第四章 邊界層理論

粘性流體的兩種流態(tài)1.雷諾實(shí)驗(yàn)（1883年）（a）層流（b）臨界狀態(tài)（c）紊流下臨界流速vc——臨界流速上臨界流速vc’2.雷諾數(shù)Rec——臨界雷諾數(shù)（2000左右）Re=vd/υ——雷諾數(shù)（無量綱）Re<Rec層流Re>Rec紊流（包括層流向紊流的臨界區(qū)2000~4000）結(jié)論：用雷諾數(shù)判斷流態(tài)3.用量綱分析說明雷諾數(shù)的物理意義慣性力與粘性力作用之比——判斷流態(tài)第4章邊界層理論

(BoundaryLayerTheory)

Background:

粘性繞流的流動(dòng)特征與粘性阻力，阻力產(chǎn)生與減阻。LudwigPrandtl（1875－1953）

普朗特是現(xiàn)代力學(xué)的奠基人之一，創(chuàng)立了邊界層理論、薄翼理論、升力線理論，研究了超聲速流動(dòng)。

。

4.1邊界層的概念

——LargeReynoldsNumberFlow低速飛機(jī)：L＝30m，

v=100m/s，n=1.5×10-5m2/s

高速船舶：

v=50kn≈25m/s:Re>>1

流動(dòng)意味著粘性力相對(duì)于慣性力很小，忽略粘性？但是由理想流體得出的速度場在靠近壁面處與真實(shí)情況不符?！狣’Alembertparadox實(shí)際流體是有粘性的。按照Newton內(nèi)摩擦定律，當(dāng)流場中流體之間存在速度梯度時(shí)，粘性就以內(nèi)摩擦的形式出現(xiàn)。其特點(diǎn)是使低速流體加速，使高速流體減速。速度梯度越大，粘性力也就越大。這樣，在近靠壁面的層中，粘性力和慣性力相比是不能忽略的。真實(shí)情況下，緊貼物體表面的流體與物體之間是沒有相對(duì)流動(dòng)的，這樣在緊靠物體表面附近的一層流體區(qū)域中，有很大的速度梯度。1.

邊界層概念的提出Prandtl在1904年提出了邊界層的概念，他認(rèn)為流動(dòng)可以分兩個(gè)區(qū)域來研究：在物體表面處有一個(gè)薄層，在這個(gè)薄層中必須考慮粘性力的作用，這個(gè)薄層稱為邊界層。在邊界層外的區(qū)域中，流體可以當(dāng)作理想的。邊界層概念的作用：將粘性力的作用限制在很薄的一層中，對(duì)于薄層外部的大部分流域，則可按理想流體的處理方法，極大地簡化粘性流體分析，而且所得的結(jié)果與實(shí)際的情況也相符。從邊界層厚度很小這個(gè)前提出發(fā)，Prandtl率先建立了邊界層內(nèi)粘性流體運(yùn)動(dòng)的簡化方程，開創(chuàng)了近代流體力學(xué)的一個(gè)分支——邊界層理論。邊界層定義：速度梯度很大的薄層。粘性在該薄層內(nèi)起作用。全流場分成二個(gè)流動(dòng)區(qū)域（PlandtlBLModel）：

y外流區(qū)（y>）：

可略去粘性的作用，無粘流。

邊界層（y<）：沿壁面法向的速度梯度大，考慮粘性。

d(x)xyo圖4.1.1平壁面繞流的邊界層0.99LRe>>1尾渦區(qū)外部勢流邊界層流δ圖4.1.2大Re數(shù)繞流流場劃分su2.

