結(jié)構(gòu)力學(xué)6位移法

主編：文國(guó)治副主編：陳名弟土木工程指導(dǎo)性專(zhuān)業(yè)規(guī)范系列教材

出版社2023年2月1日結(jié)構(gòu)力學(xué)第六章位移法●基本要求

掌握位移法的基本原理和方法；熟練掌握用典型方程法計(jì)算超靜定剛架在荷載作用下的內(nèi)力；會(huì)用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)作用下的內(nèi)力；掌握用直接平衡法計(jì)算超靜定剛架的內(nèi)力?！窠虒W(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)

位移法的基本未知量；桿件的轉(zhuǎn)角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力。●教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)對(duì)位移法方程的物理意義以及方程中系數(shù)和自由項(xiàng)的物理意義的正確理解和確定。本章小結(jié)

目錄

§6-1概述§6-2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程§6-3位移法的基本概念§6-4位移法的典型方程§6-6用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力§6-7直接利用平衡條件建立位移法方程§6-5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力

對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)，體系中桿件的內(nèi)力分布與其變形之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在結(jié)構(gòu)分析時(shí)，可以根據(jù)位移—變形—內(nèi)力之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，利用某些結(jié)點(diǎn)位移表達(dá)出桿件變形，據(jù)此以尋求內(nèi)力分布。

位移法計(jì)算中重要的一環(huán)內(nèi)容在于桿件變形分布的描述。關(guān)注的焦點(diǎn)在于桿件的桿端位移值對(duì)變形分布的影響。6.1概述

位移法是計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基本的方法。當(dāng)結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)較高時(shí)，用力法計(jì)算比較繁瑣。而位移法則是以獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，未知量個(gè)數(shù)與超靜定次數(shù)無(wú)關(guān)，故對(duì)于一些高次超靜定結(jié)構(gòu)用位移法計(jì)算比較簡(jiǎn)便。本章主要介紹位移法的原理、方法及其應(yīng)用。簡(jiǎn)化假定：不考慮各桿件的軸向變形；不計(jì)彎曲引起的桿端接近。分析剛架中AB桿：位移法要解決的三個(gè)問(wèn)題：①選取結(jié)構(gòu)上哪些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。②確定桿件的桿端內(nèi)力與桿端位移及桿上荷載之間的函數(shù)關(guān)系(單元分析)。③建立求解基本未知量的位移法方程(整體分析)。

對(duì)圖示結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，求解關(guān)鍵是如何確定基本未知量θA的值。6.1概述應(yīng)用位移法需要解決的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是：確定桿件的桿端內(nèi)力與桿端位移及桿上荷載之間的函數(shù)關(guān)系，即桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，也就是位移法計(jì)算中單元分析的過(guò)程?？刹樾屋d常數(shù)表確定。6.2.1桿端內(nèi)力及桿端位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定1）桿端內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定

桿端彎矩對(duì)桿端而言，以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎粗疄樨?fù);對(duì)結(jié)點(diǎn)或支座而言，則以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎粗疄樨?fù)。

桿端剪力和桿端軸力正負(fù)號(hào)規(guī)定，仍與前面規(guī)定相同。

6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程

2）桿端位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定角位移以順時(shí)針為正，反之為負(fù)。

線位移對(duì)桿件順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。例如，圖中，ΔAB為正。6.2.2一般等截面直桿桿單元的轉(zhuǎn)角位移方程

位移法中內(nèi)力分布與變形對(duì)應(yīng)，而變形則會(huì)受到桿端位移的影響。在計(jì)算中一般利用一個(gè)兩端固定的桿單元來(lái)描述體系中的一般桿件，桿端位移即可以根據(jù)該桿單元的支座位移來(lái)表達(dá)。由桿端單位位移引起的桿端內(nèi)力稱(chēng)為形常數(shù)，列入表6.1中。表中引入記號(hào)i=EI/l，稱(chēng)為桿件的線剛度。

6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程利用表6.1中的形常數(shù)與載常數(shù)，可得由荷載或溫度變化引起的桿端內(nèi)力稱(chēng)為載常數(shù)。其中的桿端彎矩也常稱(chēng)為固端彎矩，用和表示；桿端剪力也常稱(chēng)為固端剪力，用和表示。常見(jiàn)荷載和溫度作用下的載常數(shù)列入表6.1中。

一般等截面直桿桿單元的轉(zhuǎn)角位移方程：（6.1）

集中力偶以順時(shí)針為正，反之為負(fù)；集中力和分布荷載以向下為正，反之為負(fù)。

6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程6.2.3特殊等截面直桿桿單元的轉(zhuǎn)角位移方程

