結構力學第11章 結構的極限荷載與彈性穩(wěn)定

第十一章結構的極限荷載與彈性穩(wěn)定§11-1概述§11-2基本概念§11-3比例加載一般規(guī)律§11-4超靜定結構的極限荷載計算§11-5壓桿臨界荷載1、彈性分析方法把結構當作理想彈性體，用容許應力法計算結構的強度。其強度條件為2、塑性分析方法按極限荷載計算結構強度，以結構進入塑性階段并最后喪失承載能力時的極限狀態(tài)作為結構破壞的標志。強度條件為§11-1概述σmax—結構的實際最大應力；[σ]—材料的容許應力；σu—材料的極限應力；k—安全系數(shù)。F—結構實際承受的荷載；Fu—極限荷載；K—安全系數(shù)。§11-1概述結構塑性分析中，為簡化計算，把材料的應力與應變關系作合理地簡化。簡化為理想彈塑性材料。如圖所示。OA段：材料是理想彈性的，應力與應變成正比。AB段：材料是理想塑性的，應力不變，應變可以任意增長。CD段：應力減為零時，有殘余應變OD。結構的塑性分析中，疊加原理不再適用。只考慮荷載一次加于結構，且各荷載按同一比例增加—比例加載。主要內(nèi)容：解釋幾個基本概念，極限彎矩、塑性鉸和極限狀態(tài)。圖示例：純彎曲狀態(tài)下的理想彈塑性材料的矩形截面梁。隨著彎矩M的增大，梁會經(jīng)歷由彈性階段到彈塑性階段最后達到塑性階段的過程。（見下頁圖）MhMb§11-2基本概念實驗表明：無論在哪一個階段，梁彎曲變形時的平面假定都成立。a)b)c)y0y0hb§11-2基本概念一、極限彎矩分析：(1)圖(a)表示截面處于彈性階段。該階段的最大應力發(fā)生在截面最外纖維處，稱為屈服極限y，此時的彎矩Ms稱為彈性極限彎矩，或稱為屈服彎矩。即：a)

（2）圖(b）—截面處于彈塑性階段，截面外邊緣處成為塑性區(qū)，應力為常數(shù)，

b)y0y0§11-2基本概念=s；在截面內(nèi)部(|y|y0)則仍為彈性區(qū)，稱為彈性核，其應力為直線分布，即：(3)圖(c)表示截面達到塑性流動階段。在彈塑性階段中，隨著M增大，彈性核的高度逐漸減小，最后y00。此時相應彎矩是截面所能承受的最大彎矩，稱為“極限彎矩”，即：c)§11-2基本概念比較兩式可知：對于矩形截面，極限彎矩為彈性極限彎矩的1.5倍，即Mu=1.5Ms。

二、塑性鉸和極限荷載在塑性流動階段，在極限彎矩Mu保持不變的情況下，兩個無限靠近的截面可以產(chǎn)生有限的相對轉(zhuǎn)角。因此，當某截面彎矩達到極限彎矩Mu時，就稱該截面產(chǎn)生了塑性鉸。

塑性鉸是單向鉸。因卸載時應力增量與應變增量仍為直線關系，截面恢復彈性性質(zhì)。因此塑性鉸§11-2基本概念只能沿彎矩增大的方向發(fā)生有限的相對轉(zhuǎn)角。若沿相反方向變形，則截面立即恢復其彈性剛度而不再具有鉸的性質(zhì)。FPul/2l/2FPuMuMu

上圖示簡支梁跨中受集中力作用，隨著荷載的增大，梁跨中截面彎矩達到極限彎矩Mu，跨中截面形成塑性鉸。這時簡支梁已成為機構，跨中撓度§11-2基本概念可以繼續(xù)增大而承載力不能增大，這種狀態(tài)稱為極限狀態(tài)，相應的荷載稱為極限荷載FPu。例11-1-1