邊界層的基本特征

(basiccharactersofBL)（1）邊界層很?。?，邊界層的厚度沿流向增加。（2）邊界層內(nèi)速度梯度很大，粘性不可忽略：（3）邊界層內(nèi)也會(huì)出現(xiàn)層流及紊流狀態(tài)，故有層流邊界層和紊流邊界層（4）邊界層外表面不是流面，有質(zhì)量、動(dòng)量和能量由外流區(qū)流入邊界層內(nèi)。

粘性不可壓縮流體，不計(jì)質(zhì)量力，定常流過小曲率物體，物體表面可近似當(dāng)作平面。取物面法線為ｙ軸。在大Re數(shù)情況下的邊界層流動(dòng)有下面兩個(gè)主要性質(zhì)：

1)

邊界層厚度較物體特征長度小得多，即

2)邊界層內(nèi)粘性力和慣性力具有相同的數(shù)量級(jí)4.2邊界層微分方程

——(BoundaryLayerDifferentialequation)

以此作為基本假定，將N-S方程（二維）化簡：連續(xù)性方程

引進(jìn)特征長度Ｌ、特征速度V，將方程中的各物理量無量綱化：

這些無量綱量除了p*外都具有1的量綱。將其代入質(zhì)量方程，整理后得：左邊兩項(xiàng)應(yīng)具有同一量級(jí)，因此y方向的特征速度V的量級(jí)應(yīng)是將運(yùn)動(dòng)方程無量綱化后得到通過比較方程左右兩邊的量級(jí)，可以發(fā)現(xiàn)

通過比較方程左右兩邊的量級(jí)，可以發(fā)現(xiàn)慣性項(xiàng)和粘性項(xiàng)都是ε2的量級(jí)，因此與相比較，是高階小量，可認(rèn)為粘性不可壓流定常邊界層微分方程可寫為邊界條件：討論：說明了什么？Prandtl邊界層方程中p1p2p3p1=p2=

p3第一步求位流解

略去邊界層與尾跡，利用第三章求解理想位流繞流問題的方法，求得物體表面的速度分布（需預(yù)先對(duì)表面作動(dòng)量厚度修正）。求得的速度分布可視為邊界層外邊界上的切向速度分布。即在任一坐標(biāo)x處,y=δ時(shí)vx=v

δ

(x)。沿邊界層外邊界，伯努利方程成立：定常層流邊界層問題解法概述因此，邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)分布通過位流解得到了，即dp/dx是一個(gè)已知函數(shù)。(非定常時(shí)有歐拉方程成立)第二步，求解邊界層方程組

物面：

邊界層外緣：由于dp/dx是已知函數(shù)，所以這兩個(gè)方程式中只有兩個(gè)未知數(shù)故問題是可解的。求解的邊界條件是：

在上述邊界條件之下求解邊界層方程組，可得到邊界層內(nèi)速度分布。后面的布拉休斯解就是一個(gè)求解的范例。第三步，確定物體所受的摩擦阻力假設(shè)已經(jīng)解出了邊界層內(nèi)速度分布：則物體表面的摩擦應(yīng)力τ0(x)可自下式求出（層流）：有了表面摩擦應(yīng)力分布τ0(x)之后，再通過積分就不難求出物體所受的總的摩擦阻力了。4.3平板層流邊界層準(zhǔn)確解

(LaminarBLonaFlatPlate

——H.Blasius，1908

)

d(x)xyv∞oLv∞0.99v∞v∞1908年，Prandtl的學(xué)生Blasius利用邊界層速度分布的相似性求解了平板層流邊界層方程。二維定常不可壓縮層流邊界層，邊界層方程為：相應(yīng)的邊界條件為：由于上述方程為非線性偏微分方程，求解很難，勃拉休斯引入流函數(shù)（由連續(xù)方程）ψ(x,y)以簡化方程：二維定常層流邊界層的求解問題，就化為在給定的邊界條件下求函數(shù)問題。根據(jù)定常層流邊界層問題解法概述，首先求解位流速度分布求解速度分布的位流解平板繞流的位流速度分布很簡單邊界條件為假定在距離平板前緣不同位置處，邊界層內(nèi)速度是“相似”的。所謂速度分布“相似”是指如果對(duì)vx和y選用適當(dāng)?shù)谋壤?，就可以使用不同位置處的速度分布函?shù)寫成同一形式：對(duì)于平板層流邊界層的研究表明，平板層流邊界層的厚度與前緣距離的平方根成正比，可以選用

