)陣。其大小與矩陣X一樣。它把矩陣X的每列作為一個(gè)變量，然后求它們的相關(guān)系數(shù)。corrcoef(X,Y)：在這里，X,Y是向量，它們與corrcoef([X,Y])的作用一樣。5.1.6排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個(gè)對(duì)X中的元素按升序排列的新向量。[Y,I]=sort(A,dim)

其中dim指明對(duì)A的列還是行進(jìn)行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。

Y是排序后矩陣，I記錄Y中元在A中位置。思考：按降序排列？Ex:利用MATLAB提供的randn函數(shù)生成符合正態(tài)分布的105隨機(jī)矩陣A，進(jìn)行如下操作：

(1)A各列元素的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

(2)A的最大元素和最小元素。

(3)求A每行元素的和以及全部元素之和。

(4)分別對(duì)A的每列元素按升序、每行元素按降序。5.2數(shù)據(jù)插值5.2.1一維數(shù)據(jù)插值數(shù)據(jù)插值:根據(jù)采集到的離散數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)g(x)，既與真實(shí)函數(shù)f(x)接近，又有很好的性質(zhì)。一維函數(shù)是interp1，其調(diào)用格式為：Y1=interp1(X,Y,X1,'method')

根據(jù)X,Y的值，計(jì)算函數(shù)在X1處的值。

X,Y--等長(zhǎng)的已知向量，采樣點(diǎn)和樣本值；X1--向量或標(biāo)量，欲插值的點(diǎn)；

Y1--X1等長(zhǎng)的插值結(jié)果。

method--插值方法，‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。注意：1、X1的取值范圍不能超出X的給定范圍，否則，會(huì)給出“NaN”錯(cuò)誤；2、MATLAB中有一個(gè)專門的3次樣條插值函數(shù)Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù)Y1=interp1(X,Y,X1,'spline')完全相同。例5-1給出概率積分的數(shù)據(jù)表，用不同的插值方法計(jì)算f(0.472)。x=0.46:0.01:0.49;%給出x,f(x)的值f=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683];formatlonginterp1(x,f,0.472)%線性插值interp1(x,f,0.472,'nearest')%最近點(diǎn)插值interp1(x,f,0.472,'cubic')%3次多項(xiàng)式插值interp1(x,f,0.472,'spline')%3次樣條插值例5-2（P124）某觀測(cè)站測(cè)得某日6:00時(shí)至18:00時(shí)之間每隔2小時(shí)的室內(nèi)外溫度(℃)，用3次樣條插值分別求得該日室內(nèi)外6:30至17:30時(shí)之間每隔2小時(shí)各點(diǎn)的近似溫度(℃)。5.2.2二維數(shù)據(jù)插值二維插值函數(shù)interp2，其調(diào)用格式為：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')X,Y--兩個(gè)向量，兩個(gè)參數(shù)的采樣點(diǎn)；

Z--與參數(shù)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；

X1,Y1--兩個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)；

Z1---根據(jù)相應(yīng)的插值方法得到的插值結(jié)果；

method--的取值與一維插值函數(shù)相同；

X,Y,Z--也可以是矩陣形式。同樣，X1,Y1的取值范圍不能超出X,Y的給定范圍，否則，會(huì)給出“NaN”錯(cuò)誤。例6-12設(shè)z=x2+y2，對(duì)z函數(shù)在[0,1]×[0,2]區(qū)域內(nèi)進(jìn)行插值。x=0:0.1:1;y=0:0.2:2;[X,Y]=meshgrid(x,y);%產(chǎn)生自變量網(wǎng)格坐標(biāo)Z=X.^2+Y.^2;%求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值interp2(x,y,z,0.5,0.5)%在(0.5,0.5)點(diǎn)插值例6-13某實(shí)驗(yàn)對(duì)一根長(zhǎng)10米的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測(cè)試。用x表示測(cè)量點(diǎn)0:2.5:10(米)，用h表示測(cè)量時(shí)間0:30:60(秒)，用T表示測(cè)試所得各點(diǎn)的溫度(℃)。試用線性插值求出在一分鐘內(nèi)每隔20秒、鋼軌每隔1米處的溫度TI。x=0:2.5:10;h=[0:30:60]';T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];xi=[0:10];hi=[0:20:60]';TI=interp2(x,h,T,xi,hi);mesh(xi,hi,TI)5.3曲線擬合用polyfit函數(shù)來求得最小二乘擬合多項(xiàng)式系數(shù)，再用polyval函數(shù)按所得的多項(xiàng)式計(jì)算所給出的點(diǎn)上的函數(shù)近似值。調(diào)用格式為：[P,S]=polyfit(X,Y,m)X--采樣點(diǎn)；Y--采樣點(diǎn)函數(shù)值；X,Y是兩個(gè)等長(zhǎng)

