向量應用【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學必修同步教案（學生版教師版）

編號：009課題:§向量的應用目標要求1、理解并掌握向量方法解決平面幾何問題以及物理問題．2、理解并掌握向量在平面幾何證明問題中的應用．3、理解并掌握向量在平面幾何計算問題中的應用．4、理解并掌握向量在物理中的應用.學科素養(yǎng)目標向量注重“形”，是幾何學的基礎，廣泛應用于實際生活和生產中.通過數(shù)形結合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：向量在平面幾何計算問題中的應用；難點：向量在物理中的應用．教學過程基礎知識點1.用向量方法解決平面幾何問題(1)“三步曲”:①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用____________表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為_________________;②通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如__________、___________等問題;③把運算結果“翻譯”成_______________.(2)本質:向量具有明確的幾何背景(即有向線段),利用向量解決平面幾何問題.(3)應用(其中):①證明線段平行或點共線問題,常用向量共線定理:;②證明垂直問題,常用數(shù)量積的運算性質:;③求夾角問題,用夾角公式:(θ為與的夾角);④計算線段長度,常用模長公式:.【思考】聯(lián)系向量的兩種表示方法(幾何表示和坐標表示),想一想利用向量解決平面幾何問題有哪些思路?2.向量在物理中的應用(1)物理問題中常見的向量有_____________________等.(2)向量的加減法運算體現(xiàn)在一些物理量的___________和___________中.(3)動量mv是向量的____________運算.(4)功是__________與____________的數(shù)量積.【課前基礎演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.若△ABC是直角三角形,則有.B.若，則直線AB與CD平行.C.求力和的合力可利用向量加法的平行四邊形法則.D.已知A,B,C,D四點的坐標分別是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),則此四邊形為梯形.題2.若平面四邊形ABCD滿足，則該四邊形一定是()A.直角梯形 B.矩形C.菱形 D.正方形題3.在平面直角坐標系中,力作用一物體,使物體從點A(2,0)移動到點B(4,0),則力對物體作的功為________.關鍵能力·合作學習類型一向量在平面幾何證明問題中的應用(直觀想象、邏輯推理)【典例】題4.已知點O,P在△ABC所在平面內,且，則點O,P依次是△ABC的 ()A.重心,垂心 B.重心,內心C.外心,垂心 D.外心,內心題5.四邊形ABCD是正方形,P是對角線DB上的一點(不包括端點),E,F分別在邊BC,DC上,且四邊形PFCE是矩形,試用向量方法證明:PA=EF.【變式探究】題6.若O是△ABC內一點,，則O為△ABC的 ()A.內心 B.外心 C.垂心 D.重心【解題策略】利用向量證明問題(1)常見的利用向量證明的問題.①利用向量共線定理證明線段平行或點共線;②利用向量的模證明線段相等;③利用向量的數(shù)量積為0證明線段垂直.(2)常用的兩個方法.①基向量法:選取已知的不共線的兩個向量作為基向量,用基向量表示相關向量,轉化為基向量之間的向量運算進行證明;②坐標法:先建立平面直角坐標系,表示出點、向量的坐標,利用坐標運算進行證明.【跟蹤訓練】題7.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求證:AC⊥BC.【補償訓練】題8.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE.類型二向量在平面幾何計算問題中的應用(數(shù)學運算)【典例】題9.如圖所示,在矩形ABCD中,,垂足為E,求ED的長.【解題策略】1.用向量方法求長度的策略(1)利用圖形特點選擇基底、向量的數(shù)量積轉化,用公式求解;(2)建立坐標系,確定相應向量的坐標,代入公式:若,則.2.向量數(shù)量積、夾角的計算利用向量或坐標表示出未知向量,代入相應的公式進行計算.【跟蹤訓練】題10.求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值.【補償訓練】題11.如圖,平行四邊形ABCD中,已知AD=1,AB=2,對角線BD=2,求對角線AC的長.類型三向量在物理中的應用(數(shù)學建模)角度1矢量分解合成問題【典例】題12.如圖,用兩根分別長5米和10米的繩子,將100N的物體吊在水平屋頂AB上,平衡后,G點距屋頂距離恰好為5米,求A處所受力的大小(繩子的重量忽略不計).角度2做功問題【典例】題13.已知力(斜向上)與水平方向的夾角為30°,大小為50N,一個質量為8kg的木塊受力的作用在動摩擦因數(shù)μ=的水平面上運動了20m.