2023年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《相似三角形-8字形相似》解答題專題訓(xùn)練（含解析）

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《相似三角形—8字形相似》解答題專題訓(xùn)練（附答案）1．如圖，AD與BC相交于點O，已知：BC＝12cm，OB＝8cm，AD＝18cm，OD＝6cm．（1）求證：AB∥CD；（2）當(dāng)AD與BC垂直時，求AB和CD的長．（結(jié)果保留根號）2．如圖，BD、AC相交于點P，連接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的長度．3．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E在線段AD上，CE與BD相交于點H，CE與BA的延長線相交于點G，已知DE：AE＝2：3，BC＝4DE，CE＝10．求EH、GE的長．4．如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延長線于點E．（1）求證：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面積．5．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，點E沿BC邊從點B開始向點C以2個單位長度的速度運動；點F沿CD邊從點C開始向點D以每秒4個單位長度的速度運動．如果E，F(xiàn)同時出發(fā)，用t（0≤t≤6）秒表示運動的時間．請解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，△CEF是等腰直角三角形？（2）當(dāng)t為何值時，以點E，C，F(xiàn)為頂點的三角形與△ACD相似？6．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射線CD交AB于點D，點E是CD上一點，且∠AEC＝∠ABC，聯(lián)結(jié)BE．（1）求證：△ACD∽△EBD；（2）如果CD平分∠ACB，求證：AB2＝2ED?EC．7．如圖，以BC為直徑的⊙O經(jīng)過點A，AN平分∠BAC，交BC于點M，P是BC延長線上一點，且PA＝PM．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若MN＝，BC＝6，CM＝2，求AM的長．8．已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC上方拋物線上取一點P，過點P作PQ⊥x軸交BC邊于點Q，求PQ的最大值；（3）在直線BC上方拋物線上取一點D，連接OD，CD．OD交BC于點F，當(dāng)S△COF：S△CDF＝3：2時，求點D的坐標．9．如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，點M是AD的中點，連接MC交BD于點N，ON＝1．（1）求證：△DMN∽△BCN；（2）求BD的長；（3）若△DCN的面積為2，直接寫出四邊形ABNM的面積．10．在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．11．如圖①是常態(tài)下的鐵夾子，如圖②是它的示意圖，AC、BC表示鐵夾的兩邊，AC＝BC，點O在∠ACB的平分線上，OD⊥AC于點D，AD＝26mm，DC＝24mm，OD＝7mm．（1）求OC的長度；（2）連接BD交CO延長線于點E，試求的值．12．如圖，△DBE內(nèi)接于⊙O，BD為直徑，DE＝EB，點C在⊙O（不與D，B，E重合）上，∠A＝45°，點A在直線CD上，連接AB．（1）如圖，若點C在上，求證：△ABD∽△CBE；（2）在（1）的條件下，DC＝6，DB＝10，求線段CE的長；（3）若直線BC與直線DE相交于點F，當(dāng)時，求的值．13．【認識模型】（1）如圖1，直線l1∥l2，直線m、n分別與l1、l2交于點A、B和點F、D，m和n交于點E．則＝；【應(yīng)用模型】（2）如圖2，在△ABC中，D是邊AB上一點，且＝＝．若BC＝4，AB＝10，求AC的長．14．如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的邊AB在x軸上，點D在反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象上，已知點C的坐標為（12，8），平行四邊形ABCD的面積為64．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點E為BC與反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）圖象的交點，且，求點E的坐標．15．小明利用數(shù)學(xué)課所學(xué)知識測量學(xué)校門口路燈的高度．如圖：AB為路燈主桿，AE為路燈的懸臂，CD是長為1.8米的標桿．已知路燈懸臂AE與地面BG平行，當(dāng)標桿豎立于地面時，主桿頂端A、標桿頂端D和地面上一點G在同一直線上，此時小明發(fā)現(xiàn)路燈E、標桿頂端D和地面上另一點F也在同一條直線上（路燈主桿底端B、標桿底端C和地面上點F、點G在同一水平線上）．這時小明測得FG長1.5米，路燈的正下方H距離路燈主桿底端B的距離為3米．請根據(jù)以上信息求出路燈主桿AB的高度．16．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE＝AD．EC與BD相交于點G，與AD相交于點F，AF＝AB．（1）求證：BD⊥EC．（2）若AB＝1，求AE的長．17．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，點D為射線AB上一動點，且BD＜AD，點B關(guān)于直線CD的對稱點為點E，射線AE與射線CD交于點F．