工程力學(xué)及其實(shí)驗(yàn) 第八章 梁的平面彎曲

工程力學(xué)及其實(shí)驗(yàn)第八章梁的平面彎曲主要內(nèi)容：

彎曲和平面彎曲的概念與實(shí)例

梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖及分類

梁的內(nèi)力—剪力和彎矩

剪力圖和彎矩圖

彎曲時(shí)的正應(yīng)力

彎曲時(shí)的切應(yīng)力

梁的強(qiáng)度計(jì)算

提高梁承載能力的措施§8－1彎曲和平面彎曲的概念與實(shí)例PPPPPPP橫向力：作用于桿件上且都垂直于桿的軸線的外力。彎曲：在橫向力作用下，桿的軸線將彎曲成一條曲線的變形形式。

梁：凡是以彎曲變形為主的桿件。工程力學(xué)中的梁，包括結(jié)構(gòu)物中的各種梁，也包括機(jī)械中的轉(zhuǎn)軸和輪齒軸等?；靖拍钶S線是直線的稱為直梁，軸線是曲線的稱為曲梁。有對(duì)稱平面的梁稱為對(duì)稱梁，沒(méi)有對(duì)稱平面的梁稱為非對(duì)稱梁。平面彎曲（對(duì)稱彎曲）：若梁上所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁變形后軸線形成的曲線也在該平面內(nèi)的彎曲。

非對(duì)稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面上但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。§8－2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖及分類

靜定梁的基本形式

簡(jiǎn)支梁梁的一端為固定鉸支座，另一端為活動(dòng)鉸支座。

外伸梁梁有一個(gè)固定鉸支座和一個(gè)活動(dòng)鉸支座，而梁的一端或兩端伸出支座之外。

懸臂梁梁的一端固定，另一端自由。

簡(jiǎn)支梁或外伸梁的兩個(gè)鉸支座之間的距離稱為跨度

懸臂梁的跨度是固定端到自由端的距離§8－3梁的內(nèi)力—剪力和彎矩截面法過(guò)程：切取、替代、平衡剪力彎矩剪力的符號(hào)：若被保留的梁段的截面上的剪力對(duì)該截面作“順時(shí)針轉(zhuǎn)”的為正，反之為負(fù)。彎矩的符號(hào)規(guī)定：在圖示的變形情況下，即在橫截面

m-m處彎曲變形凸向下時(shí)，這一橫截面上的彎矩規(guī)定為正，反之為負(fù)。剪力符號(hào)規(guī)定彎矩符號(hào)規(guī)定例8-1求圖示簡(jiǎn)支梁截面1-1及2-2剪力和彎矩。

解：1）計(jì)算梁的支座反力2）求截面1-1的剪力及彎矩，如圖3）求截面2-2的剪力及彎矩，如圖求解FＱ和M值的一般步驟如下:

(1)用假想截面從被指定的截面處將梁截為兩部分；

(2)以其中任意部分為研究對(duì)象，在截開的截面上按FＱ和M的正方向畫出未知的FＱ和M；

(3)應(yīng)用平衡方程∑Fy==0和∑mo=0,計(jì)算FＱ和M的值，其中O點(diǎn)一般取截面的形心；

(4)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，結(jié)合題意判斷FＱ和M的方向。§8－4剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖繪制的基本方法

梁的剪力和彎矩方程x表示橫截面在梁軸線上的位置

剪力和彎矩圖：根據(jù)剪力方程和彎矩方程用圖線把剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況表示出來(lái)的圖線。作圖時(shí)，要選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)谋壤撸詸M截面位置x為橫坐標(biāo)，剪力和彎矩M值為縱坐標(biāo)，并將正剪力和正彎矩畫在x軸的上邊，負(fù)的畫在下面。例8-3如圖所示的懸臂梁上作用有均布載荷q，試畫出該梁的剪力圖和彎矩圖。解：(1)列剪力方程和彎矩方程，將梁左端A點(diǎn)取作坐標(biāo)原點(diǎn)。