若結(jié)構(gòu)中存在非剛性結(jié)點(diǎn)和非固定支座,即體系有鉸結(jié)點(diǎn)和定向結(jié)點(diǎn)(對(duì)應(yīng)于支座位置，則為可動(dòng)鉸支座、固定鉸支座或定向支座),在桿端力幾個(gè)分量中出現(xiàn)某桿端力分量為已知的現(xiàn)象。

即在這樣的單元中，式（6.1）的三個(gè)函數(shù)關(guān)系將不再完全獨(dú)立，由于其中一個(gè)方程左端項(xiàng)（桿端力）為已知，則桿端位移中，將只能存在兩個(gè)獨(dú)立的未知桿端位移分量，剩余的另一個(gè)桿端位移一定可以由這兩個(gè)獨(dú)立桿端位移來(lái)線性描述。

由于位移法計(jì)算過(guò)程的計(jì)算量在很大程度上取決于基本未知量的數(shù)目，上述情形的存在，使得在計(jì)算中可以根據(jù)單元桿端的約束模式，在計(jì)算前對(duì)基本未知量進(jìn)行篩選，去除非獨(dú)立的桿端位移分量，以減少計(jì)算線性方程組的工作量。由此即在一般桿元的基礎(chǔ)上衍生出了兩種特殊桿單元模型。6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程1)一端固定另一端鉸支桿單元2)一端固定另一端定向支承桿單元6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程

在3種桿單元模型中，第一種即兩端固定支承梁的模型在不考慮軸向變形時(shí)具有三個(gè)未知桿端位移，它完全可以取代后兩種衍生模型。若全部用第一種單元模型進(jìn)行計(jì)算，在位移法分析時(shí)所有單元的桿端位移描述和轉(zhuǎn)角位移方程將具有一致的形式，對(duì)應(yīng)的計(jì)算方法可以較為容易地移植到計(jì)算機(jī)化的程序分析中；但用于手算時(shí)，卻會(huì)導(dǎo)致因未知量數(shù)目較多，而計(jì)算量偏大的情況。一端固定一端鉸支、一端固定一端定向支承模型的引入，則可以簡(jiǎn)化分析計(jì)算量，所以手算時(shí)一般都會(huì)使用這兩種衍生模型來(lái)進(jìn)行計(jì)算。但應(yīng)該注意形常數(shù)與載常數(shù)的選用必須與所選擇的桿件單元模型相對(duì)應(yīng)。桿端剪力轉(zhuǎn)角位移方程可由平衡條件導(dǎo)出為：6.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程6.3.1位移法的基本未知量

如果結(jié)構(gòu)中每根桿件兩端的桿端角位移和桿端相對(duì)線位移均已知?jiǎng)t全部桿件內(nèi)力即可確定。位移法中，基本未知量應(yīng)是各結(jié)構(gòu)的角位移和線位移之和。

6.3位移法的基本概念1)結(jié)點(diǎn)角位移的確定

未知的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移對(duì)應(yīng)體系中的剛結(jié)點(diǎn)，若有階形桿截面改變處的轉(zhuǎn)角或抗轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座的轉(zhuǎn)角，應(yīng)一并計(jì)入；

鉸結(jié)點(diǎn)或鉸支座處轉(zhuǎn)角不獨(dú)立，引入特殊桿端約束模式下桿單元模型后，其桿端轉(zhuǎn)角不再計(jì)入。結(jié)構(gòu)固定支座處轉(zhuǎn)角已知，不應(yīng)計(jì)入；——一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角2)結(jié)點(diǎn)線位移的確定

確定位移法中線位移未知量的方法：由觀察確定。即設(shè)定體系中每一個(gè)結(jié)點(diǎn)在平面坐標(biāo)系的兩個(gè)主軸方向上最多可能具有兩個(gè)線位移，然后篩選出其中的未知、獨(dú)立分量。主要考慮以下的篩選原則：

①因剛性支座的存在，線位移為零或?yàn)橐阎担▽?duì)應(yīng)于支座移動(dòng)）的不計(jì)入未知量；②因軸向變形忽略不計(jì)而多個(gè)結(jié)點(diǎn)線位移相同的，則只計(jì)其中一個(gè)；

③定向支承桿端力已知，對(duì)應(yīng)的線位移非獨(dú)立，不計(jì)入獨(dú)立的線位移內(nèi)?！粚右粋€(gè)結(jié)點(diǎn)線位移(無(wú)側(cè)向約束時(shí))6.3位移法的基本概念“鉸化結(jié)點(diǎn)、增加鏈桿”方法判斷結(jié)構(gòu)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目。圖6.5ABCD4321

