立體幾何綜合練習(xí)教師

1.如圖，四棱錐 P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn).1）求證：BM∥平面PAD；2）平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置，若不存在，說明理由；3）求直線PC與平面PBD所成的角的正弦值.解：（1）取PD的中點(diǎn)E，連EM、AM，∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴EM1CD又AB2

1∴ABME是平CD∴ABEM，2行四邊形，∴BM∥AE，∴BM∥平面PAD.2）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，∴M（1，1，1），BD(1,2,0),PB(1,0,2)設(shè)N(0,y,z)則MN(1,y1,z1)，若MN⊥平面PBD則MN⊥BD，MN⊥PB.MNBD012(y1)0y11，11).,zN(0,,MNPB012(z1)02222∴在平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N(0,1,1)、使MN⊥面PBD22（3）設(shè)平面PBD的法向量為n，令nMN(1,11(2,2,2),,),PC22cosPC,n21122，∴直線PC與面PBD所成角正弦值為6233322.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，ABC90，D為棱BB1上一點(diǎn)，且平面DA1C⊥平面AA1C1C.(Ⅰ)求證：D為棱BB1的中點(diǎn)；（Ⅱ）AA1為何值時(shí)，二面角AA1DC的平面角為AB60 .3．如圖

,AB是圓的直徑

,PA

垂直圓所在的平面

,C

是圓上的點(diǎn)

.(I)求證:

平面

PAC

平面

PBC；(II)

若

AB

2，

AC

1，

PA

1，求證：二面角

C

PB

A的余弦值.【答案】4.如圖,四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,BCCD2,AC4,ACBACD,F為PC的中點(diǎn),AFPB.3(1)求PA的長; (2) 求二面角 B AF D 的正弦值.【答案】5.如圖 1,在等腰直角三角形 ABC中, A 90 ,BC 6,D,E分別是 AC,AB上的點(diǎn),CDBE2,O為BC的中點(diǎn).將ADE沿DE折起,得到如圖2所示的四棱錐ABCDE,其中AO3.(Ⅰ)證明:AO平面BCDE;(Ⅱ)求二面角ACDB的平面角的余弦值.CO.BADECOBADE圖1圖2【答案】(Ⅰ)在圖1中,易得OC 3,AC 3 2,AD 2 2ACO BD EH連結(jié)OD,OE,在 OCD中,由余弦定理可得OD225OCCD2OCCDcos45由翻折不變性可知AD22,所以AO2OD2AD2,所以AOOD,理可證AOOE,又ODOEO,所以AO平面BCDE.(Ⅱ)傳統(tǒng)法:過O作OHCD交CD的延長線于H,連結(jié)AH,因?yàn)锳O平面BCDE,所以AHCD,所以AHO為二面角ACDB的平面角.結(jié)合圖1可知,H322OA230為AC中點(diǎn),故OH,從而AHOH22所以cosAHOOH15所以二面角ACDB的平面角的余弦值為15,.AH5z5A向量法:以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz如圖所示,則A0,0,3,C0,3,0,D1,2,0COD所以CA0,3,3,DA1,2,3Ex向量法圖設(shè)nx,y,z為平面ACD的法向量,則nCA03y3z0yx,令x1,得n1,1,3,即,解得nDA0x2y3z0z3x由(Ⅰ)知,OA0,0,3為平面CDB的一個(gè)法向量,所以cosn,OAnOA315,即二面角ACDB的平面角的余弦nOA35515值為.5

By6.如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).(Ⅰ)證明B1C1⊥CE;(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為2求線段AM,6的長.【答案】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)證明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面 ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值 .【答案】(Ⅰ)取AB中點(diǎn)E,連結(jié)CE, , ,∵AB= , = ,∴ 是正三角形,∴ ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ =E,∴AB⊥面 ,∴AB⊥ ;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB, ⊥AB,又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,∴EA,EC,兩兩相互垂直,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,||為單位長度,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,有題設(shè)知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),則=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,),設(shè)=是平面的法向量,則,即,可取=(,1,-1),∴ = ,∴直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為8．（2013年高考陜西卷（理））如圖,四棱柱-1111的底面是正方形,為底面ABCDABCDABCDO中心,⊥平面,ABAA2.1(Ⅰ)證明:A1C⊥平面BB1D1D;(Ⅱ)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小.D1C1A1B1DCOAB【答案】解:(Ⅰ)A1O面ABCD,且BD面ABCD,A1OBD;又因?yàn)?在正方形ABCD中,ACBD；且A1OACA,所以BD面A1AC且A1C面A1AC，故A1CBD.在正方形ABCD中,AO=1.在RTA1OA中，A1O1.設(shè)B1D1的中點(diǎn)為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，所以A1CE1O.[來源:高[考∴試﹤題∴庫]又BD面BBDD,EO面BBDD，且BDOO，所以由以上三點(diǎn)得11111.E1A1C面BB1D1D.(證畢)(Ⅱ)建立直角坐標(biāo)系統(tǒng),使用向量解題.以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)C為X軸正方向,以O(shè)B為Y軸正方向.則B（0,1,0）,C(1，0，0),A1(0，0，1),B1(1,1,1)A1C(1,0,1).由(Ⅰ)知,11n1AC(1,0,1),OB(1,1,1),OC（1,0,0）.平面BBDD的一個(gè)法向量11設(shè)平面1的法向量為OCBD1C1n2,則n2OB10,n2OC0，A1B1解得其中一個(gè)法向量為n2(0,1,-1).DCOABcos|cos|n1n2|11n1,n1|.|n1||n2|222所以,平面OCB1與平面BB1D1D的夾角 為39.如圖,在直三棱柱 A1B1C1 ABC中,AB AC ,AB AC 2,AA1 4,點(diǎn)D是BC 的中點(diǎn)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值(2)求平面ADC 1與ABA1所成二面角的正弦值 .【答案】本題主要考察異面直線 .二面角.空間向量等基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算 ,考察運(yùn)用空間向量解決問題的能力 .解:(1)以AB,AC,AA1 為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz,則A(0,0,0)B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4)∴A1B(2,0,4),A1B(1,1,4)[來源:學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)GkStK]∴cosA1BC1D18310A1B,C1D201810A1BC1D310∴異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為10(2)AC(0,2,0)是平面ABA1的的一個(gè)法向量設(shè)平面ADC1的法向量為m(x,y,z),∵AD(1,1,0),AC1(0,2,4)由mAD,mAC1xy0取z1,得y2,∴平面ADC1的法向量為m(2,2,1)∴4z02,x2y設(shè)平面ADC1與ABA1所成二面角為∴coscosACm425AC,m,得sin3ACm2