第七章+波導(dǎo)與諧振腔(大連海事PPT)

第七章波導(dǎo)與諧振腔2023/2/11第七章波導(dǎo)與諧振腔

§7-1導(dǎo)波系統(tǒng)及其電磁場方程一、導(dǎo)波系統(tǒng)及其種類導(dǎo)波系統(tǒng)（或稱為傳輸線）：傳導(dǎo)電磁波的系統(tǒng)。（a）平行雙線

（b）同軸線

（c）微帶線

（d）矩形波導(dǎo)

（e）圓波導(dǎo)

（f）光纖

2023/2/12均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)：沿傳播方向?qū)Рㄑb置橫截面不發(fā)生變化。傳輸線類型：TEM波傳輸線，如雙導(dǎo)線、同軸線、微帶等；波導(dǎo)傳輸線，如矩形波導(dǎo)、圓形波導(dǎo)等；表面波傳輸線，如介質(zhì)波導(dǎo)等。二、導(dǎo)波系統(tǒng)的電磁場方程無限大空間向+z方向傳播均勻平面波

理想介質(zhì)中：

導(dǎo)電媒質(zhì)中：

可以統(tǒng)一寫為：

1．導(dǎo)波系統(tǒng)中電磁波的形式第七章波導(dǎo)與諧振腔2023/2/13導(dǎo)波系統(tǒng)沿z方向是均勻且無限延伸，則場與z無關(guān)，即

=

j為導(dǎo)波系統(tǒng)傳播常數(shù)，為衰減常數(shù)，

為相位常數(shù)。

和表示t=0時(shí)、z=0處導(dǎo)波系統(tǒng)的場量。

2．導(dǎo)波系統(tǒng)中的波動(dòng)方程導(dǎo)波系統(tǒng)為無源區(qū)域，并假設(shè)其內(nèi)部填充理想介質(zhì)，則

(7-1-6)

第七章波導(dǎo)與諧振腔將導(dǎo)波系統(tǒng)的電磁波表達(dá)式代入，有

2023/2/14第七章波導(dǎo)與諧振腔忽略導(dǎo)波系統(tǒng)的衰減，

=0，

=j，則有：

(7-1-8)

(7-1-9)

h稱為特征值，是待定的常數(shù)。用、代表、(7-1-10)

分解成標(biāo)量方程，即

2023/2/15(7-1-11)

其中→

第七章波導(dǎo)與諧振腔→

2023/2/16可得

約去ej(t－z)(7-1-13)

第七章波導(dǎo)與諧振腔2023/2/17聯(lián)立式(7-1-13)中的各式，可求得

求出電場、磁場的縱向分量Ez和Hz，即可求得其它橫向分量。(7-1-14)

第七章波導(dǎo)與諧振腔結(jié)論(7-1-11)

如何求出縱向分量Ez和Hz？根據(jù)（7-1-11）式求解。2023/2/18第七章波導(dǎo)與諧振腔§7-2矩形波導(dǎo)中的電磁場結(jié)論：傳播方向存在電場Ez分量。因此空心波導(dǎo)不能傳TEM波。

空心波導(dǎo)中能否傳輸TEM波呢？假設(shè)它能夠傳TEM波。在波導(dǎo)任意橫截面上作閉合環(huán)路L，沿L對磁場進(jìn)行環(huán)路積分。TEM波只有橫向場分量Ex，Ey和Hx，Hy。橫截面上磁場線是閉合曲線，因此沿任意閉合回路L磁場強(qiáng)度的環(huán)路積分(即環(huán)量值)H不為零，為傳導(dǎo)電流與位移電流之和，即等式右邊第1項(xiàng)代表傳導(dǎo)電流，波導(dǎo)管為空心金屬管，無內(nèi)導(dǎo)體不可能有傳導(dǎo)電流；右邊第2項(xiàng)位移電流不為零說明沿傳播方向存在縱向分量電場。2023/2/19一、矩形波導(dǎo)中電磁場的求解