和分別作為速度比例尺和長度比例尺。速度分布函數(shù)可寫成根據(jù)流函數(shù)定義可得5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解從而可將u、v及其相關(guān)導(dǎo)數(shù)化為函數(shù)f關(guān)于η

的導(dǎo)數(shù)：5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解代入邊界層微分方程，化簡后變?yōu)椋哼吔鐥l件變?yōu)椋悍匠瘫缓喕闪顺Ｎ⒎址匠?，但仍然是非線性的求解還是很難，只好設(shè)它的解為一個(gè)級(jí)數(shù)。Blasius假設(shè)：其中，為待定系數(shù)。用η＝0處邊界條件，立刻可以確定：A0=A1=0將以上諸式代入微分方程得：

5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解從而：因?yàn)樯鲜綄?duì)任何η

值均須滿足，故各系數(shù)必須分別等于零：如此繼續(xù)做下去，所有諸不等于零之系數(shù)A

均可以A2

來表示。而A2則是一個(gè)待定常數(shù)。令5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解整理后得：則待求級(jí)數(shù)可表為一個(gè)所有系數(shù)都含A2＝a

的無窮級(jí)數(shù)：f(η)就是我們要求的解，但其中尚有一常數(shù)a待定。此常數(shù)可用以下邊界條件來確定:布拉休斯用數(shù)值方法定得：a=0.332從而所求的解完全確定。

5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解

由所確定的級(jí)數(shù)解確定了流函數(shù)，也就確定了速度分布，從而就確定了與此相關(guān)的其他量，如邊界層厚度、剪應(yīng)力、摩阻系數(shù)等。

各x位置處的速度型不同，但f(η)表示的速度型是一樣的。我們稱這樣的速度分布是相似的（相似解）。

當(dāng)η=5.0時(shí)，u/U∞=0.9916，已十分接近于1，從而可將此η

對(duì)應(yīng)的y坐標(biāo)確定為邊界層厚度δ

。5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解12345678000.20.40.60.81.01.2

由上解確定的速度分布曲線如圖所示，實(shí)驗(yàn)值與數(shù)值解符合很好。5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解

由此（1）邊界層厚度（）（2）邊界層位移厚度

（3）邊界層動(dòng)量損失厚度

5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解（4）壁面切應(yīng)力（5）壁面摩擦阻力系數(shù)

（6）平均壁面摩擦總阻力系數(shù)

郭永懷（1953年）對(duì)平板前緣點(diǎn)的修正，得到適用范圍：Blasius

相似性解解法(1908)

d(x)u(x,y)xyUoU0.99UUL

將f()在=0的鄰域內(nèi)展開成冪級(jí)數(shù)；由邊界條件確定各系數(shù)。后來L.Howarth(1938)給出更精確的數(shù)值結(jié)果。

三階常微分方程（nonlinear）d(x)u(x,y)xyUoU圖9.1.1平壁面繞流的邊界層0.99UeUL1.層流邊界層的速度分布（velocityprofile)名義厚度：

排擠厚度：

動(dòng)量損失厚度：

2.邊界層的各種厚度(thickness)

01234567890.40.200.81.00.6d(x)u(x,y)xyUoU0.99UeUL3.壁面局部摩擦阻力系數(shù)(localshearingstress)4.平板的總摩擦阻力與阻力系數(shù)郭永懷二階近似解：

郭永懷（1909－1968）d(x)u(x,y)xyUoU0.99UeUL5.關(guān)于Blasius相似性解的幾點(diǎn)說明：正確性（Validation）：有限長平板用無限長解近似，Nikuradse(1942)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。應(yīng)用（Application）：

摩擦阻力計(jì)算（估算）；校準(zhǔn)邊界層測速裝置的探頭；邊界層數(shù)值計(jì)算方法與程序的校核；計(jì)算湍流邊界層時(shí)，物體前緣附近層流段解析表達(dá)。

