試驗(yàn)設(shè)計(jì)第2章 單因子試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與分析

第2章單因子試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與分析2.1單因子試驗(yàn)2.2單因子方差分析2.3多重比較2.4效應(yīng)模型2.5正態(tài)性檢驗(yàn)2.6方差齊性檢驗(yàn)2.1單因子試驗(yàn)指標(biāo)：葉酸含量，因子：綠茶，水平：產(chǎn)地平衡設(shè)計(jì)與不平衡設(shè)計(jì)例2.1.1

茶是世界上最為廣泛的一種飲料，任一種茶葉都含有葉酸(folacin),它是一種維他命B.如今已有測定茶葉中葉酸含量的方法.研究各產(chǎn)地綠茶的葉酸含量是否有顯著差異.

重復(fù)數(shù)相等的設(shè)計(jì)稱平衡設(shè)計(jì)，重復(fù)數(shù)不等的設(shè)稱不平衡設(shè)計(jì)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)全部試驗(yàn)的試驗(yàn)次序隨機(jī)安排2.1單因子試驗(yàn)例2.1.1的試驗(yàn)安排隨機(jī)化

將1~24隨機(jī)排列，根據(jù)隨機(jī)次序安排試驗(yàn)2.1單因子試驗(yàn)數(shù)據(jù)的打點(diǎn)圖(dotplot)從均值看：A1,A2葉酸含量較高從極差看：A4較小2.1單因子試驗(yàn)單因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在一個(gè)試驗(yàn)中只考察一個(gè)因子A及其r個(gè)水平A1，A2，…，Ar．在水平Ai下重復(fù)mi次試驗(yàn)，總試驗(yàn)次數(shù)n=m1+m2+…+mr．記yij是第i個(gè)水平下的第j次重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果，經(jīng)過隨機(jī)化后，所得的n個(gè)試驗(yàn)結(jié)果列于下表表2.2.1單因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)2.1單因子試驗(yàn)單因子試驗(yàn)的基本假定正態(tài)性：yij是來自正態(tài)總體的樣本方差齊性：r個(gè)正態(tài)總體的方差相等隨機(jī)性：所有數(shù)據(jù)yij是都相互獨(dú)立相同試驗(yàn)環(huán)境隨機(jī)化2.1單因子試驗(yàn)單因子試驗(yàn)的研究對象

r個(gè)水平的均值是否相等?若各均值不全等相等,哪些均值間的差異是重要的？單因子試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷趇水平下第j次試驗(yàn)結(jié)果第i水平均值，是待估計(jì)參數(shù)第i水平下第j次試驗(yàn)誤差相互獨(dú)立2.1單因子試驗(yàn)各水平均值的估計(jì)采用使Q達(dá)最小的最小二乘估計(jì)2.2單因子方差分析檢驗(yàn)假設(shè)不全相等偏差平方和及其自由度偏差平方和自由度f平方和中獨(dú)立偏差的個(gè)數(shù)2.2單因子方差分析定理2.2.1

若y1,y2,…,yk是來自正態(tài)總體N(μ,

σ2)的一個(gè)樣本，則有

偏差平方和的性質(zhì)2、每個(gè)數(shù)據(jù)加上同一個(gè)常數(shù)c,偏差平方和不變3、每個(gè)數(shù)據(jù)乘以同一個(gè)常數(shù)c,偏差平方和變?yōu)樵瓉淼腸2倍2.2單因子方差分析總平方和的分解公式組內(nèi)平方和(誤差平方和)組間平方和(因子平方和)2.2單因子方差分析各平方和的計(jì)算使用T與Ti計(jì)算各平方和不會出現(xiàn)舍入誤差，可以提高計(jì)算精度2.2單因子方差分析各平方和的期望定理2.2.2

在單因子方差分析的三個(gè)基本假定下有均方和MSe是σ2的無偏估計(jì)MSA是σ2的有偏估計(jì),偏差大小取決于各水平均值間的差異2.2單因子方差分析方差分析表拒絕域?yàn)椋簛碓?/p>

平方和

自由度

均方和

F比

因子

A

?=-=riiiAyymS12)(

1-=rfA

1-=rSMSAA

eAMSMSF=

誤差

e

??==-=rimjiijeiyyS112)(

rnfe-=

rnSMSee-=

——

和

T

??==-=rimjijTiyyS112)(

1-=nfT

——

——

2.2單因子方差分析諸水平均值的估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)2.2單因子方差分析例2.2.1

例2.1.2中茶葉葉酸含量在各水平下的是否有顯著差異例2.2.2

計(jì)算5個(gè)數(shù)98，100，101，103，108的偏差平方和例2.2.3

比較四種不同牌號的鐵銹防護(hù)劑的防銹能力.2.3多重比較多重比較問題同時(shí)比較任意兩個(gè)水平均值之間有無顯著差異的問題稱為多重比較問題同時(shí)同時(shí)檢驗(yàn)如下假設(shè)：個(gè))重復(fù)數(shù)相等情況的T法(Turkey,1953)