問力和摩擦力所做的功分別為多少?(g=10m/s2)【解題策略】用向量方法解決物理問題的步驟(1)把物理問題中的相關量用向量表示;(2)轉化為向量問題的模型,通過向量運算使問題解決;(3)結果還原為物理問題.【題組訓練】題14.若物體在共點力的作用下產生位移,則共點力對物體所做的功W為 ()2 5 題15.一條河的寬度為d,一只船從A出發(fā)到河的正對岸B處,船速為,水速為,則船行到B處時,行駛速度的大小為 ()A.B.C.D.【補償訓練】題16.如圖所示,一個物體受到同一平面內三個力的作用,沿北偏東45°的方向移動了8m,其中N,方向為北偏東30°;,方向為北偏東60°;,方向為北偏西30°,求合力所做的功.課堂檢測·素養(yǎng)達標題17.如圖所示,一力作用在小車上,其中力的大小為10N,方向與水平面成60°角,當小車向前運動10米,則力做的功為 ()焦耳 焦耳C.焦耳 焦耳題18.已知A,B,C,D四點的坐標分別是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),則此四邊形為()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形題19.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),則BC邊的中線AD的長是 ()A.B.C.D.題20.某人從點O向正東走30m到達點A,再向正北走m到達點B,則此人的位移的大小是________m,方向是北偏東________.題21.如圖,正方形ABCD中的邊長為a,E,F分別為AB,BC的中點,AF與DE交于點M.求∠EMF.編號：009課題:§向量的應用目標要求1、理解并掌握向量方法解決平面幾何問題以及物理問題．2、理解并掌握向量在平面幾何證明問題中的應用．3、理解并掌握向量在平面幾何計算問題中的應用．4、理解并掌握向量在物理中的應用.學科素養(yǎng)目標向量注重“形”，是幾何學的基礎，廣泛應用于實際生活和生產中.通過數(shù)形結合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：向量在平面幾何計算問題中的應用；難點：向量在物理中的應用．教學過程基礎知識點1.用向量方法解決平面幾何問題(1)“三步曲”:①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用__向量___表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為___向量問題______;②通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如__距離___、__夾角___等問題;③把運算結果“翻譯”成____幾何關系_____.(2)本質:向量具有明確的幾何背景(即有向線段),利用向量解決平面幾何問題.(3)應用(其中):①證明線段平行或點共線問題,常用向量共線定理:;②證明垂直問題,常用數(shù)量積的運算性質:;③求夾角問題,用夾角公式:(θ為與的夾角);④計算線段長度,常用模長公式:.【思考】聯(lián)系向量的兩種表示方法(幾何表示和坐標表示),想一想利用向量解決平面幾何問題有哪些思路?提示:兩種思路:一種思路是選擇一個基底(選擇的基底的長度和夾角應該是已知的,這樣方便計算),利用基向量表示涉及的向量;另一種思路是建立坐標系,求出題目中涉及的向量的坐標.2.向量在物理中的應用(1)物理問題中常見的向量有______力、速度、位移_________等.(2)向量的加減法運算體現(xiàn)在一些物理量的__合成___和__分解___中.(3)動量mv是向量的___數(shù)乘__運算.(4)功是__力__與__位移__的數(shù)量積.【課前基礎演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.若△ABC是直角三角形,則有.B.若，則直線AB與CD平行.C.求力和的合力可利用向量加法的平行四邊形法則.D.已知A,B,C,D四點的坐標分別是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),則此四邊形為梯形.【答案】選CD提示:A×.因為△ABC為直角三角形,B并不一定是直角,有可能是A或C為直角.B×.向量時,直線AB∥CD或AB與CD重合.C√.物理中的力既有大小又有方向,所以力可以看作向量,求和的合力可利用向量加法的平行四邊形法則.D√.已知A,B,C,D四點的坐標分別是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),所以，即，且，所以此四邊形為梯形.題2.若平面四邊形ABCD滿足，則該四邊形一定是()A.直角梯形 B.矩形C.菱形 D.正方形【解析】選C.由，得平面四邊形ABCD是平行四邊形,由，得，即平行四邊形ABCD的對角線互相垂直,則該四邊形一定是菱形.題3.在平面直角坐標系中,力作用一物體,使物體從點A(2,0)移動到點B(4,0),則力對物體作的功為________.【解析】根據(jù)題意,力對物體作的功.答案:4關鍵能力·合作學習類型一向量在平面幾何證明問題中的應用(直觀想象、邏輯推理)【典例】題4.