（1）當(dāng)點D在邊AB上時，①求證：∠AFC＝45°；②延長AF與邊CB的延長線相交于點G，如果△EBG與△BDC相似，求線段BD的長；（2）聯(lián)結(jié)CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，點E在邊BC上（不與B、C點重合）CD⊥AE于點F，交AB于點G，BD∥AC，AC＝k?CE．（1）如圖1，求證：AG＝k?BG．（2）如圖2，若k＝2，連接BF，求證：BF＝FC．（3）如圖3，在（2）的條件下，過點B作BH⊥BA，交CD的延長線于點H，將HB沿HG翻折并延長交AB于點I，若EF＝，求HI的長．19．（1）某學(xué)?！爸腔鄯綀@”數(shù)學(xué)社團遇到這樣一個題目：如圖1，在△ABC中，點O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的長．經(jīng)過社團成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題（如圖2）．請回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）請參考以上解決思路，解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的長．20．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知四邊形ABCD是正方形，點E為CD邊上一點（不與端點重合），連接BE，作點D關(guān)于BE的對稱點D'，DD'的延長線與BC的延長線交于點F，連接BD′，D'E．①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點E在CD上移動時，△BCE≌△DCF．并給出如下不完整的證明過程，請幫他補充完整．證明：延長BE交DF于點G．②進一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點D′與點F重合時，∠CDF＝°．（2）【類比遷移】如圖②，四邊形ABCD為矩形，點E為CD邊上一點，連接BE，作點D關(guān)于BE的對稱點D'，DD′的延長線與BC的延長線交于點F，連接BD'，CD'，D'E．當(dāng)CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3時，求CD'的長；（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，已知四邊形ABCD為菱形，AD＝，AC＝2，點F為線段BD上一動點，將線段AD繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點E落在菱形的邊上（頂點除外）時，如果DF＝EF，請直接寫出此時OF的長．參考答案1．（1）證明：∵BC＝12cm，OB＝8cm，AD＝18cm，OD＝6cm，∴OA＝AD﹣OD＝18﹣6＝12cm，OC＝BC﹣OB＝12﹣8＝4cm，∴＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴∠A＝∠D，∴AB∥CD；（2）解：∵AD⊥BC，∴∠AOB＝∠COD＝90°，在Rt△AOB中，AB＝＝＝4，在Rt△COD中，CD＝＝＝2，答：AB的長為4，CD的長為．2．解：∵∠1＝∠2，∠APD＝∠BPC，∴△DAP∽△CBP，∴＝，∴＝，∴AP＝6．3．解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DEC＝∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC＝4DE，∴，∵CE＝10，∴HC＝10﹣EH，∴，∴EH＝2，∵BC＝4DE，DE：AE＝2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE＝∠GBC，∠GEA＝∠GCB，∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE＝10，∴GC＝10+GE，∴，∴GE＝6．4．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面積＝DE?DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面積為9．5．解：（1）當(dāng)CE＝CF時，△CEF是等腰三角形，∴4t＝12﹣2t，∴t＝2．（2）①當(dāng)＝時，△ECF∽△ADC，∴＝，∴t＝3．②當(dāng)＝時，△FCE∽△ADC，∴＝，∴t＝，綜上所述，當(dāng)t＝s或3s時，以點E，C，F(xiàn)為頂點的三角形與△ACD相似．6．證明：（1）∵∠AEC＝∠ABC，∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△CDB，∴，又∵∠ADC＝∠EDB，∴△ACD∽△EBD；（2）∵△ADE∽△CDB，∴∠DCB＝∠EAB，∵△ACD∽△EBD，∴∠ACD＝∠EBD，∵∠ACB＝90°，∴∠EAB+∠EBD＝∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠AEB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠EBD＝∠EAB＝45°，∴EA＝EB，∴△EAB是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠ACE，∠AED＝∠CEA，∵△AED∽△CEA，∴＝，∴AE2＝ED?EC，∵AE2+EB2＝AB2，∴2AE2＝AB2，∴AE2＝AB2，∴AB2＝ED?EC，∴AB2＝2ED?EC．7．（1）證明：連接OA，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠CAN＝45°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AMC＝∠AOC+∠OAM＝2∠B+∠OAM，∵PA＝PM，∴∠PAM＝∠AMP，∴∠PAM＝2∠B+∠OAM，∴∠OAP＝∠OAM+∠PAM＝∠OAM+2∠B+∠OAM＝2∠B+2∠OAM＝2（∠B+∠OAM）＝2（∠BAO+∠OAM）＝2∠BAN＝2×45°＝90°，∵OA是⊙O的半徑，∴PA是⊙O的切線；（2）連接BN，∵BC＝6，CM＝2，∴BM＝BC﹣CM＝6﹣2＝4，∵∠CBN＝∠CAN，∠AMC＝∠BMN，∴△AMC∽△BMN，∴＝，∴＝，∴AM＝，∴AM的長為．