半導(dǎo)體中載流子的統(tǒng)計分布

第三章Statisticdistributionofcarrierinsemiconductor半導(dǎo)體中載流子的統(tǒng)計分布●狀態(tài)密度●費米能級和載流子的統(tǒng)計分布●本征半導(dǎo)體載流子濃度的計算●雜質(zhì)半導(dǎo)體載流子濃度的計算●簡并半導(dǎo)體載流子濃度的計算中心問題：半導(dǎo)體中載流子濃度隨溫度變化的規(guī)律；計算一定溫度下半導(dǎo)體中熱平衡載流子濃度。主要內(nèi)容：§3.1狀態(tài)密度一、熱平衡狀態(tài)：產(chǎn)生載流子過程—電子從價帶或雜質(zhì)能級向?qū)кS遷；載流子復(fù)合過程—電子從導(dǎo)帶回到價帶或雜質(zhì)能級上。同時有：在一定的溫度下，在半導(dǎo)體材料中存在：●●○○產(chǎn)生復(fù)合EcEDEv在一定的溫度下，產(chǎn)生數(shù)=復(fù)合數(shù)熱平衡狀態(tài)熱平衡時載流子濃度決定于兩個因素：允許電子存在的量子態(tài)是如何按能量分布的，或者說每一個能量E有多少允許電子存在的量子態(tài)？→狀態(tài)密度電子是按什么規(guī)律分布在這些能量狀態(tài)的？→分布函數(shù)二、狀態(tài)密度狀態(tài)密度:能帶中能量E--E+dE之間有dZ個量子態(tài)。即狀態(tài)密度是能帶中能量E附近單位能量間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)目半導(dǎo)體的導(dǎo)帶和價帶中，有很多能級存在，間隔很小，約10-22eV，可以認為是準(zhǔn)連續(xù)的。波矢k～電子態(tài)的關(guān)系能量E～電子態(tài)的關(guān)系能量E～波矢k態(tài)密度的計算方法狀態(tài)密度的計算：通過狀態(tài)空間即k空間1、理想晶體的k空間的狀態(tài)密度（1）：一維晶體（一維單原子鏈）設(shè)它由N個原子組成，晶格常數(shù)為a，晶體的長為L=aN，起點在x處axL=a×N

x+L在x和x+L處，電子的波函數(shù)分別為φ(x)和φ(x+L)φ(x)=φ(x+L)滿足周期性邊界條件:∴∵∴∴（2）.三維晶體小立方的體積為：一個允許電子存在的狀態(tài)在k空間所占的體積∴單位k空間允許的狀態(tài)數(shù)為：即：單位k空間體積內(nèi)所含的允許狀態(tài)數(shù)正比于晶體體積V—k空間的量子態(tài)（狀態(tài)）密度如考慮自旋后，k空間的電子態(tài)密度為：任意k空間體積V中所包含的電子態(tài)數(shù)為：2、半導(dǎo)體導(dǎo)帶底附近和價帶頂附近的狀態(tài)密度（1）、極值點k0=0，E(k)為球形等能面(a)導(dǎo)帶底球形等能面的半徑k：球所占的k空間的體積為：設(shè)這個球內(nèi)所包含的電子態(tài)數(shù)為Z(E)：能量由E增加到E+dE，k空間體積增加：電子態(tài)變化dZ(E)：導(dǎo)帶底附近單位能量間隔的電子態(tài)數(shù)—量子態(tài)（狀態(tài)）密度為：(b)價帶頂部EEc1Ev2gc(E)gv(E)狀態(tài)密度與能量的關(guān)系圖對Si、Ge、GaAs材料,價帶頂有重空穴和輕空穴：稱mdp為價帶空穴狀態(tài)密度有效質(zhì)量令：則：(2)極值點ko≠0,(旋轉(zhuǎn)橢球等能面情況)導(dǎo)帶底附近：導(dǎo)帶底（不止有一個狀態(tài)）附近的狀態(tài)密度為：式中S為導(dǎo)帶極小值的個數(shù),即導(dǎo)帶底的狀態(tài)共有S個如，由于對稱性，Si：S=6，Ge：S=4令：稱mdn導(dǎo)帶電子狀態(tài)密度有效質(zhì)量如考慮晶體的對稱性，取旋轉(zhuǎn)橢球等能面，則存在縱的和橫的有效質(zhì)量：同理，價帶頂狀態(tài)密度：由此可知：狀態(tài)密度gc(E)和gv(E)與能量成正比，還與有效質(zhì)量有關(guān)，有效質(zhì)量大的能帶中的狀態(tài)密度大。為空穴態(tài)密度有效質(zhì)量gv(E)與gc(E)有相同的形式§3.2費米能級和載流子統(tǒng)計分布1、假設(shè)已知導(dǎo)帶（價帶）中單位能量間隔含有的狀態(tài)數(shù)為gc(E)—導(dǎo)帶（價帶）的狀態(tài)密度。2、還有對于多粒子系統(tǒng)應(yīng)考慮粒子的統(tǒng)計分布：能量為E的每個狀態(tài)被電子占有的幾率為f(E)，即要考慮電子在不同能量的量子態(tài)的統(tǒng)計分布。一、載流子濃度的求解思路：在熱平衡時，統(tǒng)計分布的概率是一定的。所以，在能量dE內(nèi)的狀態(tài)具有的電子數(shù)為：f(E)gc(E)dE。整個導(dǎo)帶的電子數(shù)N為：f(E)?二、費米（Fermi）分布函數(shù)與費米能級1、費米分布函數(shù)：