4.4卡門動(dòng)量積分方程式(VonKarman,1921)

(Karman

MomentumIntegralBLEquation)

航空大師T.vonKármán（1881-1963）美國西岸加州理工學(xué)院古根海姆航空實(shí)驗(yàn)室GALIT)——國際空氣動(dòng)力學(xué)研究中心。匈牙利籍美國著名空氣動(dòng)力學(xué)家。師從現(xiàn)代流體力學(xué)開拓者之一的路德維?！て绽侍亟淌?，但未及獲得學(xué)位便去了巴黎大學(xué)。1908獲得哥廷根大學(xué)博士學(xué)位，留校任教4年。1912至1930年在亞琛工業(yè)大學(xué)從事研究，之后到了加州理工學(xué)院。開創(chuàng)了數(shù)學(xué)、力學(xué)在航空航天領(lǐng)域的應(yīng)用，為近代力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。我國著名科學(xué)家錢學(xué)森、錢偉長、郭永懷是他的學(xué)生。

雖然邊界層微分方程比N-S方程要簡單得多，但求解問題仍有很大困難，因此,發(fā)展求解邊界層問題的近似方法便具有很大的理論與實(shí)際意義。

Karman動(dòng)量積分方程方程，就是一種近似求解邊界層問題的方法。動(dòng)量積分關(guān)系式的基本思想在于：不要求邊界層中每一點(diǎn)都滿足邊界層方程，而只要求滿足沿邊界層厚度方向，積分Prandtl邊界層方程得到的動(dòng)量積分關(guān)系式。物面條件和邊界層外邊界處的條件仍要求得到滿足。一、排擠厚度的物理意義理想流動(dòng)中δ處的流線應(yīng)平行于平板4.4.1邊界層排擠厚度和動(dòng)量損失厚度——(BoundaryLayerDisplacementThicknessandMomentumThickness)連續(xù)方程：虧損流量=補(bǔ)償流量

代表理想流體的流線在邊界層外邊界上由于粘性的作用向外偏移的距離

損失的流量被排向主流，使主流的流線外移

*。相當(dāng)于位流中物體增加了

*(x)厚度。

因邊界層的存在，通過單位寬度、厚度為δ的截面上的質(zhì)量流量虧損為：二、動(dòng)量損失厚度

**的物理意義Ⅰ、Ⅱ兩截面的質(zhì)量流量保持連續(xù)，但是由于粘性的作用，通過Ⅱ的動(dòng)量會(huì)產(chǎn)生動(dòng)量損失。損失掉的動(dòng)量相當(dāng)于理想流體流過某層厚度為

**

的截面的流體動(dòng)量這一動(dòng)量損失為：為計(jì)算的方便，有時(shí)將積分上限由δ變?yōu)椤?，即：邊界層的三個(gè)厚度：名義厚度δ，位移厚度δ*和動(dòng)量損失厚度δ**它們都是流向位置x的函數(shù)，隨x的增加而增厚。4.4.2邊界層動(dòng)量積分方程

應(yīng)用動(dòng)量定理來研究邊界層內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)沿ｘ方向的動(dòng)量變化和外力之間的關(guān)系。設(shè)流動(dòng)定?？刂企w邊界ABCD單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過ＡＢ面流入的質(zhì)量和動(dòng)量分別為：單位時(shí)間內(nèi)流出ＣＤ面的質(zhì)量和動(dòng)量分別為：對(duì)不可壓縮流體，必然有質(zhì)量和動(dòng)量從邊界層外邊界ＡD流入：

單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)沿ｘ方向動(dòng)量變化：A,D兩點(diǎn)的平均壓力CD作用在該控制體上沿ｘ方向外力：作用在該控制體上沿ｘ方向外力：AB面:CD面:AD面:ＢC面上作用在流體上的總切應(yīng)力為：BC面:該控制體上沿x方向諸外力之和為：可得到定常流動(dòng)條件下卡門動(dòng)量積分方程式：這就是邊界層動(dòng)量積分方程，對(duì)層流和湍流邊界層都能適用。對(duì)不可壓流，密度是常數(shù)，

或可寫成引入符號(hào)這就是卡門動(dòng)量積分關(guān)系式的最終形式。討論：適用性：層流、湍流、不可壓、可壓邊界層。(1)(2)封閉性：

1個(gè)方程

3個(gè)未知數(shù)δ*，δ**，τw

方程不封閉。但它們都和速度分布相關(guān)，即解法：Step1.