8．解：（1）把點A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中可得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)x＝0時，y＝3，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+m，把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+m中可得：，解得：，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，設(shè)P點坐標為（x，﹣x2+2x+3），則Q點坐標為（x，﹣x+3），∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∴PQ的最大值是；（3）∵S△COF：S△CDF＝3：2，∴OF：DF＝3：2，過點D作DG∥y軸交BC于點G，∴∠OCF＝∠CGD，∠COF＝∠ODG，∴△COF∽△GDF，∴＝，∵OC＝3，∴DG＝2，設(shè)點D坐標為（m，﹣m2+2m+3），則點G坐標為（m，﹣m+3），∴DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝2，解得：m1＝1，m2＝2，∴點D的坐標為（1，4）或（2，3）．9．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，∴△DMN∽△BCN；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，OB＝ODBD，∵△DMN∽△BCN，∴＝，∵M為AD中點，∴AD＝2DM，∴BC＝2DM，∴BN＝2DN，設(shè)OB＝OD＝x，∴BD＝2x，∴BN＝OB+ON＝x+1，DN＝OD﹣ON＝x﹣1，∴x+1＝2（x﹣1），解得：x＝3，∴BD＝2x＝6，∴BD的長為6；（3）解：∵△MND∽△CNB，∴DM：BC＝MN：CN＝DN：BN＝1：2，∵△DCN的面積為2，∴S△MND＝S△CND＝1，S△BNC＝2S△CND＝4，∴S△ABD＝S△BCD＝S△BCN+S△CND＝4+2＝6，∴S四邊形ABNM＝S△ABD﹣S△MND＝6﹣1＝5，∴四邊形ABNM的面積為5．10．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴O是AC中點，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中點，∴OE＝；（2）證明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于點F，連接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．11．解：（1）∵OD⊥AC，∴∠ODC＝90°，在Rt△ODC中，OD＝7，DC＝24，∴OC＝＝＝25（mm），∴OC的長度為25mm；（2）過點B作BF∥CD交CE的延長線于點F，∴∠F＝∠ACF，∵CO平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠F＝∠BCF，∴BF＝BC，∵AD＝26mm，DC＝24mm，∴AC＝AD+CD＝50mm，∵BC＝AC，∴BF＝AC＝50mm，∵∠BEF＝∠CED，∴△BEF∽△DEC，∴＝＝＝，∴的值為．12．（1）證明：∵BD是⊙O的直徑，∴∠DCB＝∠DEB＝90°，∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴∠ECB＝∠EDB＝45°，∵∠A＝45°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝45°，∴∠CBA＝∠EBD，∴∠CBA﹣∠CBD＝∠EBD﹣∠CBD，∴∠DBA＝∠EBC，∵∠A＝∠ECB，∴△ABD∽△CBE；（2）解：∵∠DCB＝90°，DC＝6，DB＝10，∴BC＝＝＝8，∵∠CBA＝∠A＝45°，∴CA＝CB＝8，∴AD＝CA﹣CD＝8﹣6＝2，在Rt△DEB中，BE＝BDsin45°＝10×＝5，∵△ABD∽△CBE，∴＝，∴＝，∴CE＝；（3）∵，∴設(shè)DC＝a，CB＝3a，∴BD＝＝a，在Rt△DEB中，BE＝BDsin45°＝a?＝a，∵∠DCB＝∠DEB，∠∠FD＝∠EFB，∴△CDF∽△EBF，∴＝＝＝．13．解：（1）∵l1∥l2，∴＝，故答案為：；（2）如圖2，過點A作BC的平行線交CD的延長線于點E，作CH⊥AE，垂足為H，交AB于點F，∵BC∥AE，∴＝＝，∵＝，∴AC＝CE，∵＝，∴＝，∵BC∥AE，∴△CDB∽△EDA，∴＝＝，即＝，解得：AE＝8，∵AC＝CE，CH⊥AE，∴AH＝HE＝4，∴AH＝CB，∵AH∥BC，∴AF＝BF＝AB＝5，F(xiàn)H＝FC，在Rt△AHF中，HF＝＝＝3，∴HC＝6，在Rt△ACH中，AC＝＝＝2．14．解：（1）過點D作DF⊥x軸，垂足為F，∵平行四邊形ABCD的邊AB在x軸上，點C的坐標為（12、8），∴DF＝8，∵平行四邊形ACBD的面積為64，∴DF?DC＝64，∴DC＝8，∴OF＝4，∴D（4，8），把D（4，8）代入y＝中可得：8＝，∴k＝32，∴反比例函數(shù)的解析式為：；（2）過點E作NM∥DF，分別交DC、AB于N、M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴MN＝DF＝8，∵AB∕∕CD，∴∠C＝∠EBM，∵∠NEC＝∠MEB，∴△NEC∽△MEB，∴＝，∴ME＝3x，NE＝5x，∴ME+NE＝3x+5x＝8，∴x＝1，∴ME＝3，把y＝3代入中得：3＝，∴，∴E（，3）．15．解：過點D作DM⊥AB于M，交EH于點N，∵AE∥BG，AB⊥BG，∴AE⊥AB，∵DM⊥AB，∴AE∥MD∥BG，∴AM等于△ADE的邊AE上的高，∵AB⊥BG，EH⊥BG，CD⊥BG，∴AB∥EH∥CD，∴AE＝BH＝3米．