電子遵循費米-狄拉克（Fermi-Dirac）統(tǒng)計分布規(guī)律。能量為E的一個獨立的電子態(tài)被一個電子占據(jù)的幾率為：沒有被電子占有的幾率為：也就是量子態(tài)被空穴占據(jù)的幾率只要知道EF，在一定溫度下，電子在各個量子態(tài)上的統(tǒng)計分布就能完全確定！2、費米能級EF的特點：它和溫度、導(dǎo)電類型、雜質(zhì)含量以及能量零點的選取有關(guān)?？梢杂蓺w一化條件決定。即能帶內(nèi)所有量子態(tài)被電子占據(jù)的量子數(shù)應(yīng)等于電子總數(shù)。就是處于熱平衡狀態(tài)下，增加一個電子所引起系統(tǒng)的自由能的增加。在平衡時電子系統(tǒng)有統(tǒng)一的費米能級。EF就是系統(tǒng)的化學(xué)勢(1)、f(E)與體系所處的溫度T直接相關(guān)

f(E)EF1/21T＞0k若E＜EF,f(E)＞1/2若E＝EF,f(E)＝1/2若E＞EF,f(E)＜1/2當(dāng)T=0k時，若E＜EF,f(E)=1若E＞EF,f(E)=0電子占據(jù)的界限例子：當(dāng)量子態(tài)的能量比費米能級高或低5kT時：所以，溫度高于0k時，能量比費米能級高5kT的量子態(tài)被占據(jù)的概率為0.7%;量子態(tài)幾乎是空的；而比費米能級低5kT的量子態(tài)被電子占據(jù)的概率是99.3%,概率很大，量子態(tài)幾乎總有電子。一般認為，在溫度不高時，能量大于費米能EF的能級基本沒有被電子占據(jù)；小于費米能EF的能級的量子態(tài)基本被電子所占據(jù)。費米能級標(biāo)志了電子填充能級的水平，費米能級位置高說明有較多高能量的量子態(tài)有電子。(2)、f(E)與體系費米能EF相關(guān)性EFEFEA強p型（a）EFEFEi（b）（c）（d）（e）p型本征n型強n型EFEDEF↑，f(E)↑，高能帶中的電子占有幾率增加。費米能級的位置標(biāo)志著電子填充水平的高低三、波爾茲曼（Boltzmann）分布函數(shù)1.電子的玻氏分布玻爾茲曼分布可見，此時費米分布幾率和波爾茲曼分布幾率基本相等。當(dāng)E－EF＞＞kT時，量子態(tài)被電子占據(jù)的概率很小，泡利不相容原理失去作用，兩種統(tǒng)計結(jié)果一樣。例如：E－EF=5kT時，對于本征Si:在室溫時，kT=0.026ev，0.56/0.026=21.6＞5EcEvEF=EiEg所以，導(dǎo)帶中的電子可以用玻氏分布來計算2.空穴的玻氏分布當(dāng)E遠低于EF時，空穴占據(jù)能量為E的量子態(tài)的幾率很小，即這些量子態(tài)幾乎都被電子占據(jù)。