把所有的結(jié)點(diǎn)和支座都改為鉸結(jié)點(diǎn)和鉸支座，而得到一鉸結(jié)體系，然后用增加鏈桿的方法使該體系成為幾何不變、且無(wú)多余約束的體系，所增加的最少鏈桿數(shù)目，就是結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的數(shù)目。

不忽略桿的軸向變形，如圖6.6所示結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目為二。圖6.6

ABCDEA6.3位移法的基本概念4325611236.3位移法的基本概念6.3.2位移法的基本結(jié)構(gòu)和基本體系

附加約束:角位移處的附加剛臂和線位移處的附加支桿。

附加剛臂:即在每個(gè)發(fā)生獨(dú)立角位移的剛結(jié)點(diǎn)和組合結(jié)點(diǎn)上,人為加上一個(gè)能控制角位移(但不阻止線位移)的附加約束。

附加支桿，即在每個(gè)發(fā)生獨(dú)立線位移的結(jié)點(diǎn)上沿線位移方向,人為加上一個(gè)能控制其線位移大小的附加支座鏈桿。位移法計(jì)算時(shí)通過(guò)在體系中增設(shè)附加約束來(lái)控制結(jié)點(diǎn)位移發(fā)生。增設(shè)了附加約束的結(jié)構(gòu)模型,即為位移法計(jì)算中的基本結(jié)構(gòu)。a)原結(jié)構(gòu)及其基本未知量b)基本結(jié)構(gòu)

通過(guò)控制基本結(jié)構(gòu)的附加約束，令其發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點(diǎn)位移，從而形成在荷載與結(jié)點(diǎn)位移共同作用下與原結(jié)構(gòu)變形完全相同的受力模型。該受力模型即為位移法計(jì)算中的基本體系，基本體系與原結(jié)構(gòu)完全靜力等效。6.3位移法的基本概念

位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，是以一系列單跨超靜定梁的組合體作為基本結(jié)構(gòu)，在確定了基本未知量后，就要附加約束以限制所有結(jié)點(diǎn)的位移，把原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一系列相互獨(dú)立的單跨超靜定梁的組合體，即在產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移處附加剛臂以約束其轉(zhuǎn)動(dòng)，在產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)線位移處附加支承鏈桿以約束其線位移。

令基本結(jié)構(gòu)附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點(diǎn)位移，從而形成在荷載與結(jié)點(diǎn)位移共同作用下與原結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)受力等效的基本體系。6.3位移法的基本概念6.3位移法的基本概念1)只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)角位移的情況

圖示(a)結(jié)構(gòu),具有一個(gè)獨(dú)立的未知結(jié)點(diǎn)角位移,不存在結(jié)點(diǎn)線位移。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)的概念,在角位移處增設(shè)剛臂,得基本結(jié)構(gòu)。

a)原結(jié)構(gòu)c)基本體系b)基本結(jié)構(gòu)

荷載作用下，原結(jié)構(gòu)變形圖如圖(a)所示，則其基本體系應(yīng)如圖(c)所示。當(dāng)剛臂轉(zhuǎn)角與原結(jié)構(gòu)A點(diǎn)轉(zhuǎn)角相同時(shí)，圖(a)與圖(c)變形、內(nèi)力均完全相同。6.3.3位移法的基本方程與基本原理基本體系與原結(jié)構(gòu)的變形完全一致，其受力也完全相同。6.3位移法的基本概念

根據(jù)疊加原理，基本體系的變形可以由荷載和角位移Z1分別作用在基本結(jié)構(gòu)這兩個(gè)獨(dú)立受力狀態(tài)下的變形結(jié)果的疊加

由于基本體系與原結(jié)構(gòu)完全靜力等效，基本體系中角位移位置處附加剛臂不可能存在外力，必然有6.3位移法的基本概念

形常數(shù)，將Z1角位移作用下的變形圖利用單位角位移作用下的變形圖來(lái)表示

從而得到

這就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其實(shí)質(zhì)是表達(dá)了基本體系在結(jié)點(diǎn)位移處的平衡條件。6.3位移法的基本概念6.3位移法的基本概念MP圖圖M圖結(jié)構(gòu)的最后彎矩可由疊加公式計(jì)算