P--m次多項(xiàng)式，元素為多項(xiàng)式系數(shù)，長(zhǎng)度為m+1；

S--在采樣點(diǎn)的誤差向量；polyval函數(shù)--按多項(xiàng)式的系數(shù)計(jì)算x點(diǎn)多項(xiàng)式的值，將在5.5.3節(jié)中詳細(xì)介紹。例5-3用一個(gè)三次多項(xiàng)式在區(qū)間[0,2π]內(nèi)逼近函數(shù)sin(x)，比較兩曲線。命令如下：X=linspace(0,2*pi,50);Y=sin(X);[P,S]=polyfit(X,Y,3)%得到3次多項(xiàng)式的系數(shù)和誤差y1=polyval(P,X);plot(X,Y,':o',X,y1,'-*')5.5多項(xiàng)式計(jì)算5.5.1多項(xiàng)式的四則運(yùn)算1．多項(xiàng)式的加減運(yùn)算系數(shù)向量加減。2．多項(xiàng)式乘法運(yùn)算函數(shù)conv(P1,P2)用于求多項(xiàng)式P1和P2的乘積。這里，P1、P2是兩個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)向量。例5-4求多項(xiàng)式x4+8x3-10與多項(xiàng)式2x2-x+3的乘積。3．多項(xiàng)式除法函數(shù)[Q,r]=deconv(P1,P2)用于對(duì)多項(xiàng)式P1和P2作除法運(yùn)算。其中Q返回多項(xiàng)式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項(xiàng)式系數(shù)向量。deconv是conv的逆函數(shù)，即有P1=conv(P2,Q)+r。例6-17求多項(xiàng)式x4+8x3-10除以多項(xiàng)式2x2-x+3的結(jié)果。[Q,r]=deconv(a,b)6.5.2多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)對(duì)多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是：p=polyder(P)：求多項(xiàng)式P的導(dǎo)函數(shù)p=polyder(P,Q)：求P·Q的導(dǎo)函數(shù)[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分子存入p，分母存入q。上述函數(shù)中，參數(shù)P,Q是多項(xiàng)式的向量表示，結(jié)果p,q也是多項(xiàng)式的向量表示。例5-5求有理分式的導(dǎo)數(shù)。命令如下：P=[3,5,0,-8,1,-5];Q=[10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100];[p,q]=polyder(P,Q)5.5.3多項(xiàng)式的求值MATLAB提供了兩種求多項(xiàng)式值的函數(shù)：polyval與polyvalm，它們的輸入?yún)?shù)均為多項(xiàng)式系數(shù)向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項(xiàng)式求值，而后者是矩陣多項(xiàng)式求值。1．代數(shù)多項(xiàng)式求值polyval函數(shù)用來求代數(shù)多項(xiàng)式的值，其調(diào)用格式為：Y=polyval(P,x)若x為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式在該點(diǎn)的值；若x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元素求其多項(xiàng)式的值。例5-6已知多項(xiàng)式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個(gè)2×3矩陣為自變量計(jì)算該多項(xiàng)式的值。A=[1,8,0,0,-10];%4次多項(xiàng)式系數(shù)x=1.2;%取自變量為一數(shù)值y1=polyval(A,x)x=[-1,1.2,-1.4;2,-1.8,1.6];%給出一個(gè)矩陣xy2=polyval(A,x)2．矩陣多項(xiàng)式求值polyvalm