1．分離變量法求解波動(dòng)方程思路：先求電場、磁場縱向分量Ez和Hz，然后求其它橫向分量。第七章波導(dǎo)與諧振腔由式(7-1-11)：(7-2-1)

僅是(x,y)的二元函數(shù)，假設(shè)它們可以寫成

(7-2-2)

波動(dòng)方程改寫為

2023/2/110第七章波導(dǎo)與諧振腔二元二階微分方程化成兩個(gè)相互獨(dú)立的一元二階微分方程

(7-2-6)

特征方程：

求得通解：

(7-2-7)

，

(7-2-4)

等式左邊第1項(xiàng)與第2項(xiàng)之間彼此獨(dú)立，等式右邊為常數(shù)h2，說明式中等號左邊的兩項(xiàng)分別等于兩個(gè)互相獨(dú)立的常數(shù)，即：

把上式代入式(7-2-2)，可得

(7-2-8a)

(7-2-8b)

(7-2-5)2023/2/111第七章波導(dǎo)與諧振腔2．矩形波導(dǎo)中的TM波(E波)TM

(E)波磁場的縱向分量Hz=0，電場的縱向分量Ez

0，可通過Ez

分量求場的其他分量。根據(jù)邊界條件，可得2023/2/112注意：m和n不能為零，否則電場Ez分量恒為零，TM波就不存在了。Bmn

是與激勵(lì)源有關(guān)的常數(shù)。(7-2-11)

第七章波導(dǎo)與諧振腔有了Ez和Hz就可以求其他分量，利用式(7-1-14)：

(7-1-14)

2023/2/113(7-2-12)

第七章波導(dǎo)與諧振腔注意：選擇一組m和n值，式(7-2-11)和(7-2-12)就是TM波(E波)的一組解，特征值就確定了，因此把“m”和“n”作為特征值的下標(biāo)。

2023/2/114由式(7-2-5)（p5）可得：

(7-2-13)

由(7-1-9)式：

可得：若矩形波導(dǎo)中TM波(E波)能無衰減地沿＋z傳播，傳播常數(shù)mn必須是純虛數(shù)mn=jmn，mn必須是實(shí)數(shù)。

(7-2-15)

第七章波導(dǎo)與諧振腔2023/2/115討論①m和n的選取必須使；②存在著許多組m和n使相位常數(shù)mn是實(shí)數(shù)，因此也就存在著許多種TM波(E波)，記為TMmn?；駿mn模。③可以求得TMmn模瞬時(shí)值形式的場表達(dá)式，再給定時(shí)刻，即可確定電磁場的分布，如圖7-2-2。④TMmn模下標(biāo)“m”是波導(dǎo)內(nèi)壁寬邊上場量最大值出現(xiàn)的次數(shù)(或半駐波數(shù))；第2個(gè)下標(biāo)“n”是波導(dǎo)內(nèi)壁窄邊上場量最大值出現(xiàn)的次數(shù)(或半駐波數(shù))。

第七章波導(dǎo)與諧振腔2023/2/116矩形波導(dǎo)TMmn模的電磁場分布

第七章波導(dǎo)與諧振腔2023/2/1173．矩形波導(dǎo)中的TE波(H波)TE波(H波)的電場Ez=0，磁場Hz

0，利用電場切向邊界條件：通過式(7-1-14)：可得：由此可求得：2023/2/118m和n只能一個(gè)為零，否則Hz

為常數(shù)，使其他場分量都為零。

由(7-1-14)(7-2-19)

2023/2/119hmn和mn的計(jì)算與TM波完全相同，Amn

=C2D2

與激勵(lì)源有關(guān)。

③TEmn模下標(biāo)“m”、“n”與TMmn模下標(biāo)“m”、“n”含義相同。

①存在著許多種TE波(H波)，記為TEmn模或Hmn模。

②由TEmn模場強(qiáng)瞬時(shí)值形式可確定電磁場的分布，如圖所示。

討論：第七章波導(dǎo)與諧振腔2023/2/120TEmn模的電磁場分布

第七章波導(dǎo)與諧振腔2023/2/121二、矩形波導(dǎo)中兩種波型的電氣參數(shù)