6.3位移法的基本概念*圖6.1

llABCq(a)原結(jié)構(gòu)ABCq（b）基本結(jié)構(gòu)位移法的基本思路：6.3位移法的基本概念分析：1）疊加兩步作用效應(yīng)，基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的荷載特征及位移特征完全一致，則其內(nèi)力狀態(tài)也完全相等；2）結(jié)點(diǎn)位移計(jì)算：對(duì)比兩結(jié)構(gòu)可發(fā)現(xiàn)，附加約束上的附加內(nèi)力應(yīng)等于0，按此可列出基本方程。實(shí)現(xiàn)位移狀態(tài)可分兩步完成：1）在可動(dòng)結(jié)點(diǎn)上附加約束，限制其位移，在荷載作用下，附加約束上產(chǎn)生附加約束力；2）在附加約束上施加外力，使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生與原結(jié)構(gòu)一致的結(jié)點(diǎn)位移。6.3位移法的基本概念qABCF1PF1P0ABCF11F11*圖6.1（d）*圖6.1（e）6.3位移法的基本概念

式（a）稱(chēng)為位移法方程。式中：稱(chēng)為系數(shù)；稱(chēng)為自由項(xiàng)。它們的方向規(guī)定與方向相同為正，反之為負(fù)。

求出Z1后，將*圖6.1（d）,（e）兩種情況疊加，即得原結(jié)構(gòu)彎矩圖如圖所示。

ABC

原結(jié)構(gòu)上原本沒(méi)有附加剛臂，故基本結(jié)構(gòu)附加剛臂上的約束力矩應(yīng)為零。即

（a）

6.3位移法的基本概念

圖示剛架基本未知量為結(jié)點(diǎn)C、D的水平線位移Z1。在結(jié)點(diǎn)D加一附加支座鏈桿，得其基本結(jié)構(gòu)。相應(yīng)的基本體系的變形和受力情況與原結(jié)構(gòu)完全相同。位移法方程

2）只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)線位移的情況

6.3位移法的基本概念將k11和F1P的值代入位移法方程式，解得用疊加法作彎矩圖6.3位移法的基本概念由以上分析歸納位移法計(jì)算的要點(diǎn)為：

1.以獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移（包括結(jié)點(diǎn)角位移和結(jié)點(diǎn)線位移）為基本未知量。2.以一系列單跨超靜定梁的組合體為基本結(jié)構(gòu)。3.由基本結(jié)構(gòu)在附加約束處的受力與原結(jié)構(gòu)一致的平衡條件建立位移法方程。先求結(jié)點(diǎn)位移，再計(jì)算出各桿件內(nèi)力。

各種約束的單跨超靜定梁由荷載及支座移動(dòng)引起的桿端彎矩和桿端剪力(載、形常數(shù))的數(shù)值可查表6.1、6.2。表6.1、6.2中

i=EI/l，稱(chēng)為桿件的線剛度。桿端彎矩對(duì)桿端順時(shí)針為正，對(duì)結(jié)點(diǎn)或支座逆時(shí)針為正；桿端剪力仍規(guī)定順時(shí)針為正。桿端角位移和線位移對(duì)桿端順時(shí)針為正。桿間荷載向下為正；集中力偶順時(shí)針為正。6.3位移法的基本概念(a)原結(jié)構(gòu)(b)基本結(jié)構(gòu)(c)基本體系基本體系上附加剛臂的反力矩F1及附加支桿的反力F2均為零即F1=0和F2=0

6.4位移法的典型方程(a)

設(shè)基本結(jié)構(gòu)由于Z1、Z2及荷載單獨(dú)作用，引起相應(yīng)于Z1的附加剛臂的反力矩分別為F11、F12及F1P，引起相應(yīng)于Z2的附加支座鏈桿的反力分別為F21、F22及F2P。根據(jù)疊加原理,可得

又設(shè)單位位移Z1=1及Z2=1單獨(dú)作用時(shí)，在基本結(jié)構(gòu)附加剛臂上產(chǎn)生的反力矩分別為k11及k21，在附加支座鏈桿中產(chǎn)生的反力分別為k12及k22，則有將式（b）代入式（a），得(b)位移法典型方程

其物理意義是：基本體系每個(gè)附加約束中的反力矩和反力都應(yīng)等于零。因此，它實(shí)質(zhì)上反映了原結(jié)構(gòu)的靜力平衡條件。6.4位移法的典型方程聯(lián)立解以上兩個(gè)方程求出Z1和Z2后，即可按疊加原理作出彎矩圖

6.4位移法的典型方程對(duì)于具有n個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的結(jié)構(gòu)，相應(yīng)地在基本結(jié)構(gòu)中需加入n個(gè)附加約束，根據(jù)每個(gè)附加約束的附加反力矩或附加反力都應(yīng)與原結(jié)構(gòu)反力相等的平衡條件，同樣可建立n個(gè)方程如下：

上式為典型方程的一般形式。式中主斜線上的系數(shù)kii稱(chēng)為主系數(shù)或主反力；其他系數(shù)kij稱(chēng)為副系數(shù)或副反力；FiP稱(chēng)為自由項(xiàng)。