E↑，空穴占有幾率增加；EF↑，空穴占有幾率下降，即電子填充水平增高?？昭ǖ牟Ｊ戏植挤腂oltzmann分布的電子系統(tǒng)為非簡并系統(tǒng)，相應(yīng)的半導(dǎo)體是非簡并半導(dǎo)體服從Fermi分布的電子系統(tǒng)是簡并系統(tǒng)，相應(yīng)的半導(dǎo)體為簡并半導(dǎo)體半導(dǎo)體中一般情況，費米能級在禁帶之中，并且與導(dǎo)帶底或價帶頂?shù)拙嚯x遠大于kT,所以導(dǎo)帶的電子可用玻耳茲曼分布函數(shù)。稱為非簡并半導(dǎo)體滿足：四、導(dǎo)帶中的電子濃度和價帶中的空穴濃度本征激發(fā)－本征載流子的產(chǎn)生：空穴電子成對產(chǎn)生如何算出兩種載流子的濃度?1、導(dǎo)帶電子濃度no和價帶空穴濃度po（1）.電子濃度no

在能量E→E+dE間隔內(nèi)的電子數(shù)dN為：dN=fB(E)gc(E)dE所以，整個導(dǎo)帶的電子數(shù)N為：分布函數(shù)態(tài)密度引入：利用積分公式：

簡化計算一般，導(dǎo)帶寬度為1到2eV，當(dāng)T=500K,kT=0.043eV,1/0.043=23,在積分的被積函數(shù)隨x增大而迅速減小。積分上限取不影響結(jié)果。物理上講，導(dǎo)電電子主要集中在導(dǎo)帶的底部。電子占據(jù)導(dǎo)帶底Ec

的幾率令：——

導(dǎo)帶有效狀態(tài)密度所以：導(dǎo)帶電子濃度（2）.空穴濃度po價帶中的空穴濃度為：其中——

價帶的有效狀態(tài)密度在室溫時,常用半導(dǎo)體的導(dǎo)帶、價帶有效狀態(tài)密度為：Nc(cm-3)Nv(cm-3)Si2.8×10191.2×1019

Ge 1.04×1019

6.1×1018

GaAs 4.7×10177×1018

2、影響no和po

的主要因素：（1）mdn和mdp的影響－－材料本征的影響電子空穴三個因素：m,T,EF（2）溫度T的影響NC、NV～Tf(EC)

～T①

有效狀態(tài)密度Nc、Nv～TT↑，NC、NV↑no、po↑②占據(jù)EC、EV的幾率f函數(shù)與T有關(guān)T升高，幾率增大

溫度升高，本征激發(fā)加劇，有更多的電子和空穴產(chǎn)生（3）費米能級EF位置的影響●EF→EC，EC-EF↓，no↑－－EF越高，電子的填充水平越高?！馝F→EV，EF-EV↓，po↑－－EF越低，電子的填充水平越低。費米能級的高低取決于材料，溫度與雜質(zhì)3、載流子濃度積（1）對于一定材料，n0p0只決定于溫度T，和雜質(zhì)及費米能級無關(guān)；（2）當(dāng)溫度T一定時，不同材料因禁帶寬度Eg不同，不同的有效質(zhì)量，

