第一節(jié) 初始近似根的確定

數(shù)值計(jì)算方法第10章非線性方程（組）及其解法1．根的存在性。方程有沒有根？如果有根，有幾個(gè)根？2．這些根大致在哪里？如何把根隔離開來(lái)？3．根的精確化一引言（1.1）本章主要討論單變量非線性方程的求根問題，這里一類特殊的問題是多項(xiàng)式方程（1.2）的求根問題，其中系數(shù)為實(shí)數(shù).10.1求實(shí)根的對(duì)分區(qū)間法其中為正整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，稱為單根，若稱為（1.1）的重根，或?yàn)榈闹亓泓c(diǎn).若是的重零點(diǎn)，且充分光滑，則方程的根，又稱為函數(shù)的零點(diǎn)，它使，若可分解為當(dāng)為代數(shù)多項(xiàng)式（1.2）時(shí)，根據(jù)代數(shù)基本定理可知，次方程在復(fù)數(shù)域有且只有個(gè)根（含復(fù)根，重根為個(gè)根）.

時(shí)方程的根是大家熟悉的，時(shí)雖有求根公式但比較復(fù)雜，可在數(shù)學(xué)手冊(cè)中查到，但已不適合于數(shù)值計(jì)算，而時(shí)就不能用公式表示方程的根.通常對(duì)的多項(xiàng)式方程求根與一般連續(xù)函數(shù)方程（1.1）一樣都可采用迭代法.迭代法要求先給出根的一個(gè)近似，若且，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，這時(shí)稱為方程（1.1）的有根區(qū)間.1．畫出f(x)的略圖，從而看出曲線與x軸交點(diǎn)的位置。2．從左端點(diǎn)x=a出發(fā)，按某個(gè)預(yù)先選定的步長(zhǎng)h一步一步地向右跨，每跨一步都檢驗(yàn)每步起點(diǎn)x0和終點(diǎn)x0+h的函數(shù)值，若那么所求的根x*必在x0與x0+h之間，這里可取x0或x0+h作為根的初始近似。abx*f(x)通常可通過(guò)逐次搜索法求得方程（1.1）的有根區(qū)間.由此可知方程的有根區(qū)間為

例7.1.1

求方程的有根區(qū)間.

解根據(jù)有根區(qū)間定義，對(duì)的根進(jìn)行搜索計(jì)算，結(jié)果如下：用逐步搜索法進(jìn)行實(shí)根隔離的關(guān)鍵是選取步長(zhǎng)h

要選擇適當(dāng)h，使之既能把根隔離開來(lái)，工作量又不太大。為獲取指定精度要求的初值,可在以上隔離根的基礎(chǔ)上采用對(duì)分法繼續(xù)縮小該含根子區(qū)間

二分法可以看作是搜索法的一種改進(jìn)。二二分法考察有根區(qū)間，取中點(diǎn)將它分為兩半，假設(shè)中點(diǎn)不是的零點(diǎn)，然后進(jìn)行根的搜索.檢查與是否同號(hào)，如果確系同號(hào)，說(shuō)明所求的根在的右側(cè),這時(shí)令；否則必在的左側(cè)，這時(shí)令.不管出現(xiàn)哪一種情況，新的有根區(qū)間的長(zhǎng)度僅為的一半.對(duì)壓縮了的有根區(qū)間又可施行同樣的手續(xù)，即用中點(diǎn)將區(qū)間再分為兩半，然后通過(guò)根的搜索判定所求的根在的哪一側(cè)，從而又確定一個(gè)新的有根區(qū)間，其長(zhǎng)度是的一半.如此反復(fù)二分下去，即可得出一系列有根區(qū)間其中每個(gè)區(qū)間都是前一個(gè)區(qū)間的一半，因此的長(zhǎng)度當(dāng)時(shí)趨于零，就是說(shuō)，如果二分過(guò)程無(wú)限地繼續(xù)下去，這些區(qū)間最終必收縮于一點(diǎn)，該點(diǎn)顯然就是所求的根.每次二分后，設(shè)取有根區(qū)間的中點(diǎn)作為根的近似值，則在二分過(guò)程中可以獲得一個(gè)近似根的序列該序列必以根為極限.由于（1.3）只要二分足夠多次（即充分大），便有這里為預(yù)定的精度.

例2求方程在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)實(shí)根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位.

解這里，而取的中點(diǎn)，將區(qū)間二等分，由于，即與同號(hào)，故所求的根必在右側(cè)，這時(shí)應(yīng)令，而得到新的有根區(qū)間如此反復(fù)二分下去,按誤差估計(jì)（1.3）式,欲使只需，即只要二分6次，便能達(dá)到預(yù)定的精度.計(jì)算結(jié)果如表7-1.且f(x)在[2,3]上連續(xù),故方程f(x)=0在[2,3]內(nèi)至少有一個(gè)根。又當(dāng)時(shí)，,故f(x)在[2,3]上是單調(diào)遞增函數(shù),從而f(x)在[2,3]上有且僅有一根。給定誤差限＝0.5×10-3,使用二分法時(shí)證明令例３證明方程在區(qū)間[2,3]內(nèi)有一個(gè)根,使用二分法求誤差不超過(guò)的根要二分多少次？誤差限為只要取k滿足即可，二分法的優(yōu)點(diǎn)是不管有根區(qū)間多大,總能求出滿足精度要求的根,且對(duì)函數(shù)f(x)的要求不高,只要連續(xù)即可,計(jì)算亦簡(jiǎn)單;它的局限性是只能用于求函數(shù)的實(shí)根,不能用于求復(fù)根及重根,它的收斂速度與比值為的等比級(jí)數(shù)相同。即所以需二分10次便可達(dá)到要求。二分法是計(jì)算機(jī)上的一種常用算法，計(jì)算步驟為：步驟1準(zhǔn)備計(jì)算在有根區(qū)間端點(diǎn)處的值步驟2二分計(jì)算在區(qū)間中點(diǎn)處的值

步驟3判斷若，則即是根，計(jì)算過(guò)程結(jié)束，否則檢驗(yàn).若