系數(shù)和自由項(xiàng)的符號(hào)規(guī)定：以與該附加約束所設(shè)位移方向一致者為正。主反力kii恒為正值，其方向總是與所設(shè)位移Zi的方向一致；副系數(shù)和自由項(xiàng)則可能為正、負(fù)或零。6.4位移法的典型方程根據(jù)反力互等定理有反力的位置引起反力的原因位移法的基本未知量——結(jié)點(diǎn)位移（包括獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和結(jié)點(diǎn)線位移）。位移法的基本體系——若干單跨超靜定梁的組合體。位移法的基本方程——靜力平衡方程。6.4位移法的典型方程

②選擇基本體系。加附加約束，得到由若干基本單跨超靜定梁組成的組合體作為基本結(jié)構(gòu)）；使基本結(jié)構(gòu)承受原來(lái)的荷載，發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移，即可得到基本體系。

③建立位移法的典型方程。根據(jù)附加約束上反力矩或反力等于零的平衡條件建立典型方程。

④求系數(shù)和自由項(xiàng)。在基本結(jié)構(gòu)上分別作出各附加約束發(fā)生單位位移時(shí)的單位彎矩圖和荷載作用下的荷載彎矩圖MP圖，由結(jié)點(diǎn)平衡和截面平衡即可求得對(duì)應(yīng)系數(shù)和自由項(xiàng)。

⑤解方程，求基本未知量（Zi）。

6.5.1典型方程法的計(jì)算步驟①確定基本未知量數(shù)目：n=ny+nl。6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力⑥繪內(nèi)力圖。由疊加法繪彎矩圖,由桿件平衡求桿端剪力繪剪力圖,由結(jié)點(diǎn)平衡求桿端軸力繪軸力圖。⑦校核。由于位移法在確定基本未知量時(shí)已滿(mǎn)足了變形協(xié)調(diào)條件，而位移法典型方程是靜力平衡條件，故通常只需按平衡條件進(jìn)行校核。6.5.2舉例【例6.1】試用典型方程法計(jì)算圖所示連續(xù)梁，并作彎矩圖，各桿EI為常數(shù)。【解】(1)確定基本未知量數(shù)目該連續(xù)梁的基本未知量為結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角Z1，即n=1。(2)確定基本體系。如圖所示。由于超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力分布與桿件的相對(duì)剛度相關(guān)，可令i=1，根據(jù)桿件相對(duì)剛度計(jì)算。注意：在相對(duì)剛度設(shè)定后，計(jì)算所得未知量將不再直接對(duì)應(yīng)于結(jié)點(diǎn)的真實(shí)位移數(shù)值，而與所設(shè)定的相對(duì)剛度對(duì)應(yīng)。(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力(6)作最后彎矩圖M圖（kN·m）在本例的求解中，BC桿采用了一端固定一端鉸支的單元，減少了位移法分析的計(jì)算量，在計(jì)算中也可以直接使用一般桿單元（即兩端固定端桿元）進(jìn)行分析，只是計(jì)算量會(huì)增加，但不會(huì)改變計(jì)算結(jié)果。(5)解方程，求基本未知量將以上各系數(shù)及自由項(xiàng)之值代入典型方程，解得6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【例6.2】試對(duì)上例所有桿元使用統(tǒng)一的一般桿單元模型進(jìn)行位移法分析?！窘狻?1)確定基本未知量數(shù)目本例將基本未知量確定為所有的未知結(jié)點(diǎn)位移，即結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點(diǎn)C的轉(zhuǎn)角Z2。因此，n=2(2)確定基本體系如圖所示。(3)建立典型方程根據(jù)結(jié)點(diǎn)B和結(jié)點(diǎn)C附加剛臂上反力偶均為零的平衡條件，有(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2將以上各系數(shù)及自由項(xiàng)之值代入典型方程，解得

(6)作最后彎矩圖6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【*例6.2】試用位移法計(jì)算圖6.11(a)所示剛架，并繪出內(nèi)力圖。

【解】1)

確定基本未知量，形成基本結(jié)構(gòu)。

圖6.11ABC4m4m4m2mEIEI2EI1EI55kN6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力2)

建立位移法方程。由1結(jié)點(diǎn)的附加剛臂約束力矩總和為零的條件

得ABCk11ABC55kN110kN·mF1P2i4i2i4i3i圖MF圖6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力ABCk112i4i2i4iABC55kN110kN·mF1P3)

求系數(shù)和自由項(xiàng)利用結(jié)點(diǎn)1的力矩平衡條件

可計(jì)算出系數(shù)和自由項(xiàng)如下：

3i圖MF圖4)

