第3章恒定電流的場

第3章恒定電流的場黃丘林電子工程學(xué)院西安電子科技大學(xué)1本章提綱1恒定電流的電場2磁場與磁感應(yīng)強度3磁通連續(xù)性原理4真空中的安培環(huán)路定律5磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式6恒定磁場的基本方程和邊界條件7磁標(biāo)位8電感9磁場能量2電流就是電荷運動形成的電荷流，不隨時間變化的電流稱為恒定電流。要在導(dǎo)體中維持恒定電流，其內(nèi)部必須有恒定的電場，同時恒定電流又要在其周圍空間激發(fā)磁場。恒定電流的電場和磁場都不隨時間變化，它們彼此獨立，互不影響。31恒定電流的電場電流密度在導(dǎo)體中取一截面S，若在時間

內(nèi)流過該截面的總電荷為

，則通過該截面的電流強度定義為：在電路分析中總認(rèn)為電流沿著一根橫向尺寸可忽略的導(dǎo)線流動，這種電流稱為線電流。但當(dāng)導(dǎo)體的橫向尺寸不能忽略時，應(yīng)該認(rèn)為電流分布在整個導(dǎo)體的截面上，這種電流稱為體電流。如果電流在一個厚度可忽略的導(dǎo)體曲面上流動，則稱之為面電流。（安培）（A）41恒定電流的電場對于體電流和面電流，電流強度不能確切地描述電流在導(dǎo)體中的分布情況，故引入電流密度。設(shè)

表示導(dǎo)體中

處正電荷運動的方向，取垂直于

的小面積元，通過

的電流為

，則定義處的體電流密度：流過截面S的電流就是

對S的通量，即：（A/m2）51恒定電流的電場對于面電流，以

表示曲面上

處正電荷的運動方向，取一與

垂直的線元，通過的電流為

，則定義處的面電流密度：（A/m）61恒定電流的電場歐姆定律與焦耳定律的微分形式歐姆定律的微分形式

其中

稱為導(dǎo)體的電導(dǎo)率，是與導(dǎo)體材料有關(guān)的常數(shù)，其單位是西門子/米（S/m）。歐姆定律的微分形式與歐姆定律是等價的，而且它描述逐點處的規(guī)律，而不是整體規(guī)律。71恒定電流的電場對任意

成立，故81恒定電流的電場焦耳定律的微分形式焦耳定律描述導(dǎo)體的損耗功率與恒定電流及恒定電場的關(guān)系。如圖所示，沿

方向取圓柱形體積元，其兩端電壓為dU：而通過dS的電流為dI=JdS，則此體積元的損耗功率為：則單位體積內(nèi)的損耗功率為:∵（W/m3）∴91恒定電流的電場恒定電場的基本方程電流連續(xù)性方程即因積分對空間坐標(biāo)進(jìn)行，求導(dǎo)對時間進(jìn)行，可交換順序：由奧氏公式得：即——積分形式的電流連續(xù)性方程101恒定電流的電場因為V是任意的，所以：對于恒定電流，導(dǎo)體中任何地方均不能有隨時間變化的電荷分布，即故，電流連續(xù)性方程變?yōu)椋浩湮⒎中问綖椋阂陨瞎奖砻鳎愣娏鲌鍪菬o源場?！⒎中问降碾娏鬟B續(xù)性方程或111恒定電流的電場由于載有恒定電流的導(dǎo)體上電荷不隨時間變化，因而恒定電場必與靜電場具有相同的特性，是保守場，所以：綜合得到，恒定電場的基本方程：積分形式微分形式121恒定電流的電場電位滿足的方程在均勻各向同性媒質(zhì)中，由

可得電位

的方程為：131恒定電流的電場恒定電場的邊界條件用完全與靜電場邊界條件類似的方法，可得出恒定電場的邊界條件：而電位的邊界條件是：141恒定電流的電場分析一下交界面兩側(cè)電流的關(guān)系。得即由此可看出：1o若

，除

外，在其它情況下，均有

。2o若

（介質(zhì)），

（導(dǎo)體），則

，

。由于

，所以，在導(dǎo)體與介質(zhì)的分界面上，電場強度與導(dǎo)體表面不垂直。∴151恒定電流的電場例1

同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外半徑為b，填充非理想介質(zhì)，介電常數(shù)