1．截止頻率(截止波長)和相位常數(shù)mn為實(shí)數(shù)→TMmn和TEmn模在波導(dǎo)中以行波方式無衰減傳輸；截止頻率：使k=hmn的TMmn或TEmn模電磁波頻率，記作fc(mn)。

由式(7-2-15)，可得：

(7-2-20)

若矩形波導(dǎo)填充空氣，則(7-2-21)

mn

=–j

→TMmn模或TEmn模處于衰減狀態(tài)，沿波導(dǎo)衰減；mn=0→TMmn和TEmn模處于臨界狀態(tài)，不能沿波導(dǎo)傳輸。

2023/2/122(7-2-22)

截止波長：使k=hmn無限大介質(zhì)中TEM波的波長，記作c(mn)

①矩形波導(dǎo)的TMmn?；騎Emn模的截止頻率fc(mn)與波導(dǎo)填充的介質(zhì)、波導(dǎo)的幾何尺寸以及m和n的選取有關(guān)；而截止波長c(mn)僅與波導(dǎo)的幾何尺寸以及m和n的選取有關(guān)。

②只有f>fc(mn)或者

<

c(mn)

，矩形波導(dǎo)才存在TMmn?；騎Emn模；用工作波長0判斷，只有當(dāng)，矩形波導(dǎo)中才能存在以行波方式傳播的TMmn?；騎Emn模。討論：(7-2-24)

2023/2/123波導(dǎo)波長：在波導(dǎo)中，相位差為2的兩個(gè)等相位面之間的距離。

第七章波導(dǎo)與諧振腔2．波導(dǎo)波長、相速和群速,

說明：①對于不同m和n的TMmn?；騎Emn模有不同的波導(dǎo)波長。②是TEM波在矩形波導(dǎo)所填充介質(zhì)中的波長。

③電磁波的頻率f越高，矩形波導(dǎo)中可能出現(xiàn)的波型模式就越多。

④介質(zhì)填充使波導(dǎo)中出現(xiàn)的波型多于空氣填充。

(7-2-25)

2023/2/124第七章波導(dǎo)與諧振腔相速：TMmn模或TEmn模的動(dòng)態(tài)等相位面的運(yùn)動(dòng)速度。

說明：矩形波導(dǎo)中不同m和n的TMmn?；騎Emn模有不同的相速。(7-2-28)

②當(dāng)矩形波導(dǎo)內(nèi)由空氣填充時(shí)，

=0，vp

=c。③矩形波導(dǎo)是色散系統(tǒng)。④TMmn或TEmn模的相速vp(mn)大于相同介質(zhì)中TEM波的相速vp，對于不填充介質(zhì)的情形，TMmn或TEmn模的相速vp(mn)將大于自由空間的光速c。

2023/2/125第七章波導(dǎo)與諧振腔群速(7-2-29)

說明：矩形波導(dǎo)中不同m和n的TMmn模或TEmn模有不同的群速。TMmn或TEmn模群速vg(mn)是電磁波能量(信號)運(yùn)動(dòng)的速度，不大于相同介質(zhì)中TEM波相速vp，也不會(huì)大于自由空間光速c。

E-H簡并現(xiàn)象：若矩形波導(dǎo)中TMmn模和TEmn模有相同的m和n(m≥0,n

≥0)

，則兩種模的c(mn)、mn、g(mn)、vp(mn)和vg(mn)也相同，這樣的兩種波型模式將會(huì)在矩形波導(dǎo)中同時(shí)出現(xiàn)。

2023/2/126第七章波導(dǎo)與諧振腔3．TMmn?；騎Emn模的波阻抗由式(7-2-12)和式(7-2-19)可求得TMmn模或TEmn模的波阻抗：

對TMmn模，可通過波阻抗由電場求磁場，但反之不成立；對TEmn模，可通過波阻抗由磁場求電場，反之不成立。注意：當(dāng)TMmn和TEmn模有相同的“m，n”時(shí)，兩種模式的截止波長c(mn)和其他各對應(yīng)參數(shù)彼此相同，但波阻抗是不相同的。(7-2-32)