剪力方程和彎矩方程

(2)畫剪力圖和彎矩圖

剪力圖是一傾斜直線彎矩圖是一拋物線

例8-4

一簡(jiǎn)支梁AB,受均布載荷q的作用，試作此梁的剪力、彎矩圖。

解：

1、求支反力2、建立剪力方程和彎矩方程3、畫剪力圖和彎矩圖

FAFBFQFQ

例4

簡(jiǎn)支梁AB,在C點(diǎn)處受集中力P

作用,如圖所示。試作此梁的彎矩圖。

解

(1)求支座反力

(2)列彎矩方程

距A端為x1和x2兩截面處截開

AC

段

CB

段

FAFBx1x2(3)畫剪力圖及彎矩圖

Pab/lFQGb/lGb/lx彎矩圖的特點(diǎn)

(1)梁上沒(méi)有均布載荷作用的部分，剪力圖為水平線，彎矩圖為傾斜直線。

(2)梁上有均布載荷作用的一段，剪力圖為斜直線，均布載荷向下時(shí)，直線由左上向右下傾斜(↘)；彎矩圖為拋物線，均布載荷向下時(shí)拋物線開口向下(⌒)。

(3)在集中力作用處，剪力圖上有突變，突變之值即為該處集中力的大小，突變的方向與集中力的方向一致；彎矩圖上在此出現(xiàn)折角(即兩側(cè)斜率不同)。

(4)梁上集中外力偶作用處剪力圖不變，彎矩圖有突變，突變的值即為該處集中外力偶的力偶矩。若外力偶為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，彎矩圖向上突變，反之，若外力偶為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，彎矩圖向下突變(左至右)。

(5)絕對(duì)值最大的彎矩總是出現(xiàn)在下述截面上：FQ=0的截面上；集中力作用處；集中力偶作用處。剪力圖和彎矩圖的查表法與疊加法

幾種受單一載荷作用梁的剪力圖和彎矩圖

幾種受單一載荷作用梁的剪力圖和彎矩圖

例8-6

試用疊加法作圖a)所示懸臂梁的彎矩圖．如P=3q/8。解：查表,先分別作出梁只有集中載荷和只有分布載荷作用下的彎矩圖(圖b)、c)。兩圖的彎矩具有不同的符號(hào)．為了便于疊加．在疊加時(shí)可把它們畫在x軸的同一側(cè)，(圖d))。得通常形式的彎矩圖(圖e))。最大彎矩值∣MQmax∣=ql2/8

發(fā)生在根部截面上?！?－6彎曲時(shí)的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力

各橫截面上同時(shí)有彎矩M和剪力Q，稱為剪切彎曲。各橫截面只有彎矩M，而無(wú)剪力Q，稱為純彎曲。梁在純彎曲時(shí)的實(shí)驗(yàn)觀察

當(dāng)梁發(fā)生純彎曲變形時(shí),可觀察到下列一些現(xiàn)象：

(1)兩條縱線都彎成曲線a’a’

和b’b’

,且靠近底面的縱線bb伸長(zhǎng)了,而靠近頂面的縱線aa

縮短了。(2)兩條橫線仍保持為直線,只是相互傾斜了一個(gè)角度,但仍垂直于彎成曲線的縱線。(3)在縱線伸長(zhǎng)區(qū),梁的寬度減小;在縱線縮短區(qū),梁的寬度增大。情況與軸向拉伸、壓縮時(shí)的變形相似。推斷和假設(shè)