解方程求基本未知量。將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程，得

6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力6）校核位移法計(jì)算只需作平衡條件校核。取結(jié)點(diǎn)1為隔離體

圖6.115）繪制內(nèi)力圖由疊加繪出最后圖。利用桿件和結(jié)點(diǎn)的平衡條件繪出圖、圖，分別如圖示。6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【例6.3】試用典型方程法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。設(shè)EI=常數(shù)。

【解】：(1)確定基本未知量數(shù)目可以利用對(duì)稱(chēng)性取結(jié)構(gòu)的1/4部分進(jìn)行計(jì)算，其基本未知量只有結(jié)點(diǎn)A的轉(zhuǎn)角Z1。

c)基本體系d)M1圖e)

MP圖(kN·m)(2)選擇基本體系

(3)建立典型方程

(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)(5)解方程，求基本未知量

(6)作最后彎矩圖6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【*例6.3】試用位移法計(jì)算圖(a)所示剛架，并繪出彎矩圖。已知各桿EI為常數(shù)。【解】1）選取半剛架并形成基本結(jié)構(gòu)。如圖(b)所示。分析可知用位移法求解圖(b)所示剛架時(shí)，基本未知量只有一個(gè)，基本結(jié)構(gòu)如圖(c)所示。2）建立位移法方程:

6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力

3）求系數(shù)和自由項(xiàng)。

令，分別在圖（d）、（e）中利用結(jié)點(diǎn)E的力矩平衡條件可計(jì)算出系數(shù)和自由項(xiàng)如下：

MF圖F1P4）解方程求基本未知量。

6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力6）校核。在圖（f）中取結(jié)點(diǎn)E為隔離體，驗(yàn)算其是否滿(mǎn)足平衡條件可知計(jì)算無(wú)誤。

5）繪制彎矩圖。由疊加可繪出左半剛架的彎矩圖，由結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性可繪出原結(jié)構(gòu)的M圖，如圖（f）所示。6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【**例6.3】試用位移法計(jì)算圖（a）所示剛架，并繪出彎矩圖。已知各桿EI為常數(shù)。

【解】1）選取半剛架并形成基本結(jié)構(gòu)。取圖（b）所示半剛架進(jìn)行計(jì)算，此半剛架只有一個(gè)基本未知量，即結(jié)點(diǎn)1的角位移Z1，其基本結(jié)構(gòu)如圖（c）所示。2）建立位移法方程：

6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力3）求系數(shù)和自由項(xiàng)。分別在圖（d）、（e）中利用結(jié)點(diǎn)1的力矩平衡條件可計(jì)算出系數(shù)和自由項(xiàng)如下：MF圖(kN·m)R1F4）解方程求基本未知量。

5）繪制彎矩圖。如圖（f）所示。6）校核。6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力復(fù)習(xí):§6.3~6.5習(xí)題:6.6(a),6.7(a)預(yù)習(xí):§6.5~6.6【*例6.4】試用位移法計(jì)算圖示剛架，并繪出彎矩圖。【解】1）確定基本未知量，形成基本結(jié)構(gòu)。如圖所示。圖6.12EI4m20kN/mABCDE40kN10kN·m4m2m2mEI2EI2EI6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力2）建立位移法方程

EIABCDEEI2EI0.5EIk11k21EIABCDE2EI0.5EIk12k22EI1.5EIF1P20kN/m40kNABCDE26.6726.67302510kN·mF2P圖MF圖圖6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力3）求系數(shù)和自由項(xiàng)

EIABCDEEI2EI0.5EIk11k21EIABCDE2EI0.5EIk12k22EI1.5EI圖圖6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力F1P20kN/m40kNABCDE26.6726.67302510kN·mF2P4）解方程求基本未知量。將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程，得MF圖6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力5）繪制彎矩圖。由疊加繪出最后圖。

6）校核。取結(jié)點(diǎn)B和結(jié)點(diǎn)C為隔離體可知計(jì)算無(wú)誤。

6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【例6.4】試用典型方程法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖，EI為常數(shù)。【解】(1)確定基本未知量數(shù)目此剛架的基本未知量為結(jié)點(diǎn)B和C

的角位移Z1和Z2，即n=2。(2)確定基本體系，如圖所示。

(3)建立典型方程根據(jù)基本體系每個(gè)附加剛臂的總反力矩為零的條件，可列出位移法方程如下：(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)k11

=

4.8＋4＋8

=

16.8

k12

=k21=

4

k22

=8+4

=

12

F1P=50－60=－10kN·m

F2P

=

60kN·m

6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力(5)解方程，求基本未知量將求得的各系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程，解得