設有矩形截面簡支梁在跨中承受集中荷載作用(圖a)，試求極限荷載FPu

。解：由M圖知跨中截面彎矩最大，在極限荷載作用下，塑性鉸將在跨中截面形成，彎矩達極限值Mu(圖b)?！?1-2基本概念由此得出極限荷載FPu，即有

最后指出：這幾個概念是非常重要的。討論矩形截面梁在純彎曲狀態(tài)下所獲得的結果，利用其它形式的截面形狀，也有類似的結果。由靜力條件，有：§11-2基本概念

為了保證結構的安全和正常使用，設計中除了進行強度計算和剛度驗算外，還須計算其穩(wěn)定性。§11-2基本概念

三、穩(wěn)定問題1、三種不同性質(zhì)的平衡穩(wěn)定平衡：在某個平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位，干擾消失，恢復原位。中性平衡：由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的中間狀態(tài)。不穩(wěn)定平衡：在某個平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位，干擾消失，不能恢復原位。結構失穩(wěn)現(xiàn)象分為：第一類失穩(wěn)現(xiàn)象、第二類失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖a所示理想中心受壓直桿。當F值達到某一特定數(shù)值時，由于干擾壓桿發(fā)生微小彎曲，取消干擾后，壓桿將停留在彎曲位置上，不能回到原來的直線位置，如圖b。

此時壓桿既具有原來只有軸力的直線平衡形式，也具有新的同時受壓和受彎的彎曲平衡形式—這種現(xiàn)象為壓桿喪失了第一類穩(wěn)定性。分支點失穩(wěn)§11-2基本概念2、兩類不同形式的失穩(wěn)

圖a所示承受均布水壓力的圓環(huán)，當壓力達到臨界值qcr時，出現(xiàn)了新的非圓的平衡形式。

圖b所示承受均布荷載的拋物線拱，圖c所示剛架，荷載達到臨界值之前處于受壓狀態(tài)，荷載達到臨界值時出現(xiàn)同時具有壓縮和彎曲變形的新的平衡形式。

圖c所示工字梁，荷載達到臨界值前僅在復板平面內(nèi)彎曲，荷載達到臨界值時發(fā)生斜彎曲和扭轉(zhuǎn)?！?1-2基本概念喪失第一類穩(wěn)定性的特征：結構的平衡形式及內(nèi)力和變形狀態(tài)發(fā)生質(zhì)的突變，原有平衡形式已不穩(wěn)定，同時出現(xiàn)新的有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式。

圖a所示由塑性材料制成的偏心受壓直桿，一開始就處于同時受壓和彎曲的狀態(tài)。當F達到臨界值Fcr時，荷載不增加或減小，撓度仍繼續(xù)增加如圖b—喪失第二類穩(wěn)定性。極值點失穩(wěn)

工程結構實際上均屬于第二類穩(wěn)定問題?？蓪⑵浜喕癁橐活惙€(wěn)定問題來處理?！?1-2基本概念⑴比例加載的含義⑵假設條件一、比例加載的含義及相關假設

所有荷載變化時都彼此保持固定的比例，可用一個參數(shù)FP表示;荷載參數(shù)FP只是單調(diào)增大，不出現(xiàn)卸載現(xiàn)象。①材料是理想彈塑性的。②截面的正極限彎矩與負極限彎矩的絕對值相等。③忽略軸力和剪力對極限彎矩的影響?！?1-3比例加載一般規(guī)律二、可破壞荷載和可接受荷載⑴結構處于極限受力狀態(tài)時必須滿足的條件即所求極限荷載必須同時滿足下面三個條件①平衡條件：結構處于極限狀態(tài)時，結構的整體或任一局部都能維持平衡。③單向機構條件：在極限狀態(tài)下，結構已有足夠數(shù)量的截面內(nèi)力達到極限值而使結構轉(zhuǎn)化為機構，能夠沿荷載作正功的方向作單向運動。。§11-3比例加載一般規(guī)律②內(nèi)力局限條件(屈服條件)：在極限狀態(tài)下，結構任一截面的內(nèi)力都不超過其極限值。任一截面彎矩絕對值都不超過其極限彎矩⑵可破壞荷載⑶可接受荷載可破壞荷載只滿足平衡條件和單向機構條件?？山邮芎奢d只滿足平衡條件和內(nèi)力局限條件。將滿足單向機構條件和平衡條件的荷載稱為可破壞荷載。換言之對于任一單向破壞機構，用平衡條件求得的荷載值，用表示。

將滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載稱為可接受荷載。換言之如果在某個荷載值的情況下，能夠找到某一內(nèi)力狀態(tài)與之平衡，且各截面的內(nèi)力都不超過其極限值，此荷載值稱為可接受荷載用表示?！?1-3比例加載一般規(guī)律⑴基本定理:可破壞荷載恒不小于可接受荷載，即⑷唯一性定理：極限荷載值是唯一確定的。若某一荷載既是可破壞荷載，又是可接受荷載，則該荷載就是極限荷載。⑵上限定理（極小定理）可接受荷載是極限荷載的下限。換言之，可接受荷載中的極大值是即極限荷載。三、比例加載的一般定理可破壞荷載是極限荷載的上限。換言之，可破壞荷載中的極小值即是極限荷載。⑶下限定理（極大定理）§11-3比例加載一般規(guī)律一、單跨超靜定梁的極限荷載

為了求得極限荷載，需確定結構的破壞形態(tài)，即確定塑性鉸的位置及數(shù)量。

塑性鉸首先出現(xiàn)在彎矩最大的截面，隨著荷載的增大，其他截面也可能出現(xiàn)新的塑性鉸直至結構變?yōu)榫哂凶杂啥鹊臋C構從而喪失承載能力為止。

極限荷載的求解無需考慮變形協(xié)調(diào)條件、結構變形的過程以及塑性鉸形成的次序?！?1-4超靜定結構的極限荷載計算

利用靜力平衡方程求極限荷載的方法稱為靜力法。

利用虛功方程求極限荷載的方法稱為虛功法。例11-4-1

求梁的極限荷載FPu,截面極限彎矩為Mu。1）靜力法：解：結構在A、C截面出現(xiàn)塑性鉸。FPCl/2l/2ABFPuMuCABMu解釋§11-4超靜定結構的極限荷載計算

令機構產(chǎn)生虛位移，使C截面豎向位移和荷載FPu同向，大小為δ。2）虛功法外力虛功：內(nèi)力虛功：由We=Wi，可得：FPuCABMuMul/2l/2一次超靜定二個塑性鉸§11-4超靜定結構的極限荷載計算例11-4-2

求梁的極限荷載FPu，已知極限彎矩為Mu。內(nèi)力虛功由We=Wi，可得所以有quACBMuMuMu解：外力虛功ACBql/2l/2三次超靜定三個塑性鉸§11-4超靜定結構的極限荷載計算例11-4-3

已知梁截面極限彎矩為Mu，求極限荷載

。解:塑性鉸位置：A截面及梁上最大彎矩截面C。整體平衡BlqAquABl-xMuMuCx§11-4超靜定結構的極限荷載計算BC段平衡quxBCMuBC段平衡quxBCMu§11-4超靜定結構的極限荷載計算§11-4超靜定結構的極限荷載計算例11-4-4

求圖示梁的極限荷載。塑性鉸的可能位置：A、B、D。ABCD解:AB段極限彎矩為，BC段極限彎矩為Mu。ABCDFPuMuMu§11-4超靜定結構的極限荷載計算1）B、D截面出現(xiàn)塑性鉸，由彎矩圖可知，只有當時，此破壞形態(tài)才可能實現(xiàn)。ABCDFPuMuMuABCDFPuMuMu§11-4超靜定結構的極限荷載計算ABCDFPuMuACDFPuMu2）A、D截面出現(xiàn)塑性鉸。由彎矩圖可知，只有當即時，此破壞形態(tài)才可能實現(xiàn)?！?1-4超靜定結構的極限荷載計算3）當時，則前面兩種破壞形態(tài)均可能出現(xiàn)，則：

為了計算超靜定結構的極限荷載，關鍵是確定真實的破壞形態(tài)，即塑性鉸的數(shù)量及位置。無需考慮變形協(xié)調(diào)條件，也不受溫度變化和支座移動等因素的影響，因為這些因素只影響變形的發(fā)展過程，并不影響極限荷載的大小。§11-4超靜定結構的極限荷載計算

假設:

1）連續(xù)梁每一跨內(nèi)等截面，但各跨的截面可以彼此不同，故各跨可以有不同的Mu；

2）各跨荷載方向相同，且按相同比例增大。

因此，連續(xù)梁只能在各跨獨立形成破壞機構，而不能由相鄰兩跨聯(lián)合形成破壞機構。因為各跨在豎向荷載作用下，每跨內(nèi)的最大負彎矩只可能在各跨兩端出現(xiàn)，即負塑性鉸只可能出現(xiàn)在兩端。二、連續(xù)梁的極限荷載主要討論連續(xù)梁破壞機構的形式?！?1-4超靜定結構的極限荷載計算