，電導(dǎo)率

，求單位長漏電導(dǎo)。解：設(shè)單位長漏電流為I，則半徑為r的圓柱面上任一點處：則∴∴單位長漏電導(dǎo)為：161恒定電流的電場例2半球形接地器的接地電阻。解：為便于計算假設(shè)電流是均勻的，在大地中距球心r處的電流密度為：故則∴接地電阻：故a越大，接地效果越好。17Tobecontinued……作業(yè)：P99：3.3,3.6,3.7.182磁場與磁感應(yīng)強度恒定電流產(chǎn)生的磁場是不隨時間變化的磁場，稱恒定磁場。下面介紹恒定磁場的基本概念和基本定律。安培定律安培定律是描述真空中兩個截流細(xì)導(dǎo)線回路間相互作用力的實驗定律。設(shè)l、l′分別表示兩個閉合回路，其上電流分別為I、I′。則l中

電流I受到的l′中的電流I′的作

用力為：192磁場與磁感應(yīng)強度——真空的磁導(dǎo)率（H/m）。

R

——電流元

與

間的距離。

——由電流元

指向

的單位矢量。以上公式又可寫為：可以證明，兩回路的相互作用力大小相等、方向相反，即：如果有多個回路同時作用于l，則l所受的力等于各回路單獨作用時的力的矢量和。202磁場與磁感應(yīng)強度磁感應(yīng)強度從場的角度來講，

對

的作用力

應(yīng)理解為

中的電流

在空間產(chǎn)生的磁場對

的作用。把安培定律改寫為：積分號

內(nèi)可看作電流

受到的

的磁場的作用力。故：

——代表

磁場的一個物理量將其定義為

的磁場在

所在處的磁感應(yīng)強度。212磁場與磁感應(yīng)強度畢奧-沙伐定律表示閉合回路

上的電流

在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度，單位是特斯拉（T）或韋伯/米2（Wb/m2）。222磁場與磁感應(yīng)強度23

科學(xué)超人：尼古拉·特斯拉“只要我愿意，我可以把地球劈成兩半”2磁場與磁感應(yīng)強度l上的電流元受的力，可見和，且當(dāng)時，；當(dāng)時，最大。上式中的被積函數(shù)可看作

處電流元

在處產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強度，即：據(jù)此，可將畢奧-沙伐定律推廣到體電流和面電流。242磁場與磁感應(yīng)強度對體電流，在導(dǎo)體中處取長為

，截面為

的小柱體，則其中電流：等效電流元為：該電流元在

處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：則：252磁場與磁感應(yīng)強度類似地可得到面電流的磁感應(yīng)強度為：例3

一無限長直導(dǎo)線通過電流I，求空間任意一點的磁感應(yīng)強度

。解：如圖，導(dǎo)線沿z軸放置，則磁場與z無關(guān)，即任意點

處的磁場與

處相同。所以262磁場與磁感應(yīng)強度272磁場與磁感應(yīng)強度例4

一通過電流I的環(huán)，半徑為a，求其軸線上任意一點的磁感應(yīng)強度

。282磁場與磁感應(yīng)強度292磁場與磁感應(yīng)強度例5

寬度為2a的無限薄導(dǎo)體通過總電流I，電流在導(dǎo)體中沿縱向流動并在寬度方向均勻分布，求導(dǎo)體所在平面內(nèi)距其中線d(d>a)處的磁感應(yīng)強度。解：處寬為的無限長導(dǎo)體帶可看作無限長線電流，電流為由例3的結(jié)果，它在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為302磁場與磁感應(yīng)強度例6

