函數(shù)與方程正式版

..§9.函數(shù)與方程..一、知識要點1.零點的概念〔1定義使函數(shù)的實數(shù)的值叫的零點.〔2幾何意義及代數(shù)意義的零點曲線與軸的交點的橫坐標方程的實根.2.零點的性質(zhì)〔1函數(shù)的圖象穿過零點時,函數(shù)值變號；〔2相鄰兩零點之間的函數(shù)值同號.3.零點存在性的判斷〔零點定理〔1在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)滿足,則至少存在一個實數(shù),使得,即在上至少存在一個零點.若在上嚴格單調(diào),則在上存在唯一實數(shù),使得.4.求方程的實根〔或判斷實根個數(shù)的方法〔1代數(shù)法：解方程；〔2數(shù)形結(jié)合法：求曲線與軸的交點；〔3輔助函數(shù)法：求曲線與的交點個數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點個數(shù).5.用"二分法"求零點的近似值〔1給定區(qū)間及精確度,驗證；〔2求區(qū)間的中點,計算；〔3驗證與的符號：①若,則為零點；②若,則零點,令；③若,則零點,令；④判斷是否成立,若成立,則任取中的一個數(shù)為零點,否則,重復(fù)②至④的步驟.二、考點演練題型一：確定零點所在的區(qū)間1.設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為,則所在的區(qū)間是〔A.B.C.D.2.已知函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的零點,則________.題型二：確定區(qū)間上零點的個數(shù)3.若函數(shù)的兩個極值點為,且,則關(guān)于的方程的不同實根個數(shù)為________.4.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,且當(dāng)時,,則方程的實數(shù)解的個數(shù)為________.題型三：利用零點確定參數(shù)的值或取值范圍5.設(shè)方程的根為,方程的根為,則的值為______.6.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則的取值范圍是________.7.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),對于,都有,且當(dāng)時,,若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有7個不同的實數(shù)根,則的取值范圍是________.題型四：零點的綜合應(yīng)用8.設(shè)函數(shù).〔1設(shè),證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點；〔2設(shè),若對于,有,求的取值范圍；〔3在〔1的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點,判斷數(shù)列的增減性.9.設(shè)函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù),.〔1求的單調(diào)區(qū)間及最大值；〔2討論關(guān)于的方程根的個數(shù)...§9.函數(shù)與方程..一、知識要點1.零點的概念〔1定義使函數(shù)的實數(shù)的值叫的零點.〔2幾何意義及代數(shù)意義的零點曲線與軸的交點的橫坐標方程的實根.2.零點的性質(zhì)〔1函數(shù)的圖象穿過零點時,函數(shù)值變號；〔2相鄰兩零點之間的函數(shù)值同號.3.零點存在性的判斷〔零點定理〔1在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)滿足,則至少存在一個實數(shù),使得,即在上至少存在一個零點.若在上嚴格單調(diào),則在上存在唯一實數(shù),使得.4.求方程的實根〔或判斷實根個數(shù)的方法〔1代數(shù)法：解方程；〔2數(shù)形結(jié)合法：求曲線與軸的交點；〔3輔助函數(shù)法：求曲線與的交點個數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點個數(shù).5.用"二分法"求零點的近似值〔1給定區(qū)間及精確度,驗證；〔2求區(qū)間的中點,計算；〔3驗證與的符號：①若,則為零點；②若,則零點,令；③若,則零點,令；④判斷是否成立,若成立,則任取中的一個數(shù)為零點,否則,重復(fù)②至④的步驟.二、考點演練題型一：確定零點所在的區(qū)間1.設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為,則所在的區(qū)間是〔A.B.C.D.[解析]令.則；；.所以,所以所在的區(qū)間是.選B.2.已知函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的零點,則________.[解析]令,則,,所以的零點,則.題型二：確定區(qū)間上零點的個數(shù)3.若函數(shù)的兩個極值點為,且,則關(guān)于的方程的不同實根個數(shù)為________.[解析],因為是的兩個極值點,所以是的兩根,于是方程的解為.不妨令,因為,所以同圖象知有兩解,只有一解,所以共有3個實數(shù)解.4.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,且當(dāng)時,,則方程的實數(shù)解的個數(shù)為________.[解析]方程的實數(shù)解的個數(shù)即為函數(shù)與的圖象的交點個數(shù).由已知得是周期為2的周期函數(shù),其圖象如圖所示,當(dāng)時,,所以共有9個交點,即方程有9個實數(shù)解.題型三：利用零點確定參數(shù)的值或取值范圍5.設(shè)方程的根為,方程的根為,則的值為______.[解析]即為與的圖象的交點M的橫坐標；即與的圖象的交點N的橫坐標.因為與的圖象關(guān)于直線對稱,直線也關(guān)于對稱,所以兩個交點關(guān)于對稱,于是與的交點P即為MN的中點,所以.6.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則的取值范圍是________.[解析]在上存在點,其關(guān)于軸的對稱點在的圖象上,所以,即.等價于函數(shù)在存在零點.因為,所以在遞增,當(dāng)時,,要使在存在零點,只需,即,所以.7.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),對于,都有,且當(dāng)時,,若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有7個不同的實數(shù)根,則的取值范圍是________.[解析]方程在有7個實數(shù)根,即為與的圖象有7個交點,由已知得是周期為2的周期函數(shù),由圖象得,解之得.········題型四：零點的綜合應(yīng)用8.設(shè)函數(shù).〔1設(shè),證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點；〔2設(shè),若對于,有,求的取值范圍；〔3在〔1的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點,判斷數(shù)列的增減性.[解析]〔1當(dāng)時,..又因為當(dāng)時,,,.〔2當(dāng)時,.對任意上的最大值與最小值之差.據(jù)此分類討論如下：.........綜上得.〔3證法一：設(shè)是在內(nèi)的唯一零點..則.又由〔1知在上遞增,所以.所以數(shù)列是遞增數(shù)列.9.設(shè)函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù),.〔1求的單調(diào)區(qū)間及最大值；〔2討論關(guān)于的方程根的個數(shù).[解析]〔1.令,則.當(dāng)時,,單調(diào)遞增；當(dāng)時,,單調(diào)遞減.于是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.最大值為.〔2令,.①當(dāng)時.,則,則.因為,所以,因此在<1,＋∞>上單調(diào)遞增.②當(dāng)時.,則.則.因為,,所以.又,所以,即,因此g<x>在<