第2章交流異步電動機的數(shù)學模型

第２章交流異步電動機數(shù)學模型

2.1

a—b—c坐標系中的電機方程式“理想化”的電機模型:（１）氣隙均勻；（２）磁路線性；（３）定子各相繞組結構相同，其導體在空間的分部規(guī)律使的能產(chǎn)生正弦分布的磁勢波，定子三相繞組對稱，在三相平衡定子電流作用下，產(chǎn)生單一轉向的圓形旋轉磁場；（４）轉子線圈或導條的布置方式，使得感應出的轉子磁勢也在空間作正弦分布，且具有和定子磁勢波相同的極數(shù)?！袄硐牖彪姍C只是一種假定和抽象，但它提供了一種能對多種類型運行方式進行分析和對運行性能進行預測的電機模型。圖２－1三相二極理想異步電機示意圖

三個定子繞組或三個轉子繞組之間互差1200電角度，而定、轉子間的相對位置則由對應相軸線間的夾角表示，對于旋轉的電機而言，是時間的函數(shù)。2.1.1電壓方程式

為了便于建立電機的電壓方程式，將定、轉子每相繞組表示成電阻、電感串聯(lián)電路形式，則異步電機繞組布置示意圖如圖2-2所示。圖2－２異步電機繞組布置示意圖

：定子電阻；：轉子電阻；λ：與每相繞組相鏈的總磁鏈。

各繞組均以正向電流所產(chǎn)生的最大磁勢方向為等效繞組的軸線正方向。

定子各相繞組電壓平衡方程式轉子各相繞組電壓平衡方程式其中，λ：各自下標決定的那個繞組的總磁鏈，例如，a相定、轉子總磁鏈為：為了能根據(jù)各相電流來計算各項磁鏈，必須確定定、轉子的各項電感值。

2.1.2繞組電感的計算１．定子相繞組的自感定子相繞組的自感可分為漏電感（由繞組端部漏磁，槽漏磁以及其它漏磁產(chǎn)生）和主電感兩部分，即根據(jù)對稱關系，as、bs、cs相自感可表示為２．定子相間互感根據(jù)對稱關系as、bs、cs相互感可表示為３．轉子相繞組的自感、互感４．定、轉子互感

由于電機旋轉時，定子、轉子間相對位置變化，故定、轉子間互感是一個與定、轉子間相互位置有關的函數(shù)。定、轉子間互感為５．磁鏈方程式定義出電機的各項電感之后，將電機的電壓、磁鏈方程式用矩陣形式表示如下其中６．電磁轉矩方程式

從磁場能量的觀點出發(fā)，利用虛位移原理可導出電磁轉矩方程式如下７．電機運動方程式

按電動機慣例，設負載轉矩為ＴL，則根據(jù)轉動方程有

Ｊ:轉子及被拖動設備的轉動慣量，為電機轉子的機械角位移，與的關系為

至此，描述異步電機狀態(tài)特性所需要的方程以全部建立，這些方程構成了a—b—c坐標系中交流異步電動機的數(shù)學模型。2.2坐標變換概述由于定、轉子間互感是一個與定、轉子間相互位置有關的函數(shù)。最終獲得的描述異步電動機的將是一個具有時變系數(shù)的矩陣微分方程。解這種方程的解析解相當困難。因此，早期的交流電機的暫態(tài)過程的研究，多半是首先運用“坐標變換”或“變量變換”對將參考坐標設置在定子三相軸線上的基本方程進行處理，然后再求解。以后又出現(xiàn)了將參考坐標仍設置在定子上的坐標變換。自上世紀20年代以來，先后建立的坐標系統(tǒng)主要有以下四種。（1）運用雙反饋原理，并將參考坐標設置在轉子上的dq0坐標系統(tǒng)。這一坐標系統(tǒng)派克（R.H.Park）首先使用，因而這種坐標變換常稱為派克變換，相應的變換后的變量稱為派克分量或dq0分量。（2）運用雙反饋原理，并將參考坐標設置在定子上的坐標系統(tǒng)。這一坐標系統(tǒng)克拉克（E.Clarke）首先使用，因而這種坐標變換常稱為克拉克變換，相應的變換后的變量稱為克拉克分量或分量。（3）運用旋轉磁場原理，并將參考坐標設置在轉子上的FB0坐標系統(tǒng)。這一坐標系統(tǒng)顧毓繡首先使用，因而這種坐標變換常稱為顧氏變換，相應的變換后的變量稱為顧氏分量或FB0分量。（4）運用旋轉磁場原理，并將參考坐標設置在定子上的120坐標系統(tǒng)。這一坐標系統(tǒng)萊昂（W.V.Lyon）首先使用，因而這種坐標變換常稱為萊昂變換，相應的變換后的變量稱為萊昂分量或120分量。這些坐標變換又有守恒和不守恒之分，所謂守恒變換指變換前后電磁功率守恒，即用變換前后電壓、電流分量書寫的電磁功率表達式具有相似的形式。不守恒變換則不然。這些坐標系統(tǒng)的使用，因所研究問題的性質、所要求的精度、所使用的工具而異。坐標系統(tǒng)一般選用原則：（1）分析對稱運行方式時，選用參考坐標設置在轉子上的坐標系統(tǒng)。（2）分析不對稱運行方式時，選用參考坐標設置在定子上的坐標系統(tǒng)。（3）分析穩(wěn)態(tài)運行方式時，選用按旋轉磁場原理建立的坐標系統(tǒng)。（4）分析暫態(tài)過程時，選用按雙反饋原理原理建立的坐標系統(tǒng)2.3派克變換派克變換是最廣泛的坐標變換之一。它的基礎是“任何一組三相平衡定子電流產(chǎn)生的合成磁場，總可以由兩個軸線相互垂直的磁場所替代”的雙反應原理。將兩個軸線的方向選擇與轉子正、交軸方向一致，使三相定子電流產(chǎn)生的電樞反應磁場，由位于這兩軸方向的等值定子繞組電流產(chǎn)生的電樞反應磁場所替代。派克變換最常用于三相對稱運行方式的分析。2.3派克變換的數(shù)學描述以電流為例P——派克變換矩陣采用不守恒變換派克逆變換派克逆變換矩陣：采用守恒變換派克逆變換派克逆變換矩陣：2.4任意速d—q—n坐標系中異步電機數(shù)學模型