假設(shè)：(1)梁在純彎曲時(shí)，各橫截面始終保持為平面，并垂直于梁軸。此即彎曲變形的平面假設(shè)。

(2)縱向纖維之間沒(méi)有相互擠壓,每根縱向纖維只受到簡(jiǎn)單拉伸或壓縮。中性層：從伸長(zhǎng)到縮短區(qū)，中間必有一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短。這一長(zhǎng)度不變的過(guò)渡層稱為中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線在純彎曲的條件下，所有橫截面仍保持平面，只是繞中性軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，橫截面之間并無(wú)互相錯(cuò)動(dòng)的變形，而每根縱向纖維則處于簡(jiǎn)單的拉伸或壓縮的受力狀態(tài)。

純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力

進(jìn)一步分析得到：(1)由于直梁彎曲時(shí),橫截面上只有正應(yīng)力σ，而無(wú)剪應(yīng)力。

(2)正應(yīng)力的分布規(guī)律

(3)彎曲時(shí)截面上的彎矩可以看成是整個(gè)截面上各點(diǎn)的內(nèi)力對(duì)中性軸的力矩所組成。

正應(yīng)力計(jì)算公式

σ——橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力

M——

橫截面上的彎矩

y——

橫截面上任一點(diǎn)到中性軸的距離

Iz——橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩

曲梁也適用梁彎曲時(shí)任一截面上彎曲正應(yīng)力的最大值。

橫截面對(duì)稱于中性軸的梁，當(dāng)y=ymax時(shí)彎曲正應(yīng)力最大。

橫截面不對(duì)稱于中性軸的梁:

抗彎截面系數(shù)單位：長(zhǎng)度的三次方y(tǒng)1和y2分別代表中性軸到最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)的距離。

T形截面梁

截面的軸慣性矩和抗彎截面橫量

截面的軸慣性矩和抗彎模量是衡量截面抗彎能力的幾何參數(shù),可以用積分法和有關(guān)定理推導(dǎo)出公式計(jì)算。

直徑為d的實(shí)心圓截面,其對(duì)中性軸z的慣性矩：

抗彎模量：

常見簡(jiǎn)單幾何形狀截面的慣性矩和抗彎截面模量等，幾何參數(shù)可查閱資料。例8-8一矩形截面梁，如圖所示。計(jì)算1-1截面上A、B、C、D各點(diǎn)處的正應(yīng)力，并指明是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。

解

(1)計(jì)算1-1截面上彎矩

(2)計(jì)算1-1截面慣性矩

(3)計(jì)算1-1截面上各指定點(diǎn)的正應(yīng)力

拉應(yīng)力

壓應(yīng)力

壓應(yīng)力

例8-9

一簡(jiǎn)支木梁受力如圖(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。試比較梁在豎放(圖(b))和平放(圖(c))時(shí)橫截面C處的最大正應(yīng)力。解：首先計(jì)算橫截面C處的彎矩，有

梁在豎放時(shí)，其彎曲截面系數(shù)為

故橫截面C處的最大正應(yīng)力為

梁在平放時(shí)，其彎曲截面系數(shù)為

故橫截面C處的最大正應(yīng)力為

在建筑結(jié)構(gòu)中，梁一般采用豎放形式§8－7彎曲時(shí)的切應(yīng)力

梁彎曲橫截面上的切應(yīng)力

矩形截面梁

假設(shè)如下：(1)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均平行于側(cè)邊；

(2)距中性軸z軸等距離的各點(diǎn)處的切應(yīng)力大小相等。

切應(yīng)力

最大切應(yīng)力

工字形截面梁

翼緣上的切應(yīng)力主要是水平方向的切應(yīng)力分量,平行于y軸方向的切應(yīng)力分量則是次要的。研究表明,翼緣上的最大切應(yīng)力比腹板上的最大切應(yīng)力要小得多，如圖b)所示。因此在強(qiáng)度計(jì)算時(shí)一般不予考慮,最大切應(yīng)力

A1為腹板的面積

圓形截面梁和薄壁環(huán)形截面梁

圓形截面切應(yīng)力分布規(guī)律如圖所示,截面上的最大切應(yīng)力為截面上平均切應(yīng)力的4/3倍。即

τmax=4τ均/3≈1.33FQ/A

薄壁環(huán)形截面環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律如圖所示。截面上的最大切應(yīng)力為截面上平均切應(yīng)力的2倍,即τmax=2τ均