Z1=1.94，Z2=－5.65(6)作最后彎矩圖6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【*例6.5】試用位移法計(jì)算圖示剛架，并繪出彎矩圖?！窘狻?）確定基本未知量，形成基本結(jié)構(gòu)。基本未知量為結(jié)點(diǎn)1處的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點(diǎn)1、2共同的水平位移Z2。20kN/m40kN12ABEI=常數(shù)2）建立位移法方程?；窘Y(jié)構(gòu)的附加剛臂和附加鏈桿中的約束力為零6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力3）求系數(shù)和自由項(xiàng)。令。k12k211.5i1.5i12AB12ABk11k212i4i3i12k21-1.5i012k220.75i3/16i圖圖6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力40kN12AB26.67kN20kN/m26.67kNF11MF圖26.67kN26.67kN12F2P-40kN010kN6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力4）解方程求基本未知量。將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程，得

5）繪制彎矩圖。由疊加繪出M圖，如（f）所示。R2F6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力

6）校核。在圖（f）中取結(jié)點(diǎn)1為隔離體，由

再取桿12為隔離體，由可知計(jì)算無(wú)誤。

R2F6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【例6.5】試用典型方程法計(jì)算圖所示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖，已知l=6m，除DE桿外，各桿EI為常數(shù)。【解】(1)確定基本未知量數(shù)目有角位移Z1;由于DE桿截面抗彎剛度無(wú)窮大，桿DE的轉(zhuǎn)角q與D（B）結(jié)點(diǎn)的豎向線位移D之間存在直接幾何變換關(guān)系

故本題基本未知量的數(shù)目為2

(2)確定基本體系

(a)基本體系一(b)基本體系二選擇兩個(gè)角位移作為基本未知量選擇一個(gè)角位移一個(gè)線位移作為基本未知量6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力(3)建立典型方程無(wú)論是基本體系一還是基本體系二，根據(jù)位移法的基本原理，必然有(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)①基本體系一②基本體系二6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力(5)解方程，求基本未知量將求得的各系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程，解得對(duì)基本體系一，有：對(duì)基本體系二，有：(6)作最后彎矩圖6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力【例6.6】試用典型方程法計(jì)算圖示等高排架。

【解】(1)確定基本未知量數(shù)目b)基本體系一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移未知量，即A、C、E的水平位移Z1。

(2)確定基本體系，如圖b所示(3)建立典型方程(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)a)原結(jié)構(gòu)6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力再令稱(chēng)為第i根柱的剪力分配系數(shù)，則各柱所分配得的柱頂剪力為

（i=1，2，3）

說(shuō)明：當(dāng)?shù)雀吲偶軆H在柱頂受水平集中力作用時(shí)，可首先求出各柱的剪力分配系數(shù)；然后計(jì)算出各柱頂剪力FQi；最后把每根柱視為懸臂梁繪出其彎矩圖。這樣就可不必建立典型方程而直接得到解答。這一方法稱(chēng)為剪力分配法.于是，各柱頂?shù)募袅槭街校瑀i為當(dāng)排架柱頂發(fā)生單位側(cè)移時(shí)，各柱柱頂產(chǎn)生的剪力，反映了各柱抵抗水平位移的能力，稱(chēng)為排架柱的側(cè)移剛度系數(shù)。(5)解方程，求基本未知量Z1(6)按疊加原理即可作出彎矩圖。

6.5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力

計(jì)算最后內(nèi)力的疊加公式不完全相同。其最后一項(xiàng)應(yīng)以Mc替代荷載作用時(shí)的MP，即

典型方程中的自由項(xiàng)不同。這里的自由項(xiàng)，不再是荷載引起的附加約束中的FiP，而是基本結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)產(chǎn)生的附加約束中的反力矩或反力Fic，它可先利用形常數(shù)作出基本結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)產(chǎn)生的彎矩圖Mc圖，然后由平衡條件求得。

用典型方程法計(jì)算超靜結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力，其基本原理和計(jì)算步驟與荷載作用時(shí)是相同的，只是需要注意:6.6用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力【例6.7】試用典型方程法作如圖a所示結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的彎矩圖。已知，，?！窘狻?/p>

(1)確定基本未知量

(2)選擇基本體系

b)基本結(jié)構(gòu)a)原結(jié)構(gòu)(3)建立典型方程

6.6用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)