BM＝CD＝1.8米，∵AE∥BG，∴△ADE∽△GDF，∴，即，∴AM＝3.6（米），∴AB＝AM+BM＝5.4（米），答：路燈主桿AB的高度為5.4米．16．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，在△EAF和△DAB中，，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠EGB＝90°，∴BD⊥EC；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴＝，即AE?DF＝AF?DC，設(shè)AE＝AD＝a（a＞0），則有a?（a﹣1）＝1，化簡得a2﹣a﹣1＝0，解得a＝或（舍去），∴AE＝．17．解：（1）①證明：如圖1，連接CE，∵點B關(guān)于直線CD的對稱點為點E，∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，設(shè)∠ECF＝∠BCF＝α，則∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°；②如圖2，連接BE，CE，∵B、E關(guān)于直線CF對稱，∴CF垂直平分BE，由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°，∵△EBG與△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，∵∠EBG與∠BDC均為鈍角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°，過點D作DH⊥AB交BC于點H，則△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD，∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5，∴線段BD的長為5﹣5；（2）Ⅰ．當(dāng)點D在AB上時，如圖3，過點C作CM⊥AE于點M，連接BF，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，∴①AM2+CM2＝AC2＝25，∵S△ACE＝AE?CM＝12，∴②AM?CM＝12，①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，∵CM＞AM＞0，∴AM＝3，CM＝4，∴AE＝6，由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四點共圓，∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，設(shè)EF＝BF＝x，則AE＝x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+6）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE?BF＝×6×1＝3；Ⅱ．當(dāng)點D在AB的延長線上時，如圖4，過點C作CM⊥AE于點M，連接BF，由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF＝45°，BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，與Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，設(shè)BF＝EF＝y(tǒng)，則AF＝8﹣y，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（8﹣x）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE?BF＝×8×1＝4；綜上，S△ABE的值為3或4．18．（1）證明：如圖1中，∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∠BCD+∠ACF＝90°，∴∠CAE＝∠BCD，∵BD∥AC，∴∠DBC+∠ACB＝180°，∴∠CBD＝∠ACE＝90°，∵AC＝CB，∴△ACE≌△CBD（ASA），∴EC＝BD，∵DB∥AC，∴＝＝＝k，∴AG＝kBG．（2）證明：如圖2中，連接DE交AB于O，連接OF，作BM⊥AE交AE的延長線于M．∵k＝2，∴AC＝2EC，∵AC＝BC，∴BE＝EC＝BD，∴△BDE是等腰直角三角形，∵∠OBE＝∠OBD＝45°，∴OD＝OE，∴OB＝OD＝OE＝OF，∴B，D，F(xiàn)，E四點共圓，∴∠BFE＝∠BDE＝45°，∵BM⊥FM，∴∠M＝90°，∴∠MBF＝∠BFM＝45°，∴BF＝BM，∵∠CFE＝∠M＝90°，∠CEF＝∠BEM，CE＝BE，∴△CFE≌△BME（AAS），∴CF＝BM，∴BF＝CF．（3）解：如圖3中，作GN⊥HI于N，作BM⊥AE交AE的延長線于M，連接DE交AB于O．∵△CFE≌△BME，∴EF＝EM＝，∴FM＝BM＝CF＝3，∴EC＝BE＝BD＝，∴AC＝BC＝3，DE＝BE＝∵AB⊥BH，DE⊥AB，∴DE∥BH，∵BE＝CE，∴DH＝DC，∴BH＝2DE＝3，∵AB＝AC＝3，∴BG＝AB＝，∵∠GHN＝∠GHB，HG＝HG，∠HBG＝∠HNG＝90°，∴△HGB≌△HGN（AAS），∴HN＝HB＝3，GN＝GB＝，設(shè)IN＝x，IG＝y(tǒng)，則有，解得x＝，∴HI＝HN+NI＝3+＝．19．解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝．又∵AO＝，∴OD＝AO＝，∴AD＝AO+OD＝4．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝4．故答案為：75；4．（2）過點B作BE∥AD交AC于點E，如圖所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝．∵BO：OD＝1：3，∴＝＝．∵AO＝3，∴EO＝，∴AE＝4．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠B