結(jié)構(gòu)力學朱慈勉第二版 第9章 彎矩分配法

彎矩分配法彎矩分配法的本質(zhì)及其適用范圍彎矩分配法屬于位移法的范疇，是基于位移法的逐次逼近精確解的近似方法。彎矩分配法的適用范圍：

單獨使用時，只能用于只有結(jié)點角位移而無結(jié)點線位移的結(jié)構(gòu)。彎矩分配法與位移法聯(lián)合應用，可求解有結(jié)點線位移的結(jié)構(gòu)。彎矩分配法的基本概念以圖示結(jié)構(gòu)為例說明，所有桿件的線剛度均為，桿長均為，不計桿件軸向變形。根據(jù)位移法原理，原結(jié)構(gòu)分解為(a)(b)兩種受力狀態(tài)。只有一個位移法未知量—A結(jié)點的角位移。彎矩分配法中，把具有待求角位移的結(jié)點稱為分配單元。ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)狀態(tài)ABCD(b)狀態(tài)(a)狀態(tài)：只承受外荷載，不發(fā)生節(jié)結(jié)點位移——固定狀態(tài)(b)狀態(tài)：只發(fā)生結(jié)點位移，無外荷載——放松狀態(tài)相當于原結(jié)構(gòu)“先固定、后放松”2/1/2023固定狀態(tài)下，由荷載引起的桿端彎矩稱為固端彎矩。正負號規(guī)定：繞桿端順時針為正。ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)固定狀態(tài)內(nèi)力分析彎矩分配法是一種數(shù)值算法，正負號規(guī)定非常重要！固端彎矩根據(jù)第7章位移法表7-1計算，其本質(zhì)就是位移法Mp圖的計算。

結(jié)點附加剛臂上的約束力矩稱為結(jié)點不平衡力矩。正負號規(guī)定：順時針為正。結(jié)點不平衡力矩的計算：根據(jù)固端彎矩，利用結(jié)點力矩平衡條件計算。在上述正負號規(guī)定條件下，結(jié)點不平衡力矩就是與該結(jié)點相連的所有桿件該端固端彎矩的代數(shù)和。

2/1/2023放松狀態(tài)就是原結(jié)構(gòu)承受結(jié)點不平衡力矩的反向力矩（相當于解除約束）。ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)內(nèi)力分析放松狀態(tài)的內(nèi)力可借助轉(zhuǎn)動剛度、分配系數(shù)、傳遞系數(shù)等概念計算。轉(zhuǎn)動剛度：AB桿件A端（又稱近端）發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時，A端產(chǎn)生的彎矩值，稱為AB桿A端的轉(zhuǎn)動剛度，

記為。轉(zhuǎn)動剛度不僅與桿件的彎曲線剛度有關，而且與桿件另一端（又稱遠端）的支承條件有關。遠端為固定支座：遠端為鉸支座：遠端為定向滑動支座：彎矩分配法中，結(jié)點轉(zhuǎn)動在遠端產(chǎn)生的彎矩可通過近端彎矩乘以傳遞系數(shù)得到。2/1/2023ABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)內(nèi)力分析傳遞系數(shù)：AB桿件僅A端發(fā)生轉(zhuǎn)角時，B端彎矩與A端彎矩之比，稱為從A到B的彎矩傳遞系數(shù)，記為。遠端為固定支座：遠端為鉸支座：遠端為定向滑動支座：放松狀態(tài)內(nèi)力（分配系數(shù)）AA結(jié)點力矩A結(jié)點力矩平衡方程：而，所以，得，從而，稱為力矩分配系數(shù)，表示桿件剛度在結(jié)點剛度中占的比例。每個分配單元上，力矩分配系數(shù)之和恒等于1，即。Why?物理含義：結(jié)點力矩平衡2/1/2023ABCD原結(jié)構(gòu)ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)計算過程小結(jié)固定狀態(tài)，計算固端彎矩和結(jié)點不平衡力矩。固端彎矩結(jié)點不平衡力彎矩放松狀態(tài)，計算分配力矩和傳遞力矩。桿件轉(zhuǎn)動剛度：分配系數(shù)：近端分配力矩：

遠端傳遞力矩：

桿端最終彎矩＝固端彎矩＋分配力矩＋傳遞力矩2/1/2023ABCD原結(jié)構(gòu)計算過程小結(jié)固定狀態(tài)，計算固端彎矩和結(jié)點不平衡力矩。固端彎矩結(jié)點不平衡力彎矩放松狀態(tài)，計算分配力矩和傳遞力矩。桿件轉(zhuǎn)動剛度：分配系數(shù)：近端分配力矩：

