一元線性回歸模型及其應(yīng)用【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性練習(xí)

一元線性回歸模型及其應(yīng)用練習(xí)一、單選題下列關(guān)于回歸分析的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(????)A.回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)(x,y)

B.殘差圖中殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適

C.若甲、乙兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)R2分別約為0.98和對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：(x1,y1)，(x2A.由樣本數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程y=bx+a必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x,y)

B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

C.用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸效果，R2的值越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好

D.若變量根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y2)，?，(A.54.55 B.2.45 C.3.45 D.111.55經(jīng)計(jì)算得到高中女學(xué)生的體重y(單位：kg)關(guān)于身高x(單位：cm)的回歸直線方程為y=0.75x?69.72，對(duì)于身高為162cm的高中女學(xué)生，則(????)A.可以預(yù)測(cè)其體重大約為51.78kg

B.其體重準(zhǔn)確值為51.78kg

C.其體重大于51.78kg

D.由于存在隨機(jī)誤差，其體重?zé)o法預(yù)測(cè)隨機(jī)選取5名高二男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：

身高x(cm)160165170175180體重y(kg)5661656974由上表可得回歸直線方程y=0.9x+a，據(jù)此模型預(yù)報(bào)身高為172cm的男生的體重大約為(A.65.8kg B.66.3kg C.66.8kg D.67.3?kg在一次試驗(yàn)中，測(cè)得(x,y)的四組值分別是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，則y與x間的回歸方程為(????)A.y=x+1 B.y=x+2 C.y=2x+1根據(jù)下表樣本數(shù)據(jù)x6891012y65432

用最小二乘法求得線性回歸方程為y=bx+10.3，則當(dāng)x=4時(shí)，y的估計(jì)值為A.6.5 B.7 C.7.5 D.8研究變量x，y得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，有以下結(jié)論①殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；②用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸效果，R③線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線y=④若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=?0.9462，則變量y和x之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng)．以上正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是(????)A.1 B.2 C.3 D.4根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y2)，?，A.54.55 B.2.45 C.已知變量x和y滿足相關(guān)關(guān)系y=?0.1x+1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(

)A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)

C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)在線性回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2依次為0.36、0.95、0.74、0.81，其中回歸效果最好的模型的相關(guān)指數(shù)R2為(????)A.0.95 B.0.81 C.0.74 D.0.36已知變量x,y之間的線性回歸方程為y=?0.7x+10.3，且變量x,y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

x681012y6a32A.變量x,y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系

B.a=4

C.可以預(yù)測(cè)，當(dāng)x=20時(shí)，y=?3.7

D.該回歸直線必過(guò)點(diǎn)(9,4)二、多空題某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元)與銷售額y(萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元)4235銷售額y(萬(wàn)元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+①回歸方程y=bx+②據(jù)此模型預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為

萬(wàn)元．如圖所示是一組數(shù)據(jù)(x,y)的散點(diǎn)圖，經(jīng)最小二乘估計(jì)公式計(jì)算，y與x之間的線性回歸方程為y=bx+1，則b=

，點(diǎn)若身高x(單位：m)與體重y(單位：kg)之間的回歸直線方程為y=85x?a(a∈R)，樣本點(diǎn)的中心為1.2,30，則a=

(1)

；據(jù)此模型當(dāng)身高為1.7m時(shí)，預(yù)計(jì)體重為

(2)

kg已知樣本容量為11，計(jì)算得i=1nxi=510，i=1nyi=214三、解答題PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物(也稱可入肺顆粒物).為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時(shí)間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間周一周二周三周四周五車流量x/萬(wàn)輛5051545758PM2.5的濃度y/微克/立方米6970747879(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，請(qǐng)?jiān)谙铝凶鴺?biāo)系中畫出散點(diǎn)圖;

b∧(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y(3)若周六同一時(shí)間段的車流量是25萬(wàn)輛，試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程預(yù)測(cè)，此時(shí)PM2.5的濃度為多少(保留整數(shù))?