一無限長螺線管半徑為a，每單位長度繞n匝線圈，導(dǎo)線中電流為I，求其軸線上任一點的磁感應(yīng)強度。解：根據(jù)例4的結(jié)果，在

處取長度為

的螺線管，它可看作半徑為a，總電流為

的圓環(huán)電流，它在z處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：312磁場與磁感應(yīng)強度323磁通連續(xù)性原理下面從磁感應(yīng)強度表達(dá)式出發(fā)討論它穿過任意封閉曲面的磁通量。以線電流的磁場為例，因為則由矢量恒等式則有333磁通連續(xù)性原理考慮到矢量恒等式所以類似地，面電流和體電流的磁感應(yīng)強度也滿足上式，這說明任意磁場的磁感應(yīng)強度穿過任意封閉曲面的磁通量恒等于0，這一性質(zhì)稱為磁通連續(xù)性原理。根據(jù)散度定理，有由于區(qū)域V是任意的，所以在空間任意點都有這是磁通連續(xù)性原理的微分形式。說明恒定磁場是無源場。344真空中的安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律磁力線必與電流相交鏈，無電流即無磁場。電流與磁場的關(guān)系究竟如何？這就是安培環(huán)路定律所要研究的內(nèi)容。安培環(huán)路定律的表達(dá)式如下：其中l(wèi)是任一閉合有向路徑，I是與路徑l相交鏈的總電流（穿過以l為邊界的任意曲面的電流）。當(dāng)I的方向與l的方向成右手螺旋關(guān)系時，I為正，反之為負(fù)。354真空中的安培環(huán)路定律可通過一簡單特例加以驗證：無限長線電流的磁場，取l為以電流線上一點為中心，在垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)作一圓周：由安培環(huán)路定律，對右圖情況，

應(yīng)有：364真空中的安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律的應(yīng)用與靜電場中的高斯定理類似，對于某些特殊分布的電流，可用安培環(huán)路定律求磁感應(yīng)強度。1o在閉合路徑l上

的數(shù)值處處相等，

的方向處處與

平行2o在l的一部分

上滿足1o，在另一部分

上處處與

垂直或

則：或37Tobecontinued……作業(yè)：P100:3.12,3.13,3.17.385磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式磁矢位由

可知，

是管形場，而根據(jù)管形場的充要條件，

必可表示為某矢量函數(shù)

的旋度，即：其中

稱為矢量磁位或簡稱磁矢位。從線電流、面電流以及體電流磁感應(yīng)強度

的表達(dá)式，可以推出，它們相應(yīng)的磁矢位表達(dá)式：395磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式因為

只與源點坐標(biāo)有關(guān)，上式第二項為0，故類似地，面電流和體電流的磁感應(yīng)強度可表示為405磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式相應(yīng)的磁矢位分別為：有時先根據(jù)電流分布計算出磁矢位

，再由

求

是方便的。線電流：面電流：體電流：415磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式磁偶極子尺寸很小的小電流環(huán)稱為磁偶極子。因小電流環(huán)在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的磁場酷似電偶極子在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的電場而得名。位于坐標(biāo)原點處的磁偶極子在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的磁場在磁矢位和磁感應(yīng)強度分別為：其中

稱為磁偶極子的磁矩。425磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式對比電偶極子當(dāng)磁偶極子放入外磁場中，要受到外磁場對它的作用：在均勻外磁場中，

。外磁場對它的力矩為：可見，外磁場的作用將使

最終沿

方向取向。435磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式磁介質(zhì)的磁化物質(zhì)分子內(nèi)部由于電子的自旋和軌道運動形成電流，這種電流稱為分子電流。由于不同物質(zhì)分子內(nèi)部電子的排列不同，有的物質(zhì)分子內(nèi)所有電子運動形式的電流不能相互抵消，每個分子都是一個小電流環(huán)，即磁偶極子，分子具有固有磁矩。在無外加磁場時，由于固有磁矩的任意排列，分子電流互相抵消，物質(zhì)對外不顯示磁性。在外磁場作用下，分子固有磁矩都順磁場方向排列，分子電流產(chǎn)生的磁場與外磁場相迭加，使物質(zhì)內(nèi)部的磁場加強，這種物質(zhì)稱順磁性物質(zhì)。445磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式另一種物質(zhì)分子內(nèi)各電子運動所形成的電流互相抵消，分子無固有磁矩，對外不顯磁性。在外磁場作用在，電子的運動狀態(tài)將發(fā)生變化，形成的電流不再相互抵消，形成分子電流，于是產(chǎn)生分子磁矩。這種分子磁矩與外磁場方向相反，產(chǎn)生的磁場與外磁場相互抵消，使物質(zhì)內(nèi)部磁場減弱，這種物質(zhì)稱反磁物質(zhì)（或抗磁性物質(zhì)）。物質(zhì)內(nèi)部分子在外磁場作用下形成按一定規(guī)律排列的等效磁偶極子，這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化。為描述物質(zhì)的磁化程度，引入磁化強度：455磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式在體積元