遠端傳遞力矩：

桿端最終彎矩＝固端彎矩＋分配力矩＋傳遞力矩彎矩分配法通常列表計算結(jié)點桿端BACDBAABADACCADA分配傳遞備注分配力矩下劃線，以示與傳遞力矩區(qū)分2/1/2023ABCD原結(jié)構(gòu)彎矩分配法的物理含義：彎矩分配法實質(zhì)，是在原結(jié)構(gòu)上施加約束、再解除約束的過程。結(jié)點桿端BACDBAABADACCADA分配傳遞備注ABCDM圖(xql2)施加約束(固定)解除約束(放松)注意問題：彎矩分配法是數(shù)值計算方法，彎矩的方向用正負號表示，故，必須牢記正負號規(guī)定，計算過程中切勿混淆和遺漏正負號。結(jié)點不平衡力矩必須反號后才能進行分配和傳遞。彎矩分配法計算步驟：計算各桿的分配系數(shù)和傳遞系數(shù)。計算荷載作用下的固端彎矩。將結(jié)點不平衡力矩反號后，進行力矩分配和傳遞。按疊加原理計算最終桿端彎矩。2/1/2023單結(jié)點彎矩分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示剛架的彎矩圖。【解】⑴計算分配系數(shù)：ABDC桿端BAABADACCADA結(jié)點BACD分配傳遞⑵計算固端彎矩：ABDCM圖(kNm)42/1/2023單結(jié)點彎矩分配法

【例2】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。分配傳遞【解】ABC只有B結(jié)點1個分配單元。ABCM圖(kNm)⑴單結(jié)點彎矩分配法計算結(jié)果是近似解嗎？答：是精確解。⑵如何通過彎矩分配過程計算B截面的轉(zhuǎn)角？答：只有放松狀態(tài)，即分配過程產(chǎn)生結(jié)點角位移。C端既無線位移又無角位移，相當于固定端，故。2/1/2023單結(jié)點彎矩分配法

【例3】試用彎矩分配法作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。DA結(jié)點桿端BACDBAABADACCA分配傳遞⑴AD桿件的處理：ABCDD端的鏈桿只產(chǎn)生軸力，故。⑵AC桿件的處理：（M圖略）2/1/2023單結(jié)點彎矩分配法

【例4】試用彎矩分配法作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。⑴幾個分配單元？2個或1個。法一：B結(jié)點和C結(jié)點2個分配單元。(多結(jié)點彎矩分配法后續(xù)介紹)法二：B結(jié)點1個分配單元。（CD彎矩靜定，原結(jié)構(gòu)可簡化）ABCDABC彎矩分配法的分配單元數(shù)量與位移法的基本未知量數(shù)量是統(tǒng)一的。理論上講，彎矩分配法即適用于超靜定結(jié)構(gòu)，也適用于靜定結(jié)構(gòu)，但具體應用中，如結(jié)構(gòu)含有內(nèi)力靜定部分，應盡可能先簡化結(jié)構(gòu)，以減少計算工作量。分配傳遞⑵B結(jié)點的集中外力矩如何處理？可見，固端彎矩需改變符號后參與分配，而作用在結(jié)點上的集中力矩無需改變符號直接參與分配。ABCB點增加附加剛臂后，剛臂上的約束力矩，即結(jié)點不平衡力矩為

。反號后，即作為結(jié)點分配力矩。B結(jié)點分配力矩為41－20＝21（M圖略）2/1/2023單結(jié)點彎矩分配法

【例5】試用彎矩分配法作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。ABCDCB結(jié)點桿端ABDCABBABCBDDB分配傳遞B分配單元的分配系數(shù)如何計算？（M圖略）AB桿上無荷載，不產(chǎn)生固端彎矩2/1/2023單結(jié)點彎矩分配法

【例6】試用彎矩分配法作圖示帶剛域結(jié)點連續(xù)梁的彎矩圖。如何計算轉(zhuǎn)動剛度、分配系數(shù)和傳遞系數(shù)？分配傳遞（M圖略）ABC根據(jù)轉(zhuǎn)動剛度的定義，和分別表示B發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時BA和BC的桿端彎矩。ABC時變形ABC時彎矩2/1/2023單結(jié)點彎矩分配法