(7-2-35)

2023/2/127第七章波導(dǎo)與諧振腔例7-2-1矩形波導(dǎo)橫截面尺寸為ab=2.2861.016(cm2)，波導(dǎo)填充空氣(0,0)，波導(dǎo)傳輸信號的頻率為f=31010Hz。求：E11模和H11模的截止頻率fc(11)，截止波長c(11)，波導(dǎo)波長g(11)，兩種模式的波阻抗和。解：E11模和H11模的截止頻率、截止波長和波導(dǎo)波長相同，即

2023/2/128第七章波導(dǎo)與諧振腔2023/2/129第七章波導(dǎo)與諧振腔

fc(m,n)>f

c(m-1,n)(

或

f

c(m,,n-1))>f

c(m-1,n-1)

c(m,n)<

c(m-1,n)(

或

c(m,,n-1))<c(m-1,n-1)

<c(m-1,n-1)→波導(dǎo)中存在TEm-1,n-1、TMm-1,n-1、……

<c(m,n)→波導(dǎo)中存在TEm,n、TMm,n、TEm-1,n-1、TMm-1,n-1

……

§7-3矩形波導(dǎo)中的TE10模(H10模)頻率f越大或波長越小，波導(dǎo)中存在的工作模式越多。

顯然有：2023/2/130第七章波導(dǎo)與諧振腔一、矩形波導(dǎo)的單模傳輸條件為了防止信息失真，要求波導(dǎo)內(nèi)只存在單一的工作模式。高次?；蚋叽涡筒ǎ航刂诡l率高的工作模式；

低次?；虻痛涡筒ǎ航刂诡l率低的工作模式。

常見的截止波長有：

規(guī)定：矩形波導(dǎo)橫截面尺寸a>b。

最低次模：TE10波，截止頻率最低，截止波長最大，稱作主模。單模傳輸條件：(7-3-3)

2023/2/131第七章波導(dǎo)與諧振腔通常矩形波導(dǎo)橫截面寬邊尺寸a是窄邊尺寸b的2倍略多一點(diǎn)。模式分布圖2023/2/132第七章波導(dǎo)與諧振腔a

b=2.3cm

1.0cm標(biāo)準(zhǔn)矩形波導(dǎo)的截止波長分布圖2023/2/133第七章波導(dǎo)與諧振腔如果波導(dǎo)中填充介質(zhì)，則：單模傳輸條件改為填充介質(zhì)相當(dāng)于波導(dǎo)矩形橫截面長度和寬度都擴(kuò)大了倍

對于非鐵磁媒質(zhì)例7-3-1矩形波導(dǎo)橫截面尺寸a

b=7cm

3cm，填充r=1，r=4介質(zhì)。問：f=3.75

109Hz的信號在波導(dǎo)中有幾種模式？解：頻率為f=3.75

109Hz的信號在真空中的波長為(7-3-5)

2023/2/134第七章波導(dǎo)與諧振腔下面依次求出若干個(gè)模式的截止波長，再逐個(gè)判斷。介質(zhì)中的TEM波波長為2023/2/135第七章波導(dǎo)與諧振腔存在：TE10，TE20，TE01，TE11，TM11，TE30，TE21和TM21波。例7-3-2

矩形波導(dǎo)中填充r=1，r=4介質(zhì)。f=3.75

109Hz的信號以H10模單模傳輸，求該矩形波導(dǎo)橫截面尺寸a

b

。解：由式(6-1-34)

由單模傳輸條件式(7-3-3)：

可得：因此可以選擇：a

b=2.850cm

1.262cm

如果這個(gè)矩形波導(dǎo)不填充介質(zhì)，就只能傳輸TE10模。

填充r=4的非鐵磁理想介質(zhì)，相當(dāng)于把波導(dǎo)橫截面的長度和寬度都擴(kuò)大2倍，由單模傳輸狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槎嗄鬏敔顟B(tài)。

