第2節(jié)二階線性微分方程

二階線性微分方程：----

(2)----

(1)若為常數(shù)n階線性微分方程:自由項(xiàng)線性齊次方程:線性非齊次方程:二階常系數(shù)線性微分方程：第2節(jié)二階線性微分方程1.解的性質(zhì)為齊次方程（2）的兩個(gè)解,性質(zhì)為非齊次方程（1）的兩個(gè)證為齊次線性方程(2)的解，故有兩式分別乘以后相加，得：一.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)由定義知，為齊次方程(2)的解.為非齊次方程（1）的兩個(gè)解，則兩式相減即知2.函數(shù)的線性相關(guān)性：定義1對(duì)于定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)若存在n個(gè)不全為零的數(shù)則稱函數(shù)在I上線性相關(guān)，

否則稱為線性無關(guān).定義2定理1定理2定理3二階線性齊次方程（2）必存在兩個(gè)線性無關(guān)的解。是(2)的通解（為任意常數(shù)).證為二階線性齊次方程（2）的兩個(gè)線性無關(guān)的解,則定理4由性質(zhì)知，為齊次方程(2)的解.兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，線性無關(guān)保證了為為二階線性齊次方程(2)的通解.從而定理5所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的通解，則為非齊次方程(1)的通解。設(shè)是二階線性非齊次方程(1)的一個(gè)特解，證為非齊次方程(1)的解，又兩式相加含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù).含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，為(1)通解。從而例1已知二階線性方程的三個(gè)特解求滿足的特解。解為對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解，的通解為特解為：故例2已知二階線性方程，求該方程的通解。的一個(gè)特解為解定理6（疊加原理)二.二階常系數(shù)線性微分方程的解法1.二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的求法二階常系數(shù)線性齊次方程代入的左邊得：特征方程：有兩個(gè)不等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根有一對(duì)共軛復(fù)根，其根(特征根)有三種情況：對(duì)應(yīng)于特征根的三種情況，的通解有以下三種情況：為的兩個(gè)線性無關(guān)的解，的通解為：為二重特征根）于是線性無關(guān)的解。為的一個(gè)解，為的解，代入方程得的通解為為兩個(gè)線性無關(guān)的解，故的復(fù)數(shù)形式的通解為還是的解，且線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的通解為：性質(zhì)例3求下列方程的通解：解特征方程：特征根：通解為：解特征方程：特征根：通解為：特征方程：特征根：通解為：解n階常系數(shù)線性齊次方程:特征方程：二階常系數(shù)線性齊次方程求通解的方法和結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)線性齊次方程,求出特征根后就可相應(yīng)地得到方程的解.例4求方程的通解.解

特征方程：特征根：通解為：2.二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的求法二階常系數(shù)線性非齊次方程:為一待定的m次多項(xiàng)式)由觀察知，的特解y*必為多項(xiàng)式，形式如下:為幾種特殊形式時(shí)的特解的方法.方程化為以z為未知函數(shù)的方程：由（1）中結(jié)論知：時(shí)，上方程特解：上方程特解：上方程特解：由此得原方程的特解：不是特征根時(shí)，是單重特征根時(shí)，代入方程得通解為：解例5求下列方程的通解：是二重特征根時(shí)，代入方程得設(shè)解通解為：定理7根據(jù)疊加原理，原方程的特解為原方程的通解為解

例9設(shè)有一彈簧上端固定，下端掛一質(zhì)量為m的重物,平衡位置為o點(diǎn)，若將重物拉下一段距離s。然后放開讓其振動(dòng)，設(shè)重物在運(yùn)動(dòng)過程中,os還受到與運(yùn)動(dòng)速度成正比的阻力。(2)若在振動(dòng)過程中，還受到一個(gè)周期性外力的作用，求振動(dòng)規(guī)律。(1)求重物的振動(dòng)規(guī)律。解s(t)-----時(shí)刻t重物離開平衡位置的位移。(1)兩個(gè)力的作用：

一是彈簧的恢復(fù)力-ks(虎克定律，k---彈性系數(shù)，負(fù)號(hào)表示力的方向與位移方向相反)。tso作衰減運(yùn)動(dòng),最終趨于平衡位置.此解有兩項(xiàng),第一項(xiàng)以為角頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),第二項(xiàng)以或?yàn)檎穹膹?qiáng)迫振動(dòng)。時(shí),隨t的增大而增大;時(shí)很大，這就產(chǎn)生了所謂的共振現(xiàn)象。第一項(xiàng)是有阻尼的自由振動(dòng)，隨時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減，稱為暫態(tài)量；第二項(xiàng)是外力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)，當(dāng)阻尼很小，即n很小時(shí)，若，則第二

項(xiàng)的振幅(當(dāng)時(shí)，振幅取最大值可以很大，而發(fā)生共振現(xiàn)象。如收音機(jī)的調(diào)頻就是利用共振的原理