【例6】試用彎矩分配法作圖示帶剛域結(jié)點連續(xù)梁的彎矩圖。錯誤。因為MDA+MEC≠M(D、E截面剪力對B點也產(chǎn)生矩)，故結(jié)點力矩M不能向D、E兩點分配。ABC時變形ABC時彎矩思考題：將結(jié)點力矩M向剛域兩側(cè)D和E點分配，計算過程如下，是否正確？為什么？ABCDE2/1/2023多結(jié)點彎矩分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB固定狀態(tài)固端彎矩結(jié)點不平衡力彎矩ACDB放松狀態(tài)兩個分配單元B和C結(jié)點轉(zhuǎn)角是耦合的，如同時放松，需建立并求解聯(lián)立方程組。為了避免求解聯(lián)立方程，將各分配單元依次逐個放松。①放松C(B保持鎖定狀態(tài))此時，C結(jié)點力矩平衡，B結(jié)點不平衡力矩為-5kNm②鎖住C，放松B此時，B結(jié)點力矩平衡，C結(jié)點不平衡力矩為1.25kNm完成一輪分配由于分配系數(shù)和傳遞系數(shù)不大于1且不可能全為1，故，經(jīng)過彎矩分配和傳遞后，結(jié)點不平衡力矩逐漸減小。依次經(jīng)過多輪分配，可使結(jié)構(gòu)受力和變形逐步接近實際狀態(tài)。2/1/2023多結(jié)點彎矩分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB上述計算過程一般通過列表進行（固定狀態(tài)）分配與傳遞（鎖B放C）（鎖C放B）第1輪分配（鎖B放C）（鎖C放B）第2輪分配（鎖B放C）（鎖C放B）第3輪分配多結(jié)點彎矩分配法是一種漸近法，計算結(jié)果為近似解。為了使計算收斂速度快，通常先從不平衡力矩較大的分配單元開始分配。終止彎矩分配的條件一般有兩種：

a）明確分配輪次。如：要求完成兩輪分配，則不管計算誤差多大，兩輪分配完成后即可終止計算。

b）明確計算精度。如：計算要求保留到小數(shù)點后兩位，則應計算至分配彎矩或傳遞彎矩小于0.01。注意最后一個輪次分配與傳遞需同時完成，不可以只分配不傳遞。ACDBM圖(kNm)2/1/2023多結(jié)點彎矩分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB（固定狀態(tài)）分配與傳遞（鎖B放C）（鎖C放B）（鎖B放C）（鎖C放B）（鎖B放C）（鎖C放B）思考題一：如何通過計算過程求C結(jié)點轉(zhuǎn)角？ACDBM圖(kNm)思考題二：B支座反力為多少？BBC受力對稱剪力為荷載的一半2/1/2023多結(jié)點彎矩分配法

【例2】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。(只分配兩輪)分配與傳遞（鎖C放B、D）（鎖B、D放C）ACBDE本結(jié)構(gòu)三個分配單元：B、C、D鎖C后，B、D相互之間無影響，故，可同時放松第1輪（鎖C放B、D）（鎖B、D放C）第2輪ACBDEM圖(kNm)2/1/2023彎矩分配法應用拓展彎矩分配法主要適用于無結(jié)點線位移的超靜定結(jié)構(gòu)，因為有結(jié)點線位移時，桿件的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)一般難以確定。對于有結(jié)點線位移的超靜定結(jié)構(gòu)，彎矩分配法可以從以下兩個方面修正或拓展應用。無剪力分配法適用條件：有相對側(cè)移的桿件剪力靜定；

剪力靜不定的桿件無相對側(cè)移。例：柱子：有相對側(cè)移，但剪力靜定；橫梁：

剪力未知，但兩端無相對側(cè)移。2/1/2023彎矩分配法應用拓展無剪力分配法剪力靜定桿考慮兩端相對側(cè)移后的轉(zhuǎn)動剛度、傳遞系數(shù)和固端彎矩：對mn柱，由位移法知：根據(jù)靜力平衡條件可得：從而，剪力靜定桿的相對側(cè)移與桿端轉(zhuǎn)角是相關的，二者關系可以通過桿件剪力大小確定根據(jù)轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)的定義：比較可見：剪力靜定桿的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)與一端固定一端定向滑動約束的桿件相同固端彎矩根據(jù)剪力和反彎點位置確定2/1/2023彎矩分配法應用拓展無剪力分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。【解】⑴利用對稱性取半結(jié)構(gòu)⑵計算分配系數(shù)：⑶計算固端彎矩：剪力靜定桿分配傳遞結(jié)點桿端ABCABBABDBCCBCEEC/DB桿端略2/1/2023彎矩分配法應用拓展無剪力分配法

【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。分配傳遞結(jié)點桿端ABCABBABDBCCBCEEC/DB桿端略M圖(kNm)2/1/2023彎矩分配法應用拓展彎矩分配法與位移法聯(lián)合應用

【例】原結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)Z1Mp圖M1圖既承受外荷載又發(fā)生Z1基本結(jié)構(gòu)只承受外荷載基本結(jié)構(gòu)只發(fā)生Z1=1Mp圖和M1圖均可利用彎矩分配法計算，計算過程略。從而，可求出和。由得最終彎矩Mp計算：

一般荷載作用下的彎矩分配法M1計算：

支座位移情況下的彎矩分配法利用哪個隔離體？哪個平衡條件？剪力分配法一、柱頂有