考慮r個(gè)水平,各水平的重復(fù)數(shù)均為m拒絕域的形式為：2.3多重比較重復(fù)數(shù)相等情況的T法(Turkey,1953)

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t化極差統(tǒng)計(jì)量,可查表獲得分位數(shù)2.3多重比較重復(fù)數(shù)相等情況的T法(Turkey,1953)

顯著水平為α的臨界值：拒絕域：例2.3.1

在顯著水平0.05下對例2.2.5做多重比較2.3多重比較重復(fù)數(shù)不等情況的S法(Scheffe,1953)

成立時(shí)，有檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：2.3多重比較重復(fù)數(shù)不等情況的S法(Scheffe,1953)

拒絕域若則拒絕2.4效應(yīng)模型效應(yīng)模型及其分類

效應(yīng)模型固定效應(yīng)模型隨機(jī)效應(yīng)模型r個(gè)水平是特定的r個(gè)水平是從諸多水平中隨機(jī)挑選出來的2.4效應(yīng)模型固定效應(yīng)模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)固定效應(yīng)模型方差分析檢驗(yàn)假設(shè)不全為0與單因子方差分析等價(jià)2.4效應(yīng)模型固定效應(yīng)模型參數(shù)估計(jì)估計(jì)總均值μ與諸效應(yīng)ai,采用最小二乘估計(jì),使在ai的約束條件下達(dá)最小，可得2、ai的區(qū)間估計(jì)為：2.4效應(yīng)模型固定效應(yīng)模型參數(shù)估計(jì)3、μi-μj的區(qū)間估計(jì)為：例2.4.1

對綠茶葉酸含量問題，求各水平效應(yīng)的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)2.4效應(yīng)模型隨機(jī)效應(yīng)模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)隨機(jī)效應(yīng)模型方差分析檢驗(yàn)假設(shè)εij與ai相互獨(dú)立與單因子方差分析與固定效應(yīng)模型一致方差分量模型2.4效應(yīng)模型隨機(jī)效應(yīng)模型方差分量的估計(jì)定理2.4.1

在隨機(jī)效應(yīng)模型下,誤差平方和Se和因子A的平方和SA的數(shù)學(xué)期望分別為在等重復(fù)情況下有：σ2和σa2的無偏估計(jì)為重復(fù)數(shù)不等時(shí)重復(fù)數(shù)相等(可能小于0)2.4效應(yīng)模型例2.4.2

綠茶的種類(產(chǎn)地)很多，將例2.1.1中所選的四種綠茶看作從諸多種類綠茶中隨機(jī)抽取，對其作方差分析,給出方差分量的估計(jì).例2.4.3

紡織廠有很多紡機(jī)用來紡織纖維，希望各紡機(jī)的纖維強(qiáng)度波動小，一致性好。工程師推測，同一臺機(jī)器紡出的纖維強(qiáng)度間有差異，各臺紡機(jī)之間紡出纖維強(qiáng)度亦有差異，隨機(jī)選取四臺紡機(jī)，在每臺紡機(jī)生產(chǎn)的纖維中測定四個(gè)強(qiáng)度。這一試驗(yàn)以隨機(jī)順序進(jìn)行，所得數(shù)據(jù)如表。對該問題作方差分析。2.5正態(tài)性檢驗(yàn)正態(tài)性的圖檢驗(yàn)法正態(tài)概率紙一種的特殊的坐標(biāo)紙，橫坐標(biāo)等間隔，用來表示觀察值的大小，其縱坐標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

Φ(x)=P(X≤x)標(biāo)示，表示觀察值不超過x的個(gè)數(shù)在全部觀察值中所占比例2.5正態(tài)性檢驗(yàn)正態(tài)性的圖檢驗(yàn)法在正態(tài)概率紙上任一正態(tài)分布函數(shù)呈上升直線狀任一右偏態(tài)分布函數(shù)呈上凸曲線狀任一左偏態(tài)分布函數(shù)呈下凸曲線狀任意兩個(gè)方差相等的正態(tài)分布函數(shù)呈平行直線狀2.5正態(tài)性檢驗(yàn)正態(tài)性的圖檢驗(yàn)法用正態(tài)概率紙檢驗(yàn)正態(tài)性1.將樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行排序,,一般要求m≥82.在點(diǎn)y(j)處的累積概率用修正概率或