假定速度分布Step2.

由邊界層邊界條件確定(3)的系數(shù)；Step3.

將(3)代入(1)、(2)求邊界層各參數(shù)。(3)4.4.4平板層流邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式d(x)v(x,y)xyv

∞oL平板很薄，不影響邊界層外部的流動(dòng)，則邊界層外邊界上速度處處為vδ=v

∞因此則邊界層動(dòng)量積分方程簡化為：不可壓縮流體平板邊界層動(dòng)量積分方程，層、湍流邊界層均適用。v

∞0.99v

∞v

∞系數(shù)由以下邊界條件確定。假設(shè)平板層流邊界層內(nèi)速度分布為：物面條件:邊界層邊界處的條件:

，由4個(gè)邊界條件確定的4個(gè)系數(shù)為因此速度型為根據(jù)牛頓粘性定律代入卡門動(dòng)量積分關(guān)系式，得微分方程代入動(dòng)量損失厚度得:利用邊界條件積分，得邊界層厚度沿板長的變化規(guī)律平板總阻力：式中b為平板寬度，L為平板長度，S為平板面積。平板的摩擦阻力系數(shù)為:與Blasius精確解接近隨Re的增加而減小直勻流平行流過平板，假設(shè)從前緣開始就是紊流邊界層。采用卡門動(dòng)量積分關(guān)系式，得到的方程和層流完全一樣。4.5平板紊流邊界層（TurbulentBL）

求紊流邊界層，仍需補(bǔ)充兩個(gè)條件：（1）湍流邊界層內(nèi)速度分布，它取決于Re，采用1/n次方定律：層流過渡區(qū)湍流U（2）壁面摩擦切應(yīng)力：根據(jù)實(shí)驗(yàn)可用下式來表示：動(dòng)量損失厚度：紊流邊界層厚度分布為平板紊流附面層的當(dāng)?shù)啬Σ料禂?shù)平板一個(gè)表面所受的摩擦阻力

紊流平板摩阻系數(shù)

隨x、n

增加而增厚。層流

紊流速度分布：較瘦豐滿邊界層厚度：摩阻系數(shù)：ComparisonbetweenLaminarandTurbulentBL當(dāng)時(shí)，層流邊界層的摩阻系數(shù)為0.001328，紊流的摩阻系數(shù)為0.00455。紊流的為層流的三倍多。4.6

平板混合邊界層

實(shí)際流動(dòng)：前段層流，中間過渡區(qū)，后段湍流—混合邊界層。為計(jì)算混合邊界層，引入兩個(gè)假設(shè)：（1）層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧魉矔r(shí)發(fā)生，沒有過渡區(qū)；

(2)混合邊界層紊流區(qū)可看作自ｏ點(diǎn)開始的紊流邊界層的一部分

整個(gè)平板的摩擦阻力由兩部分所組成，即ｏＡ段：層流邊界層的摩擦阻力ＡＢ段：湍流邊界層的摩擦阻力混合附面層時(shí)，平板摩阻就可表示為

換成摩阻系數(shù)

4.7邊界層流動(dòng)的分離及控制

(BLFlowSeparationanditscontrol)

two-dimensional

axisymmetric

three-dimensional

Flowclassification

StreamlinedbodiesBluntedbodies

4.7.1邊界層流動(dòng)的分離1.流動(dòng)分離及其產(chǎn)生原因

關(guān)心的問題：流動(dòng)分離原因？發(fā)生分離的判據(jù)?分離流特性？

123S5邊界層外緣E圖4.5.1邊界層內(nèi)的流動(dòng)示