已知點O,P在△ABC所在平面內,且，則點O,P依次是△ABC的 ()A.重心,垂心 B.重心,內心C.外心,垂心 D.外心,內心【思路導引】注意三角形的外心到三個頂點距離相等、內心到三邊距離相等、垂心是高所在直線的交點、重心是中線的交點.【解析】選C.由，知點O為△ABC的外心.因為，所以，所以,所以,所以CA⊥PB.同理,PA⊥CB,所以點P為△ABC的垂心.題5.四邊形ABCD是正方形,P是對角線DB上的一點(不包括端點),E,F分別在邊BC,DC上,且四邊形PFCE是矩形,試用向量方法證明:PA=EF.【思路導引】建立平面直角坐標系,利用向量的坐標運算證明.【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系,設正方形的邊長為1,DP=λ(0<λ<),則A(0,1),【變式探究】題6.若O是△ABC內一點,，則O為△ABC的 ()A.內心 B.外心 C.垂心 D.重心【解析】選D.如圖,取AB的中點E,連接OE,則，又，所以，又O為公共點,所以O,C,E三點共線,且，所以O為△ABC的重心.【解題策略】利用向量證明問題(1)常見的利用向量證明的問題.①利用向量共線定理證明線段平行或點共線;②利用向量的模證明線段相等;③利用向量的數(shù)量積為0證明線段垂直.(2)常用的兩個方法.①基向量法:選取已知的不共線的兩個向量作為基向量,用基向量表示相關向量,轉化為基向量之間的向量運算進行證明;②坐標法:先建立平面直角坐標系,表示出點、向量的坐標,利用坐標運算進行證明.【跟蹤訓練】題7.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求證:AC⊥BC.【證明】方法一:因為∠CDA=∠DAB=90°,AB∥CD,CD=DA=AB,故可設,則.所以.而.所以，即.方法二:如圖,建立平面直角坐標系,設CD=1,則A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).所以(-1,1),(1,1).所以(-1,1)·(1,1)=-1+1=0.所以AC⊥BC.【補償訓練】題8.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE.【證明】如圖所示,以C為原點,CA所在直線為x軸,CB所在直線為y軸,建立平面直角坐標系.設AC=a,則A(a,0),B(0,a),D,所以，所以，所以AD⊥CE.類型二向量在平面幾何計算問題中的應用(數(shù)學運算)【典例】題9.如圖所示,在矩形ABCD中,,垂足為E,求ED的長.【解題策略】1.用向量方法求長度的策略(1)利用圖形特點選擇基底、向量的數(shù)量積轉化,用公式求解;(2)建立坐標系,確定相應向量的坐標,代入公式:若,則.2.向量數(shù)量積、夾角的計算利用向量或坐標表示出未知向量,代入相應的公式進行計算.【跟蹤訓練】題10.求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值.【解析】如圖,分別以等腰直角三角形的兩直角邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系,設A(2a,0),B(0,2a),則D(a,0),C(0,a),所以,不妨設的夾角為θ,則.故所求鈍角的余弦值為.【補償訓練】題11.如圖,平行四邊形ABCD中,已知AD=1,AB=2,對角線BD=2,求對角線AC的長.【解析】設，，而，所以，所以，又，所以，即.類型三向量在物理中的應用(數(shù)學建模)角度1矢量分解合成問題【典例】題12.如圖,用兩根分別長5米和10米的繩子,將100N的物體吊在水平屋頂AB上,平衡后,G點距屋頂距離恰好為5米,求A處所受力的大小(繩子的重量忽略不計).【思路導引】畫圖分析A處所受力,B處所受力,物體的重力這三個力的關系.【解析】如圖,由已知條件可知AG與鉛垂方向成45°角,BG與鉛垂方向成60°角.設A處所受力為處所受力為,物體的重力為G,因為∠EGC=60°,∠EGD=45°,則有，且由①②解得,所以A處所受力的大小為.角度2做功問題【典例】題13.已知力(斜向上)與水平方向的夾角為30°,大小為50N,一個質量為8kg的木塊受力的作用在動摩擦因數(shù)μ=的水平面上運動了20m.問力和摩擦力所做的功分別為多少?(g=10m/s2)【思路導引】解答本題首先要確定摩擦力f的大小及其與位移所成的角,然后利用向量數(shù)量積運算求值.【解析】如圖所示,設木塊的位移為,(J).將力分解,它在鉛垂方向上的分力的大小為,所以摩擦力的大小為(N),因此(J).即和所做的功分別為J和-22J.【解題策略】用向量方法解決物理問題的步驟(1)把物理問題中的相關量用向量表示;(2)轉化為向量問題的模型,通過向量運算使問題解決;(3)結果還原為物理問題.【題組訓練】題14.若物體在共點力的作用下產生位移,則共點力對物體所做的功W為 ()2 5 【解析】選D..題15.一條河的寬度為d,一只船從A出發(fā)到河的正對岸B處,船速為,水速為,則船行到B處時,行駛速度的大小為 ()A.B.C.D.【解析】選D.如圖,由平行四邊形法則和解直角三角形的知識,可得,所以.【補償訓練】題16.如圖所示,一個物體受到同一平面內三個力的作用,沿北偏東45°的方向