n0p0不同。與雜質(zhì)無關(guān)⑵影響因素（1）對于一定材料，n0p0只決定于溫度T，和雜質(zhì)及費米能級無關(guān)；（2）當(dāng)溫度T一定時，不同材料因禁帶寬度Eg不同，不同的有效質(zhì)量，

n0p0也不同。§3.3本征半導(dǎo)體的載流子濃度在T≠0,熱平衡態(tài)下，電子和空穴成對產(chǎn)生，半導(dǎo)體是電中性的，即：n0=p0兩式相等一、本征半導(dǎo)體的費米能級EFn0和p0?即得到：Ei為禁帶的中心能級將NC、NV代入上式：Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo例如：室溫時，kT=0.026evEF－Ei=－0.008eV（和帶隙Eg相比很?。┧?，一般溫度下，Si、Ge、GaAs等本征半導(dǎo)體的EF近似在禁帶中央Ei，只有溫度較高時，EF才會偏離Ei。(Eg)Ge=0.67ev∴EF≈Ei對Si、GaAs一樣，EF≈Ei特例：對InSb，Eg=0.17ev,mdp/mdn

約為32，EF≠Ei，費米能級遠在禁帶中線之上。二、本征載流子濃度及影響因素可以見到：（1）、溫度一定時，Eg大的材料，ni小；（2）、對同種材料，ni隨溫度T按指數(shù)關(guān)系上升。1、本征載流子濃度ni代入h和k0的數(shù)值，引入電子慣性質(zhì)量m0通過實驗測量很寬溫度范圍的本征載流子濃度，可以得到Ge、Si、GaAs的Eg(0)為0.78ev、1.21eV、1.53eV，和光學(xué)方法測定數(shù)值吻合。2、一般半導(dǎo)體載流子濃度積與ni關(guān)系實際上，半導(dǎo)體中總是存在一定的雜質(zhì)和缺陷的。但兩種載流子的濃度積關(guān)系還成立。Note:ni是半導(dǎo)體材料的本征載流子濃度，是溫度的函數(shù)，和雜質(zhì)類型、濃度無關(guān)！3、本征半導(dǎo)體在應(yīng)用上的限制⑴純度達不到如果要求本征激發(fā)是載流子的主要來源，在室溫下雜質(zhì)原子全部電離。即：雜質(zhì)原子/總原子＜＜本征載流子/總原子Si：原子密度1023/cm3，在表中可查到：室溫時，ni=1010/cm3本征載流子/總原子=1010/1023=10-13大于雜質(zhì)原子/總原子Si的純度必須高于99.9999999999999%不可能?、票菊鬏d流子濃度隨溫度變化很大，隨溫度升高而迅速增加，強烈的溫度相關(guān)性在室溫附近：Si:T↑，8Kni↑

一倍Ge:T↑，12Kni↑

一倍有意摻雜的半導(dǎo)體才是材料的主體例題1、已知硅在常溫下的NC=2.8×1019cm-3,Nv=1.2×1019cm-3,Eg=1.12ev,試計算si半導(dǎo)體在常溫下本征載流子濃度2、若兩塊Si樣品中常溫下的電子濃度分別為2.25×1010cm-3和6.8×1016cm-3，試分別求出其中的空穴的濃度，并判斷樣品的導(dǎo)電類型§3.4雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子濃度一、雜質(zhì)能級上的電子和空穴雜質(zhì)能級

最多只能容納一個某個自旋方向的電子。在雜質(zhì)半導(dǎo)體的未電離的施主雜質(zhì)或已電離的受主雜質(zhì)的雜質(zhì)能級上被電子所占據(jù)。但雜質(zhì)能級上的電子占據(jù)幾率不能用費米分布函數(shù)來分析研究，能帶中的能級可以容納自旋相反的兩個電子，而對于雜質(zhì)能級有：可以嚴(yán)格證明，雜質(zhì)能級上電子占據(jù)的幾率為：電子占據(jù)施主能級ED的幾率:空穴占據(jù)受主能級EA的幾率:對于Si、Ge中摻入Ⅴ