去估計(jì)，對j=1,2,…,m計(jì)算這些估計(jì)值3.將m個(gè)點(diǎn)逐一點(diǎn)在正態(tài)概率紙上4.用目測法去判斷：若m個(gè)點(diǎn)近似在一直線附近,則認(rèn)為該樣本來自某正態(tài)總體若m個(gè)點(diǎn)明顯不在一直線附近,則認(rèn)為該樣本來自非正態(tài)總體2.5正態(tài)性檢驗(yàn)正態(tài)性的圖檢驗(yàn)法殘差概率圖當(dāng)各水平下重復(fù)數(shù)少于8時(shí)，經(jīng)常會出現(xiàn)明顯波動，此時(shí)對重復(fù)數(shù)相等的情況，可用殘差把小樣本合并成為一個(gè)較大樣本，再診斷數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布.三個(gè)基本假定下，有即：重復(fù)數(shù)相等時(shí)，諸殘差來自同一正態(tài)分布，對諸殘差按照前面所述方法使用正態(tài)概率紙即可。2.5正態(tài)性檢驗(yàn)例2.5.2

合成纖維(對成品布)的抗拉強(qiáng)度進(jìn)行試驗(yàn)，工程師的經(jīng)驗(yàn)表明：某種合成纖維的抗拉強(qiáng)度與棉花在纖維中所占百分比有關(guān)?？紤]到成品布的其他質(zhì)量特性，棉花含量在10%~40%之間為宜。對棉花含量這個(gè)因子工程師選定五個(gè)水平：

A1:15%A2:20%A3:25%A4:30%A5:35%并決定對每個(gè)水平各重復(fù)進(jìn)行5次試驗(yàn)，共做25次試驗(yàn)。經(jīng)過對試驗(yàn)次序隨機(jī)化共獲得25個(gè)試驗(yàn)結(jié)果如表，對數(shù)據(jù)作正態(tài)性檢驗(yàn)并作方差分析.例2.5.3

在某種鐵銹防護(hù)劑的防銹能力的試驗(yàn)中獲得容量為10的一個(gè)樣本，在顯著水平0.05下檢驗(yàn)它是否來自正態(tài)分布。2.5正態(tài)性檢驗(yàn)W檢驗(yàn)設(shè)從總體X中隨機(jī)抽取容量為n的樣本x1,x2,…,xn,檢驗(yàn)假設(shè)

H0:X服從正態(tài)分布在8≤n≤50時(shí),Wilk與Shapiro提出如下W統(tǒng)計(jì)量：ai是特定系數(shù)（有表可查）,滿足：2.5正態(tài)性檢驗(yàn)W檢驗(yàn)

W可看作數(shù)對(ai,x(i))的相關(guān)系數(shù)的平方，H0為真時(shí)，W的值接近于1，拒絕域?yàn)椋?Wα可查表獲得)數(shù)據(jù)的變換已知觀察值的分布

觀察值是計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)，不少可認(rèn)為是泊松分布，可用平方根變換

觀察值是分?jǐn)?shù)表達(dá)的比例，其分子部分可能服從二項(xiàng)分布，可用反正弦變換

觀察值服從對數(shù)正態(tài)分布，可用對數(shù)變換2.5正態(tài)性檢驗(yàn)未知觀察值的分布需要憑經(jīng)驗(yàn)尋找合適變換，常用變換有例2.5.4

從一批電子元件中隨機(jī)抽取10只進(jìn)行壽命試驗(yàn)，獲得10個(gè)壽命時(shí)間(單位：小時(shí))。判斷該數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體，若不是，選擇合適數(shù)據(jù)變換使之近似服從正態(tài)分布。2.5正態(tài)性檢驗(yàn)Box-Cox變換這個(gè)變換能改變分布形狀,使之成為正態(tài)分布,至少是對稱分布;當(dāng)y≥0時(shí)，這類變換能保持?jǐn)?shù)據(jù)的大小次序;對變換結(jié)果可以有個(gè)很好的解釋;這個(gè)變換是λ的連續(xù)函數(shù)，對其選取帶來方便;當(dāng)ymax/ymin>2時(shí)，使用該變換常有效，而ymax/ymin≤2時(shí)，使用該變換無效;2.5正態(tài)性檢驗(yàn)Box-Cox變換λ的選取λ的極大似然估計(jì)是使達(dá)最小的估計(jì)可畫Q(λ)曲線讀出使其最小的值選出10~20個(gè)λ的值，分別計(jì)算Q(λ)值，選擇使其最小的λ2.6方差齊性檢驗(yàn)方差齊性的假設(shè)H1:諸不全相等常用檢驗(yàn)方法Bartlett檢驗(yàn)，適用于樣本量不等或相等場合，但每個(gè)樣本量不得低于5修正的Bartlett檢驗(yàn)，在樣本量較小或較大、相等或不等場合均可使用Hartley檢驗(yàn)，僅適用于樣本量相等場合SPSS中使用的levene檢驗(yàn)對非正態(tài)性數(shù)據(jù)適用，計(jì)算量大一般需要用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算。2.6方差齊性檢驗(yàn)Bartlett檢驗(yàn)考慮各樣本方差，由幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)有拒絕域的形式為

Bartlett證明了