內(nèi)的等效磁矩

產(chǎn)生的磁矢位為：其中

表示對帶“′”的坐標(biāo)的運算。總的磁矢位：465磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式利用：以及得：比較上式與體、面電流矢位公式，上式等效于一個體電流：和一個面電流：475磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式可見，物質(zhì)磁化的效果可以用介質(zhì)內(nèi)的束縛體電流和介質(zhì)表面的束縛面電流來等效。若材料和外磁場是均勻的，則物質(zhì)內(nèi)部分子電流處處相互抵消，不存在

，只在表面上有

，否則，其內(nèi)部也有體電流

。485磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式安培環(huán)路定律的一般形式物質(zhì)的磁化效應(yīng)用束縛電流等效代替之后，應(yīng)用真空中的安培環(huán)路定律，應(yīng)有：即：令：——磁場強度則：——介質(zhì)中的安培環(huán)路定律（微分形式）495磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式相應(yīng)的積分形式：即：——積分形式對各向同性磁介質(zhì)：——磁化率則：——物質(zhì)的磁導(dǎo)率——相對磁導(dǎo)率對于大多數(shù)的非鐵磁性物質(zhì)，都有

。對于真空

，

，則上述安培環(huán)路定律即變?yōu)檎婵罩械陌才喹h(huán)路定律。505磁介質(zhì)的磁化與安培環(huán)路定律的一般形式例

一導(dǎo)體圓柱半徑為a，均勻分布電流I，柱外填充均勻磁介質(zhì)，磁導(dǎo)率為

，求柱外的

。解：無磁介質(zhì)時磁場為柱對稱，放入均勻磁介質(zhì)，其磁化情況也必為柱對稱，所以總磁場仍為柱對稱。且磁場與z無關(guān)。做如圖所示閉合路徑l，則：516恒定磁場的基本方程和邊界條件基本方程描述恒定磁場通量特性和環(huán)量特性基本性質(zhì)的方程即為磁通連續(xù)性原理和安培環(huán)路定律。它們就是表達(dá)恒定磁場的基本方程。另外，基本方程通常還包含描述物質(zhì)特性的結(jié)構(gòu)方程：或或526恒定磁場的基本方程和邊界條件邊界條件由于在不同磁介質(zhì)的交界面上，磁化后出現(xiàn)束縛面電流，因此在界面兩側(cè)

和

都將發(fā)生突變。的邊界條件在邊界上取一小圓柱，底面積

，高度

。∵∴∵很小，上、下底面上

、

均可認(rèn)為在

上為常矢，則：536恒定磁場的基本方程和邊界條件∴或即：

的法向分量連續(xù)。的邊界條件在邊界上緊貼邊界取矩形回路，長邊為

，短邊

，由安培環(huán)路定律：很小，可認(rèn)為、在近似為常矢，則：546恒定磁場的基本方程和邊界條件∴或由矢量公式寫成矢量形式：∴∴∴在無自由面電流的分界面上：或557磁標(biāo)位因為

，故在沒有電流的區(qū)域（）：即在無電流區(qū)域內(nèi)，

可表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度：∵即∴與靜電場中電位的討論類似，磁標(biāo)位所滿足的邊界條件如下：——標(biāo)量磁位或簡稱磁標(biāo)位——磁標(biāo)位滿足的微分方程56基本方程和邊界條件比較基本方程比較靜電場恒定電流場恒定磁場57基本方程和邊界條件比較邊界條件比較靜電場恒定電流場恒定磁場588電感設(shè)均勻各向同性的線性媒質(zhì)中有兩個鄰近的閉合回路

、

，它們所圍面積分別為

和

。若回路

中通過電流

，則它在空間任一點的磁感應(yīng)強度

與

成正比，故穿過

和

的磁通量也與

成正比，即：如果回路由N匝導(dǎo)線繞成，且忽

略每匝之間的漏磁通，則穿過回

路C1的總磁通（或磁鏈）為：顯然：598電感可表示為：其中

是與電流無關(guān)的，而與線圈的尺寸、形狀、媒質(zhì)以及線圈匝數(shù)的函數(shù)。稱為線圈的電感。同時，

的磁場穿過

的磁鏈也與

成正比：是兩線圈尺寸、形狀、媒質(zhì)、匝數(shù)以及兩線圈距離的函數(shù)，稱為兩線圈的互感。（亨利）（亨利）608電感若回路

中也同時通有電流

，同樣有