2023/2/136第七章波導(dǎo)與諧振腔例7-3-3矩形波導(dǎo)橫截面尺寸a

b=7cm

3cm。問：(1)當(dāng)波導(dǎo)內(nèi)填充空氣時(shí)，工作波長為0=28cm的信號能否以TE10模(H10模)傳輸？(2)實(shí)現(xiàn)TE10模(H10模)單模傳輸，所填充介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率r和相對介電常數(shù)r應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

解：(1)由式(7-2-22)：

不能以TE10模傳輸(2)由式(7-3-5)可知，填充介質(zhì)的r和r應(yīng)滿足：

解之，可得4<rr

16

若所選擇的介質(zhì)為非鐵磁介質(zhì)，則有4<

r

16

矩形波導(dǎo)中填充介質(zhì)后，可由截止?fàn)顟B(tài)變?yōu)閱文鬏敔顟B(tài)。若r和r較大，還可變?yōu)槎嗄鬏敔顟B(tài)。2023/2/137第七章波導(dǎo)與諧振腔二、矩形波導(dǎo)TE10模(H10模)的場結(jié)構(gòu)

1．電磁場結(jié)構(gòu)TEmn（或Hmn）模的場表達(dá)式：

(7-2-18)

(7-2-19)

2023/2/138第七章波導(dǎo)與諧振腔加入指數(shù)因子后TE10模場表達(dá)式：

討論：

①電磁場沿y方向沒有變化；

②Ey、Hx在x=0和x=a兩個(gè)波導(dǎo)壁為零，在寬壁中心線上最大；Hz在兩個(gè)波導(dǎo)壁最大，在寬壁中心線上為零。場圖:某固定時(shí)刻用電力線和磁力線表示電磁場分布的圖形。③磁場線都是平行于寬面的閉合曲線；磁場曲線族沿z方向長度為半波導(dǎo)波長；相鄰曲線族環(huán)繞方向相反。

2023/2/139第七章波導(dǎo)與諧振腔2023/2/1402．電流與電荷的分布理想導(dǎo)體表面上面電流密度矢量為：

TE10模的場:矩形波導(dǎo)y=0平面：

；

y=b平面：

TE10

(H10)模在上下兩寬壁的磁場：

寬邊內(nèi)壁上下兩側(cè)對應(yīng)點(diǎn)處電流密度矢量：

矩形波導(dǎo)x=0平面：

；

x=a平面：

TE10模在上下兩窄壁的磁場：Hz(a,y,z)=

Hz(0,y,z)

窄邊內(nèi)壁左右兩側(cè)對應(yīng)點(diǎn)處電流密度矢量:

2023/2/141第七章波導(dǎo)與諧振腔由(1-5-3)式知，理想導(dǎo)體表面上面電荷與電場強(qiáng)度矢量關(guān)系為：

矩形波導(dǎo)x=0平面和

x=a平面上：表面電荷密度S=0；

矩形波導(dǎo)y=0平面：

；

y=b平面：

矩形波導(dǎo)寬壁內(nèi)表面上、下兩側(cè)的對應(yīng)點(diǎn)處表面電荷密度:

S(x,b,z)=

S(x,

0,z)

作業(yè)：7-1，7-3，7-4，7-62023/2/142第七章波導(dǎo)與諧振腔四、TE10（H10）模的傳輸功率（行波狀態(tài)下單模傳輸?shù)墓β剩?/p>

，

根據(jù)(7-3-8)式，令

(7-3-29a)

2023/2/143第七章波導(dǎo)與諧振腔(7-3-31)

在波導(dǎo)任意橫截面上通過的平均功率為：2023/2/144第七章波導(dǎo)與諧振腔(7-3-32,33,34)

2023/2/145§7-4圓形波導(dǎo)中的電磁波第七章波導(dǎo)與諧振腔一、圓形波導(dǎo)內(nèi)的電磁場方程忽略衰減，

=j。圓形波導(dǎo)的電磁場矢量可寫成：(7-4-2)

