2020年中考數(shù)學(xué)必考34個(gè)考點(diǎn)專題17：等腰、等邊三角形問題

第第頁共19頁VZBAQ+ZBQA+ZB=180°,???5ZB=180°,???ZB=36°.(2019?重慶)如圖，在△ABC中，AB=AC,AD丄BC于點(diǎn)D.若ZC=42°，求ZBAD的度數(shù)；若點(diǎn)E在邊AB上,EF〃AC交AD的延長線于點(diǎn)F.求證：AE=FE.【答案】見解析?！窘馕觥?1)VAB=AC,AD丄BC于點(diǎn)D,?.ZBAD=ZCAD,ZADC=90°,又ZC=42°,.\ZBAD=ZCAD=90°-42°=48°；(2)VAB=AC,AD丄BC于點(diǎn)D,.°.ZBAD=ZCAD,???EF〃AC,.*.ZF=ZCAD,.°.ZBAD=ZF,?AE=FE.(2019?南岸區(qū))如圖，直線AB〃CD,ZACD的平分線CE交AB于點(diǎn)F,ZAFE的平分線交CA延長線于點(diǎn)G.證明：AC=AF；若ZFCD=30°，求ZG的大小.答案】見解析?！窘馕觥?1)證明：TZACD的平分線CE交AB于點(diǎn)F,.??ZACF=ZDCF,?.?AB〃CD,.\ZAFC=ZDCF,.\ZACF=ZAFC,.??AC=AF；(2)解：???ZFCD=30°,AB〃CD,.\ZACD=ZGAF=60°,ZAFC=30°,VZAFE的平分線交CA延長線于點(diǎn)G.???仙G』GFE#/AFE#X150°=75°,???ZG=180°-ZGAF-ZAFG=180°-60°-75°=45°.(2019?攀枝花)如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，且BD=CE.求證:點(diǎn)D在BE的垂直平分線上；ZBEC=3ZABE.【答案】見解析。【解析】(1)連接DE,CD是AB邊上的高，?ZADC=ZBDC=90°,BE是AC邊上的中線，???AE=CE,.?.DE=CE,?BD=CE，.BD=DE，.點(diǎn)D在BE的垂直平分線上；°.°DE=AE,.°.ZA=ZADE,VZADE=ZDBE+ZDEB,BD=DE,.°.ZDBE=ZDEB,.°.ZA=ZADE=2ZABE,VZBEC=ZA+ZABE,.ZBEC=3ZABE.(2019?湖北十堰)如圖，△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的OO交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為C延長線上1r1一點(diǎn)，且/CDE電ZBAC.(1)求證：DE是OO的切線；ACDE(2ACDE(2)若AB=3BD，CE=2,求OO的半徑.【答案】見解析。【解析】本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形或等腰三角形.(1)如圖，連接OD，AD，VAC是直徑，.??ZADC=90°,:.AD丄BC,VAB=AC，.??ZCAD=ZBAD氣ZBAC,VZCDE^-ZBAC.AZCDE=ZCAD,VOA=OD,AZCAD=ZADO,VZADO+ZODC=90°,：?/ODC+/CDE=90°:.ZODE=90°又TOD是OO的半徑:?DE是OO的切線；(2)解:?:AB=AC,AD丄BC,:.BD=CD,?:AB=3BD,:.AC=3DC,設(shè)DC=x,則AC=3x,???AD=［扎~2x,?:ZCDE=ZCAD,ZDEC=ZAED,：?△CDEs^dae,CE_DCDE即2__x_DE…麗頁=麗丘=「=s7kzDE=4一：2,x=^"?AC=3x=14,OCDE?OCDE?OO的半徑為7.(2019甘肅武威)如圖，在△ABC中，AB=AC，ZBAC=120°，點(diǎn)D在BC邊上,OD經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B且與BC邊相交于點(diǎn)E.求證：AC是OD的切線；若CE=2；3,求OD的半徑.【答案】見解析?！窘馕觥窟B接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZB=ZC=30°,ZBAD=ZB=30°，求得ZADC=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到ZDAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC是OD的切線；連接AE,推出△ADE是等邊三角形，得到AE=DE,ZAED=60。，求得ZEAC=ZAED-ZC=30。，得到AE=CE=2】乜，于是得到結(jié)論.(1)證明：連接AD，VAB=AC，ZBAC=120°，AZB=ZC=30°，VAD=BD，AZBAD=ZB=30°，AZADC=60°，.\ZDAC=180°-60°-30°=90°，AAC是OD的切線；(2)解：連接AE，VAD=DE，ZADE=60°，A^ADE是等邊三角形，AAE=DE，ZAED=60°，AZEAC=ZAED-ZC=30°，.??ZEAC=ZC,???AE=CE=2l'3，AQD的半徑AD=2;319?(2019?湖南衡陽)如圖，在等邊△ABC中,AB=6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以lcm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng).動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為以t(s).過點(diǎn)P作PE丄AC于E,連接PQ交AC邊于D.以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．當(dāng)t為何值時(shí)，ABP。為直角三角形；是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)F在ZABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；求DE的長；取線段BC的中點(diǎn)M,連接PM,將ABPM沿直線PM翻折，得MPM,連接AB',當(dāng)t為何值時(shí),AB，的值最小？并求出最小值.【答案】見解析。【解析】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．("?「△ABC是等邊三角形，AZB=60°,???當(dāng)BQ=2BP時(shí)，ZBPQ=90°,.°.6+t=2(6-t),?.t=3,:?t=3時(shí)，ABP。是直角三角形.(2)存在．理由：如圖1中，連接BF交AC于M.?:BF平分ZABC,BA=BC,；.BF丄AC,AM=CM=3cm,?:EF//BQ,.??ZEFM=ZFBC=*ZABC=30°,:.EF=2EM,.：t=2?(3-寺t),解得t=3.(3)如圖2中，作PKHBC交AC于K.?.?△ABC是等邊三角形，?：ZB=ZA=60°,?:PK//BC,AZAPK=ZB=60°,AZA=ZAPK=ZAKP=60°,:.△APK是等邊三角形，:.PA=PK,:PE丄AK,：?AE=EK,:AP=CQ=PK,ZPKD=ZDCQ,ZPDK=ZQDC,:、△PK