上述建立了異步電動機所需的全部方程式，即異步電機的數(shù)學模型。然而，由于電機轉字的旋轉運動，使得定子、轉子之間的互感成為定子、轉子相對位置角的余弦函數(shù)。使得電機在a—b—c中的數(shù)學模型變成一組非線性時變系數(shù)微分方程式，因而難于直接求解。為此，通過變量替代，將a—b—c真實變量表示的電機方程式變換到以d—q—n替代變量描述的電機方程式，以解脫定子、轉子間的非線性耦合關系。即進行方程式的坐標變換。2.4.1

d—q—n坐標系的確定

d—q—n坐標系的確定原則如下以方向為q軸方向，方向為d軸方向在as—bs—cs坐標系中有取的方向為n軸方向。在d—q—n坐標系下，對電機數(shù)學模型進行變換，則有如下結果。2.4.2電壓方程式

利用坐標變換矩陣將as—bs—cs坐標系中定子、轉子電壓方程式變換到任意速d—q—n坐標系中，則有其中2.4.3磁鏈方程式經(jīng)過變換后，定子、轉子磁鏈方程式為2.4.4電磁轉矩方程式和機電運動方程式電磁轉矩方程式和機電運動方程式也要經(jīng)過從as—bs—cs變量到d—q—n變量的坐標變換，利用坐標變換矩陣可得電磁轉矩方程式和機電運動方程式分別為2.4.5任意速d—q—n坐標系中異步電機方程式

將電機方程式用空間矢量形式可表示為其中2.4.6折算后任意速d—q—n坐標系中異步電機方程式上述電機方程式是建立在有關變量實際大小基礎上。由于定子、轉子繞組匝數(shù)不同，在一個方程中定子及轉子變量數(shù)值的大小可能相差很大，將給分析、計算帶來困難。為此，將轉子各變量的大小折算到定子繞組的基礎上進行分析，這就是匝數(shù)比變換問題。又稱為轉子的折算。

設想把實際電動機的轉子抽出，換上一個新轉子，它的相數(shù)、每相串聯(lián)的匝數(shù)以及繞組系數(shù)都分別和定子的一樣（新轉子也是三相、W1、kW1）。這時在新?lián)Q的轉子中，每相的感應電動勢為、電流為、轉子漏阻抗為，但產(chǎn)生的轉子旋轉磁通勢卻和原轉子產(chǎn)生的一樣。雖然換成了新轉子，但轉子旋轉磁通勢并沒有改變，所以不影響定子邊，這就是進行折合的依據(jù)。根據(jù)定、轉子磁通勢的關系可以寫成令這樣可得簡化為

至于電流與原來電流的關系為式中——電流比——定、轉子每相的電動勢折合后轉子漏阻抗與折合前轉子漏阻抗的關系為阻抗角折合前后漏阻抗的阻抗角不變。雖然經(jīng)過折合后，轉子繞組的物理量發(fā)生改變，但折算前后轉子繞組中各種功率關系不變。有關匝數(shù)比的變換過程不再一一敘述，下面直接給出經(jīng)過過匝數(shù)比的變換以后的異步電機方程式。經(jīng)過匝數(shù)比的變換以后的異步電機方程式可表示為其中2.5考慮端電壓約束條件后的異步電機方程式

2.5.1端電壓的約束條件為了利用異步電機方程式對電機進行分析，必須考慮電機外部端電壓的約束條件，即異步電機相電壓的大小問題。為了簡單起見，設電機是定子、轉子雙饋形式。定子邊電源電壓為eag、ebg、ecg；轉子邊電源電壓為eam、ebm、ecm；定子中點與定子邊電源中點間電壓為usg，轉子中點與轉子邊電源中點間電壓為umr。則根據(jù)定子側電壓平衡式，可得到在a—b—c坐標系中電機外部端電壓的約束條件，將定子各相電壓用矩陣形式表示為變換到任意速d—q—n坐標系中則有對于采用折算后的轉子電源電壓e’am、e’bm、e’cm表示的d—q—n變量形式的轉子電壓u’qr、u’dr、u’nr