圓形波導(dǎo)存在衰減:

=

j

(7-4-3)

2023/2/146第七章波導(dǎo)與諧振腔波導(dǎo)管內(nèi)部無傳導(dǎo)電流，故由麥克斯偉方程(5-1-14)可得：

，

根據(jù)附錄五圓柱坐標(biāo)系的旋度公式可得：

同理可以寫出磁場的旋度運(yùn)算的行列式，由此可得六個(gè)標(biāo)量方程。

(7-4-5)

2023/2/147

第七章波導(dǎo)與諧振腔(7-4-6)

用縱向分量Ez和Hz來表示其他坐標(biāo)分量，即

(7-4-7)

2023/2/148第七章波導(dǎo)與諧振腔可推導(dǎo)出Ez和Hz兩個(gè)坐標(biāo)分量在圓柱坐標(biāo)系中的波動(dòng)方程為：

(7-4-12)

h稱為特征值，根據(jù)電磁場邊界條件及波型模式來確定。

(7-4-13)

其中2023/2/149第七章波導(dǎo)與諧振腔二、圓波導(dǎo)的分離變量法消除式(7-4-12)中的指數(shù)因子，可得：(7-4-14)

(7-4-15)

設(shè)：帶入(7-4-14),整理得：(7-4-16)

ρ和Φ是各自獨(dú)立的變量,因此等式等于一個(gè)常數(shù)，令其為m2。由此可得到兩個(gè)二階微分方程：2023/2/150第七章波導(dǎo)與諧振腔二、貝賽爾函數(shù)簡介貝賽爾函數(shù)分為第1類貝賽爾函數(shù)和第2類貝賽爾函數(shù)。第1類貝賽爾函數(shù)是一個(gè)收斂的無窮冪級數(shù)。(7-4-17)

(7-4-21)

兩個(gè)方程的解分別為：(7-4-18)

(7-4-22)

其中為第1類m階貝塞爾函數(shù)。2023/2/151第七章波導(dǎo)與諧振腔m階第1類貝賽爾函數(shù)(以下簡稱m階貝賽爾函數(shù))為式中自變量x

0。貝賽爾函數(shù)的階數(shù)可以取m=0,1,2,3,···。m=0時(shí)，稱為0階貝賽爾函數(shù)，即

使Jm(x)=0的x值稱為m階貝賽爾函數(shù)Jm(x)的根。記作pmn，n=1，2，3，…，是根pmn由小到大排列的的序號。圖7-4-2給出了0～3階貝賽爾函數(shù)隨x的變化曲線，表7-4-1給出了0～3階貝賽爾函數(shù)的前4個(gè)根。2023/2/152第七章波導(dǎo)與諧振腔圖7-4-2

J0(x)，J1(x)，J2(x)

和J3(x)

的變化規(guī)律2023/2/153第七章波導(dǎo)與諧振腔m階貝賽爾函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作m階貝賽爾導(dǎo)函數(shù)

(7-4-30)

使Jm(x)=0的自變量x值稱作m階貝賽爾導(dǎo)函數(shù)Jm(x)的根，記作pmn，n=1,2,3,…，是根pmn由小到大排列的序號。圖7-4-3給出貝賽爾導(dǎo)函數(shù)變化曲線。表7-4-2給出貝賽爾導(dǎo)函數(shù)的前4個(gè)根。

n

m123402.4055.5208.65411.79213.8327.01610.17313.32425.1367.21711.62014.79636.3809.76113.01516.223表7-4-1

Jm(x)的前4個(gè)根pmn

2023/2/154第七章波導(dǎo)與諧振腔圖7-4-3貝塞爾導(dǎo)函數(shù)曲線

2023/2/155第七章波導(dǎo)與諧振腔n

m123403.8327.01610.17313.32411.8415.3317.33611.70623.0546.7069.97013.17034.2018.01511.34414.586表7-4-2貝賽爾導(dǎo)函數(shù)Jm(x)的前4個(gè)根pmn