連續(xù)梁一跨破壞就認為連續(xù)梁喪失承載能力。連續(xù)梁極限荷載的求解同單跨梁?！?1-4超靜定結構的極限荷載計算例11-4-5

求連續(xù)梁的極限荷載。解：1)AB跨ABCMu2FPMu1.2Mu1.2Mu1.2MuFPABCFPu1MuMu§11-4超靜定結構的極限荷載計算2)

BC跨ABCMu2FPu21.2Mu1.2Mu注意B點§11-4超靜定結構的極限荷載計算例11-4-6

在圖（a）所示的連續(xù)梁中，每跨為等截面。設AB和BC跨的正極限彎矩為Mu，CD跨的正極限彎矩為2Mu；又各跨負極限彎矩為正極限彎矩的1.2倍。試求此連續(xù)梁的極限荷載Fqu。(a)ABCD1.5FqlFqlFql0.5l0.5l0.75l0.75l解：分別求出各跨獨立破壞時的破壞荷載?！?1-4超靜定結構的極限荷載計算(b)1.2MuMu注意：塑性鉸處的極限彎矩與由它產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角方向一致。AB跨破壞時(圖b)：§11-4超靜定結構的極限荷載計算(c)1.2Mu1.2MuMuBC跨破壞時(圖c)：CD跨破壞時(圖d)：(d)2.4Mu1.2Mu2Mu§11-4超靜定結構的極限荷載計算比較可知，AB跨首先破壞，極限荷載為：(d)2.4Mu1.2Mu2Mu§11-4超靜定結構的極限荷載計算

本節(jié)僅限于討論單層單跨剛架的極限荷載。對于剛架，首先要確定塑性鉸可能產(chǎn)生的截面位置，然后根據(jù)可能的破壞機構用機構法或試算法求極限荷載。例11-4-7

求剛架的極限荷載。ABCDEFPFPMu1.5MuMu解：

1、機構法剛架可在A、B、C、D、E產(chǎn)生塑性鉸。一、鋼架的極限荷載§11-4超靜定結構的極限荷載計算三種可能的破壞機構為：梁機構；

側移機構；

組合機構。1）梁機構ABCDEMu1.5MuMua)

梁機構§11-4超靜定結構的極限荷載計算2）側移機構b)

側移機構ABCDEMuMuMuMuc)

組合機構ABCDE1.5MuMuMuMu3）組合機構§11-4超靜定結構的極限荷載計算可見，極限荷載為：

若分別選定上述三種破壞機構：梁機構、側移機構和組合機構，則求出的可破壞荷載同上。

下面分別畫出三種破壞機構對應的彎矩圖，檢驗結構任一截面彎矩是否均小于Mu，若結論成立，則也是可接受荷載，因此該荷載就是極限荷載。2.試算法§11-4超靜定結構的極限荷載計算1）梁機構由BD桿平衡可求得整體平衡：

故MA和ME中一定有一個數(shù)值大于Mu，不滿足內(nèi)力局限條件。ABCDEMu1.5MuMu§11-4超靜定結構的極限荷載計算2）側移機構用疊加法畫BD桿彎矩圖可得：?？梢?，該彎矩圖不滿足內(nèi)力局限條件。ABCDEMu2MuMuMuMu§11-4超靜定結構的極限荷載計算3）組合機構可見，該彎矩圖滿足屈服條件，故極限荷載為：柱DE下端剪力為：柱BA下端剪力為：由柱AB平衡可得：ABCDE0.5Mu1.5MuMuMuMu§11-4超靜定結構的極限荷載計算

解：取組合機構，近似取梁BC的跨中截面產(chǎn)生塑性鉸。MuMuABCD2MuFPMuABCD2MuMuMu例11-4-8

求剛架的極限荷載?！?1-4超靜定結構的極限荷載計算

作結構M圖，求得跨中附近截面最大彎矩為：用因子2/2.07對進行

故不是極限荷載，應進行修正。折減得：實際上應有取兩者平均值MuABCD2MuMuMu0.556Mu2.07Mu§11-4超靜定結構的極限荷載計算確定臨界荷載的方法靜力法—應用靜力平衡條件求解；能量法—應用以能量形式表示的平衡條件。結構穩(wěn)定的自由度：為確定結構失穩(wěn)時所有可能的變形狀態(tài)所需的獨立參數(shù)的數(shù)目。