(5)解方程，求基本未知量(6)作最后彎矩圖

M圖(kN·m)必須注意，計(jì)算支座移動(dòng)引起的桿端彎矩時(shí)，必須用實(shí)際值，而不能用各桿EI的相對(duì)值。

6.6用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力【例6.8】圖示剛架的支座A下沉了0.02m，支座E沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)0.01rad，試?yán)L出剛架由此產(chǎn)生的彎矩圖。已知EI=5.0×104kN·m2?！窘狻?1)確定基本體系和基本未知量(2)建立位移法方程(3)求系數(shù)和自由項(xiàng)6.6用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力(4)將系數(shù)和自由項(xiàng)的數(shù)值代入位移法方程，得解得Z1=－20.9，Z2=27.8（5）繪出剛架的最后彎矩圖

Mc圖

為了計(jì)算方程中的自由項(xiàng)，應(yīng)作出Mc圖。由表6.1和6.2的形常數(shù)可計(jì)算得到基本結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)產(chǎn)生的各桿固端彎矩為（6）校核

6.6用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力復(fù)習(xí):§6.3~6.6習(xí)題:6.8(b),6.10預(yù)習(xí):§7.1

直接利用平衡條件建立位移法方程時(shí)，需要對(duì)每個(gè)桿件進(jìn)行受力、變形分析，找出桿端內(nèi)力與桿端位移及外荷載之間的關(guān)系表達(dá)式。此關(guān)系式稱(chēng)為轉(zhuǎn)角位移方程。式6.1既為兩端固定的單跨梁各種約束桿件的轉(zhuǎn)角位移方程。

6.7直接利用平衡條件建立位移法方程在位移法典型方程法中,通過(guò)增設(shè)附加約束、借助基本結(jié)構(gòu)、利用基本體系表達(dá)出原結(jié)構(gòu)變形模式，從而建立的位移法方程，實(shí)質(zhì)上就是反映原結(jié)構(gòu)的平衡條件，即有結(jié)點(diǎn)角位移處，是結(jié)點(diǎn)的力矩平衡條件；有結(jié)點(diǎn)線位移處，是截面的投影平衡條件。

因此，根據(jù)位移法的基本原理，也可以不通過(guò)基本結(jié)構(gòu)，而借助于桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，利用結(jié)點(diǎn)位移與桿端位移之間的協(xié)調(diào)關(guān)系，根據(jù)先“拆散”、后“組裝”結(jié)構(gòu)的思路，直接由原結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)和截面平衡條件來(lái)建立位移法方程，這就是直接平衡法?！纠?.9】試用直接平衡法計(jì)算圖所示剛架，并作彎矩圖。已知EI=常量

【解】(1)確定基本未知量，并繪出示意圖

(a)基本未知量(b)結(jié)點(diǎn)位移處的平衡條件(2)“拆散”，利用結(jié)點(diǎn)位移表示出各對(duì)應(yīng)桿件的桿端位移，進(jìn)行桿件分析，即根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程，逐桿寫(xiě)出桿端內(nèi)力：①對(duì)于左柱BA（視為兩端固定梁）6.7直接利用平衡條件建立位移法方程②對(duì)于橫梁BC（視為B端固定，C端鉸支）

③對(duì)于右柱CD（視為D端固定，C端鉸支）6.7直接利用平衡條件建立位移法方程(3)“組裝”，進(jìn)行整體分析，即根據(jù)結(jié)點(diǎn)平衡條件和截面平衡條件建立位移法方程①②取橫梁BC為隔離體，由截面平衡(a)(b)以上式（a）和式（b）即為用直接平衡法建立的位移法方程，與6.4節(jié)中用典型方程法解同一例題所建立的位移法方程（典型方程）式（d）完全相同。也就是說(shuō)，兩種本質(zhì)上相同的解法在此殊途同歸。6.7直接利用平衡條件建立位移法方程(4)聯(lián)立求解方程（a）和（b），求基本未知量：(5)計(jì)算桿端內(nèi)力

將Z1和Z2代回第（2）步所列出的各桿的桿端彎矩表達(dá)式，即可求得

(6)作最后彎矩圖

d)

M圖(×ql2/184)6.7直接利用平衡條件建立位移法方程

桿左端彎矩相加桿右端彎矩相加若：轉(zhuǎn)角位移方程為而桿端剪力可由平衡條件得出為

6.7直接利用平衡條件建立位移法方程圖6.17一端固定、一端鉸支梁（圖6.17）的桿端彎矩為一端固定、一端定向支承梁（圖6.18）的桿端彎矩為

圖6.18各種單跨超靜定梁的桿端剪力都可由下式算出。

6.7直接利用平衡條件建立位移法方程直接利用平衡條件建立圖示結(jié)構(gòu)的位移法方程。6.7直接利用平衡條件建立位移法方程由結(jié)點(diǎn)B的力矩平衡條件（圖b）