族雜質(zhì)，四個價電子束縛在共價鍵上，第五個價電子可以取任意一方向的自旋，即二度自旋簡并，故gD=2。但對于價帶，gA=4，同時，實驗已證明，Ge中Ⅲ族雜質(zhì)所引起的受主能級情況的確取gA=4。在本課程中，為了便于討論，簡度取2，即簡并因子為1/2.若施主濃度和受主濃度分別為ND、NA(雜質(zhì)的量子態(tài)密度），所以施主能級上的電子濃度nD為：—

即未電離的施主濃度所以，電離的施主濃度nD+為：同理，沒有電離的受主濃度pA為：電離的受主濃度pA-為：

結(jié)論分析：雜質(zhì)能級和費米能級的相對位置反映了電子和空穴占據(jù)雜質(zhì)能級的情況。●ED－EF＞＞kTnD→0，nD+→ND，施主幾乎全電離費米能級遠在雜質(zhì)能級之下EcEvEFEDN型雜質(zhì)半導(dǎo)體●EF=ED費米能級和雜質(zhì)能級重合施主雜質(zhì)有1/3電離●EF－ED＞＞kTnD→ND，nD+

→0，施主幾乎都未電離費米能級遠在雜質(zhì)能級之上EcEvEFEDN型雜質(zhì)半導(dǎo)體所以，相對于雜質(zhì)能級ED

，費米能級EF低時，施主全電離；EF高時，施主未電離.受主相反，EF低時，受主未電離；EF高時，受主全電離。EF→雜質(zhì)的電離→導(dǎo)帶電子或價帶空穴內(nèi)在聯(lián)系如何定量計算雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子濃度？二、雜質(zhì)半導(dǎo)體載流子濃度和費米能級在雜質(zhì)半導(dǎo)體中的帶電粒子四種，即：電子、空穴、電離的施主和電離的受主在半導(dǎo)體體內(nèi)應(yīng)保持電中性，由此可得：no+pA-=po+nD+→（6）假設(shè)只含一種施主雜質(zhì)。在熱平衡條件下，半導(dǎo)體是電中性的：1、n型半導(dǎo)體的載流子濃度n0=p0+nD+（7）關(guān)鍵是求費米能EF

上式解析求費米能是困難的。當(dāng)溫度從高到低變化時，對不同溫度還可將此式進一步簡化。Note:

雜質(zhì)電離在低溫下就不可忽略，在室溫時，幾乎全部電離達到飽和；而本征激發(fā)在室溫下，一般還比較弱，但隨溫度升高而迅速增大！1、雜質(zhì)電離區(qū)，多子幾乎完全是由雜質(zhì)電離提供；2、過渡區(qū)，本征激發(fā)不可忽視，數(shù)量級上與雜質(zhì)相當(dāng)；3、本征激發(fā)區(qū)，本征激發(fā)所產(chǎn)生的載流子至少比雜質(zhì)電離要高一個數(shù)量級。推導(dǎo)定量公式根據(jù)溫度變化，把溫度分為三個區(qū)域：（1）、雜質(zhì)電離區(qū)特征：本征激發(fā)可以忽略，p0≌0,

導(dǎo)帶電子主要由電離雜質(zhì)提供。三個溫區(qū)（a）低溫弱電離區(qū)：很少量施主雜質(zhì)電離，本征激發(fā)可以忽略，即導(dǎo)帶中的電子全部由電離施主雜質(zhì)提供。所以根據(jù)電中性條件（9）式得到：電中性條件