圖a所示支承在抗轉(zhuǎn)彈簧上的剛性壓桿，確定失穩(wěn)時變形狀態(tài)的獨立參數(shù)為1，只有一個自由度。

圖b所示結構，則需兩個獨立參數(shù)，具有兩個自由度。

圖c所示彈性壓桿，則需無限多個獨立參數(shù)，具有無限多自由度。§11-5壓桿臨界荷載靜力法—依據(jù)結構失穩(wěn)時平衡的二重性，應用靜力平衡條件，求解結構在新的形式下能維持平衡的荷載，其最小值即為臨界荷載。

圖a所示單自由度結構，設壓桿偏離豎直位置時仍處于平衡狀態(tài)如圖b。由∑MA=0有當時上式滿足，對應原有的平衡形式位移很小時可認為故有穩(wěn)定方程或特征方程對于新的平衡形式，則有§11-5壓桿臨界荷載由穩(wěn)定方程解得結構處于隨遇平衡狀態(tài)，如圖c中的AB段。若采用精確的方程則有若只求臨界荷載，可采用近似方程求解。

當時，與F的數(shù)值仍是一一對應的，如圖c中的AC段。n個自由度的結構→對新的平衡形式列出n個平衡方程n個獨立參數(shù)的齊次方程系數(shù)行列式D=0的條件建立穩(wěn)定方程n個根中的最小值為臨界荷載§11-5壓桿臨界荷載例11-5-1試求圖a所示結構的臨界荷載。兩抗移彈性支座的剛均為k。解：結構有兩個自由度，失穩(wěn)時A、

B點的位移如圖b。設位移是微小的，由∑MB=0，∑MC=0即y1、y2不全為零，則應有展開解得臨界荷載§11-5壓桿臨界荷載由(a)式不能求得y1、y2的確定解答，但可以求出兩者的比值。將代回(a)式可得相應的位移圖如圖c。將代回(a)式可得相應的位移圖如圖d。實際結構必先以圖d的形式失穩(wěn)，圖c只是理論上存在?！?1-5壓桿臨界荷載例11-5-3圖a所示一端固定另一端鉸支的等截面中心受壓彈性直桿，設其已處于新的曲線平衡形式，則任一截面的彎矩為撓曲線的近似微分方程為令微分方程的通解為邊界條件為代入通解得(b)§11-5壓桿臨界荷載

方程(b)是關于A、B、FS/F的齊次方程組，A=B=FS/F=0時滿足，此時各點位移y均為零。對新的平衡形式要求三者不全為零，方程(b)的系數(shù)行列式應為零，得穩(wěn)定方程為展開此超越方程圖解法求解，如圖b。與

交點的橫坐標即為方程的根。最小根nl在3π/2≈4.7左側附近，試算求得準確解。求得臨界荷載值為§11-5壓桿臨界荷載勢能駐值原理：對于彈性結構，在滿足支承條件及位移連續(xù)條件的一切虛位移中，同時又滿足平衡條件的位移（就是真實的位移）使結構的勢能EP為駐值，即Vε—結構的應變能；V—外力勢能。外力勢能定義為Fi—結構上的外力Δi—與外力相應的虛位移有限自由度結構→所有可能的位移狀態(tài)只用有限個獨立參數(shù)a1，a2，…，an即可表示，EP只是這有限個獨立參數(shù)的函數(shù)。單自由度結構→EP只是參數(shù)a1的一元函數(shù)，勢能的變分為結構處于平衡時是任意的故§11-5壓桿臨界荷載由可建立穩(wěn)定方程以求解臨界荷載。多自由度結構勢能的變分為由δEP=0及δa1，δa2，…，δan的任意性，必須有

由此獲得一組含a1，a2，…，an的齊次線性代數(shù)方程，要使a1，a2，…，an不全為零，則此方程組的系數(shù)行列式應為零→建立穩(wěn)定方程→確定臨界荷載?！?1-5壓桿臨界荷載例11-5-4圖a所示壓桿EI為無窮大，上端水平彈簧的剛度為k，試確定其臨界荷載。解：單自由度結構失穩(wěn)時發(fā)生微小的偏離如圖b。彈簧的應變能為外力勢能為結構的勢能為若圖b結構能維持平衡則有y1≠0，故臨界荷載為§11-5壓桿臨界荷載例11-5-5用能量法求圖a所示結構的臨界荷載。解：結構具有兩個自由度，失穩(wěn)時發(fā)生