2023/2/156第七章波導(dǎo)與諧振腔n

m123403.8327.01610.17313.32411.8415.3317.33611.70623.0546.7069.97013.17034.2018.01511.34414.586表7-4-2J

m(x)的前4個(gè)根pmn

比較表7-4-1與表7-4-2

nm123402.4055.5208.65411.79213.8327.01610.17313.32425.1367.21711.62014.79636.3809.76113.01516.223表7-4-1

Jm(x)的前4個(gè)根pmn

比較的結(jié)果：結(jié)論：一階貝塞爾函數(shù)的根與零階貝塞爾導(dǎo)函數(shù)的根相同。2023/2/157第七章波導(dǎo)與諧振腔三、圓形波導(dǎo)中電磁場求解及有關(guān)參數(shù)1．圓形波導(dǎo)中的TM波(E波)由邊界條件可以求得TMmn模(Emn模)相應(yīng)的特征值為

(7-4-34)

(7-4-36)

a為圓波導(dǎo)半徑，將式(7-4-36)帶入式(7-4-34)，Ez為

由分離變量法可得圓波導(dǎo)TMmn(Emn)模電場縱向分量Ez為

(7-4-37)

將上式代入式(7-4-7)并考慮Hz=0，可得圓波導(dǎo)四個(gè)橫向分量。2023/2/158第七章波導(dǎo)與諧振腔(7-4-38)

討論：

①如果m=0，則

90。②在波導(dǎo)壁內(nèi)表面

=a上，E

=0；H

=0，符合邊界條件

2023/2/159第七章波導(dǎo)與諧振腔TMmn模(Emn模)的截止波長

當(dāng)波在波導(dǎo)中截止時(shí)β=0，則：

(7-4-40)

vp是介質(zhì)中TEM波的相速，相應(yīng)的截止波長為

TMmn模(Emn模)的截止波長與內(nèi)部填充的介質(zhì)無關(guān)，僅取決于貝塞爾函數(shù)的根pmn和圓波導(dǎo)半徑a，而截止頻率還與填充的介質(zhì)有關(guān)。

討論：2023/2/160第七章波導(dǎo)與諧振腔圓波導(dǎo)TMmn模(Emn模)的其它參數(shù)圓波導(dǎo)TMmn

(Emn)模場分布中，m代表橫截面上沿圓周方向磁場切向分量變化的周期數(shù)（或半圓周上最大值出現(xiàn)次數(shù)）；n代表橫截面上沿半徑方向磁場線最密集數(shù)（最大值數(shù))。

例如，TM01模沿圓周方向場量沒有任何變化，對應(yīng)m=0；沿半徑方向磁場線最密集出現(xiàn)1次，對應(yīng)n=1。

，，2023/2/161第七章波導(dǎo)與諧振腔圓波導(dǎo)TM01模(E01模)場結(jié)構(gòu)分布圖

2023/2/162第七章波導(dǎo)與諧振腔2．圓形波導(dǎo)中TE波(H波)由分離變量法可得：

圓形波導(dǎo)TE(H)模的特征值為

(7-4-46)

(7-4-48)

由式(7-4-7)可得：(7-4-45)

由電場切向分量連續(xù)的邊界條件可得：(7-4-47)

2023/2/163第七章波導(dǎo)與諧振腔(7-4-50)

將式(7-4-49)

代入式(7-4-45)并考慮Ez=0，可得：(7-4-49)

將特征值帶入式（7-4-46）可得：2023/2/164第七章波導(dǎo)與諧振腔圓形波導(dǎo)TEmn(Hmn)模的截止頻率為：

圓形波導(dǎo)TEmn(Hmn)模的截止波長為：

圓形波導(dǎo)TEmn(Hmn)模的波阻抗為：

(7-4-55)

(7-4-52)

(7-4-54)

2023/2/165第七章波導(dǎo)與諧振腔圓形波導(dǎo)TEmn(Hmn)模的其他參數(shù)

(7-4-54)

說明：T