n0=p0+nD+

可近似為

n0=nD+（9）本征激發(fā)提供

特征：nD+《ND，弱電離，少量施主雜質(zhì)電離ED在EF

上，但很接近低溫弱電離區(qū)的費米能級，與溫度、雜質(zhì)濃度以及雜質(zhì)原子的種類有關(guān)。所以，低溫時，費米能級位于導(dǎo)帶底和施主能級的中線處。EcEiETNc=0.11ND把費米能公式（12）對溫度求微商：N型半導(dǎo)體在低溫電離時，費米能級隨溫度變化。在Nc=0.11ND，有一個極大值。雜質(zhì)含量越高，費米能達到極大值的溫度也越高！得到低溫弱電離區(qū)的載流子濃度為：電離能結(jié)果分析:2、由于，所以在溫度很低時，載流子濃度隨溫度升高，no

呈指數(shù)上升。1、在溫度很低時，3、為一條直線，可求出雜質(zhì)電離能△ED

。實際的應(yīng)用雜質(zhì)能級位置(b)中間弱電離區(qū)：本征激發(fā)仍略去，隨著溫度T的增加，nD+已足夠大，故直接求解方程（8）求費米能很繁瑣，用得不多！在中間電離區(qū)，溫度繼續(xù)升高時，但2NC＞ND結(jié)果定性討論：式（12）的第二項為負值，這時EF

下降到(EC+ED)/2以下，但溫度升高到，使得EF=ED則：施主雜質(zhì)有1/3電離由式（8）得：EcEvEFEDN型雜質(zhì)半導(dǎo)體中間電離區(qū)特征：雜質(zhì)基本全電離

nD+≌ND

電中性條件簡化為

n0=ND

（18）（c）強電離區(qū)（飽和電離）：這時，在一般的摻雜濃度下，NC＞ND上式第二項為負值溫度一定時，

ND越大，EF

就越向?qū)Х较蚩拷?。ND一定時，溫度越高，費米能級減低，向本征費米能級Ei

方向靠近。注：強電離與弱電離的區(qū)分：把求得的費米能式EF（19）代入上式得：求出未電離濃度：定義：所以：：為（1－離化率）是10％可認為施主雜質(zhì)全部電離①當(dāng)溫度升高時、D-小，電離程度增強②當(dāng)ND當(dāng)減小，D-小，電離程度增強③當(dāng)△ED減小，D-小，電離程度增強Eg.

摻P的n型硅，室溫時：可由式：全部電離時雜質(zhì)濃度上限等于：硅的本征載流子濃度為：所以，室溫時，P的摻雜范圍1、對于某n型半導(dǎo)體，試證明其費米能級在其本征半導(dǎo)體的費米能級之上。即EFn>EFi證明：設(shè)nn為n型半導(dǎo)體的電子濃度，ni為本征半導(dǎo)體的電子濃度。顯然

nn>ni2、兩塊半導(dǎo)體Si室溫下電子濃度分布為，（NC=3*1019cm-3，NV=1*1019cm-3，ni=1010cm-3，ln3000＝8,）則（1）、計算半導(dǎo)體的空穴濃度（2）、畫出半導(dǎo)體的能帶圖（3）、計算出半導(dǎo)體的費米能級的位置（要求n型半導(dǎo)體求EC－EF）

(2)、過渡區(qū)：特征：（1）雜質(zhì)全電離

nD+=ND

（2）本征激發(fā)不能忽略電中性條件：

n0=ND+p0處于飽和區(qū)和完全本征激發(fā)之間，導(dǎo)帶的電子有本征激發(fā)的貢獻，同時價帶中有一定量的空穴?！?/p>

本征激發(fā)時：∵

no

＝po＝ni

及EF=Ei

，∴

同理可得：∴

代入由電中性條件式（22）可得：所以，T一定時，材料的本征載流子濃度ni和雜質(zhì)濃度ND

已知，可算得（EF-Ei

）。當(dāng)ND/(2ni)很小時，EF接近Ei

半導(dǎo)體接近本征激發(fā)。當(dāng)ND/(2ni)增大，向飽和電離區(qū)接近。解上面方程（22）和（23），消去其中，的有一根無用結(jié)果