新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)．根據(jù)普遍規(guī)律．志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體，人體中檢測(cè)到抗體，說(shuō)明有抵御病毒的能力．通過(guò)檢測(cè)，用x表示注射疫苗后的天數(shù)．y表示人體中抗體含量水平(單位：miu/mL，即：百萬(wàn)國(guó)際單位/毫升)，現(xiàn)測(cè)得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：天數(shù)x123456抗體含量水平y(tǒng)510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=c·edx與y=a+bx(a,b，c，d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型？((2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的同歸方程，并預(yù)測(cè)該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；(3)從這位志愿者的前6天的檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，記其中的y值大于50的天數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：xyωi=1i=1i=1i=1e3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中ω=lny．參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(u1,v1)，(u2,v2)，答案和解析1.【答案】C【解答】解：對(duì)于A，回歸直線一定過(guò)樣本中心，故A正確；

對(duì)于B，可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高．故B正確；

對(duì)于C，R2取值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，又∵甲、乙兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)R2的值分別約為0.98和0.80，0.98>0.80，∴甲模型的擬合效果好，故C不正確；

對(duì)于D，可用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故D正確．

2.【答案】C

【解答】

解：對(duì)于A，樣本中心點(diǎn)在直線上，故A正確；

對(duì)于B，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故B正確；

對(duì)于C，R2越大擬合效果越好，故C不正確；

對(duì)于D，變量

y和

x之間的相關(guān)系數(shù)

r=?0.9362，表示兩個(gè)變量具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故D正確．

3.【答案】解：把x=165代入y=0.85x?85.7，得y=0.85×165?85.7=54.55，所以在樣本點(diǎn)(165,57)處的殘差e=y?y=57?54.55=2.45．

4.【答案】A

【解答】

解：由于線性回歸方程為y=0.75x?69.72，

當(dāng)x=162cm，y=0.75×162?69.72=51.78(kg)，

故選A．

5.【答案】C

【解答】

解：由表中數(shù)據(jù)可得x=160+165+170+175+1805=170，

y=56+61+65+69+745=65．

∵(x,y)一定在回歸直線方程y=0.9x+a上，

故65=0.9×170+a，

解得a=?88．

故y=0.9x?88．

當(dāng)x=172時(shí)，y=0.9×172?88=66.8．

故選C．

6.【答案】A

7.【答案】C

【解答】

解：由圖表可知x=6+8+9+10+125=9，y=6+5+4+3+25=4，

所以樣本中心點(diǎn)為(9,4)，

把樣本中心點(diǎn)代入y=bx+10.3，得4=9b+10.3,b=?0.7，

所以線性回歸方程為y=?0.7x+10.3，

則x=4時(shí)，y=?0.7×4+10.3=7.5，

故答案選C．

8.【答案】B

【解答】

解：用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸的效果時(shí)，R2取值越大，則殘差平方和越小，模型擬合的效果就越好；①正確，②錯(cuò)誤，

由線性回歸方程y=bx+a中，知一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，但不一定經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；

因?yàn)?0.9362<0，變量y和x負(fù)相關(guān)相關(guān)，故④正確．

故①④正確．

9.【答案】B

【解答】

解：把x=165代入y=0.85x?85.7，

得y=0.85×165?85.7=54.55，

所以在樣本點(diǎn)(165,57)處的殘差e=y?y=57?54.55=2.45．

10.【答案】C

【解答】

解：因?yàn)閥=?0.1x+1，x的系數(shù)為負(fù)，

故x與y負(fù)相關(guān);而y與z正相關(guān)，

故x與z負(fù)相關(guān)．

11.【答案】A

【解答】

解：兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)R2越接近于65.5

【解答】

解：∵x=4+2+3+54=3.5，

y=49+26+39+544=42，

∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，

回歸方程y=bx+a中的b為9.4，

∴42=9.4×3.5+a，

∴a=9.1，

∴

14.【答案】0.8(2,2.6)

【解答】

解：由題圖知x=y=將(2,2.6)代入y=bx+1

15.【答案】7272.5

【解答】

解：由y=85x?a，且樣本點(diǎn)的中心為(1.2,30)，

得30=85×1.2?a，則a=72．

∴回歸直線方程為y=85x?72，

取x=1.7，得y=85×1.7?72=72.5kg．

故答案為72；72.5．

5.55

【解答】解：由題意得x=111i=111xi=51011≈46.36，y=1

17.【答案】解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示，

(2)∵x=50+51+54+57+585i=15(xib=a=y?bx=74?1.28×54=4.88，

故y關(guān)于x的線性回歸方程是：ｙ=1.28x+4.88；

(3)當(dāng)x=25時(shí)，y=1.28×25+4.88=36.88≈3718.【答案】解：(1)根