=2FQ/A

以上各式中上A為截面的面積,τ均為截面上平均切應(yīng)力。

例8-10

圖示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，在中點(diǎn)處承受集中力F的作用,己知F=150kN。試比較該梁中最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力的大小。解：簡(jiǎn)支梁的彎矩圖和剪力圖可由查表法查得，從圖上可以看出，該梁所承受的最大彎矩和最大剪力分別為

查工字型鋼規(guī)格表，得56a號(hào)工字鋼的WZ=342.3lcm3。則梁內(nèi)的最大正應(yīng)力為σmax=Mmax/WZ=375X102/342.3l=160.1MPa

最大切應(yīng)力

τmax≈

FQmax/dh1=12.6MPa

比較，可得

校核梁的強(qiáng)度時(shí),一般只考慮正應(yīng)力強(qiáng)度條件?！?－8梁的強(qiáng)度計(jì)算

梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁正應(yīng)力強(qiáng)度條件,可用來(lái)解決強(qiáng)度校核，設(shè)計(jì)截面尺寸和確定許可載荷這三類問(wèn)題。

或等截面直梁的最大正應(yīng)力

梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件

等直梁的最大切應(yīng)力，發(fā)生在最大剪力所在橫截面的中性軸上各點(diǎn)處,梁梁的最大工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力,即切應(yīng)力強(qiáng)度條件是

τmax≤[τ]

根據(jù)強(qiáng)度條件可以解決下述三類問(wèn)題：

(1)強(qiáng)度校核驗(yàn)算梁的強(qiáng)度是否滿足強(qiáng)度條件，判斷梁的工作是否安全。

(2)設(shè)計(jì)截面尺寸根據(jù)粱的最大載荷和材料的許用應(yīng)力；確定梁截面的尺寸和形狀,或選用合適的標(biāo)準(zhǔn)型鋼。

(3)確定許用載荷根據(jù)粱截面的形狀和尺寸及許用應(yīng)力，確定梁可承受的最大彎矩，再由彎矩和載荷的關(guān)系確定梁的許用載荷。

例8-9

一吊車(圖a))用32c工字鋼制成，將其簡(jiǎn)化為一簡(jiǎn)支梁(圖b))，梁長(zhǎng)l=l0m，自重力不計(jì)。若最大起重載荷為F=35kN(包括葫蘆和鋼絲繩),許用應(yīng)力為[σ]=130MPa，試校核梁的強(qiáng)度。解1)求最大彎矩。當(dāng)載荷在梁中點(diǎn)時(shí)，該處產(chǎn)生最大彎矩，從圖c)中可得

2）校核梁的強(qiáng)度。查型鋼表得32c工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wz=760cm3，則說(shuō)明梁的工作是安全的

例8-10某設(shè)備中要一根支承物料重量的梁，可簡(jiǎn)化為受均布載荷的簡(jiǎn)支梁(如圖)。已知梁的跨長(zhǎng)l=2.83m，所受均布載荷的集度q=23KN/m，材料為45號(hào)鋼，許用彎曲正應(yīng)力［σ］=140MN/m2，問(wèn)該梁應(yīng)該選用幾號(hào)工字鋼?解：這是一個(gè)設(shè)計(jì)梁的截面問(wèn)題。在梁跨中點(diǎn)橫截面上的最大彎矩為所需的抗彎截面模量為

查型鋼規(guī)格表,選用18號(hào)工字鋼，Wz=185cm3。

例8-11

一螺旋壓板夾緊裝置(如圖)，已知壓緊力P

=3kN，a=50mm，材料的許用彎曲應(yīng)力[σ］=150MN/m2。試校核壓板AC的強(qiáng)度。

解：壓板可簡(jiǎn)化為一