基本不等式教案（Word版）2

《基本不等式(第二課時)》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標1．運用基本不等式解決生活中的最值問題，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；2．能將某些生活中的最值問題轉(zhuǎn)化為基本不等式兩種最值模型中的一種，提高用模型思想解決問題的能力．教學(xué)重難點教學(xué)重點：用基本不等式解決生活中的最值問題．教學(xué)難點：判斷生活中的最值問題是否屬于能夠用基本不等式最值模型解決的兩類最值問題．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入問題1：基本不等式的內(nèi)容是什么？它有何作用？師生活動：學(xué)生根據(jù)教師提出的問題回顧梳理上節(jié)課的知識．預(yù)設(shè)學(xué)生回答：基本不等式；（a，b≥0），利用基本不等式可用求最值．追問：基本不等式能解決哪幾類最值問題？用基本不等式求最值時要注意哪些條件？師生活動：學(xué)生結(jié)合書上例二來回答，教師適當引導(dǎo)，強調(diào)利用基本不等式求最值時，兩個變量均為正數(shù)是前提，發(fā)現(xiàn)“定值”是關(guān)鍵，驗證等號成立是求最值的必要條件．預(yù)設(shè)學(xué)生回答：基本不等式能解決以下兩類最值問題：（1）如果正數(shù)x，y的積xy等于定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值；（2）如果正數(shù)x，y的和x+y等于定值S，那么當x=y時，積xy有最大值．用基本不等式求最值時要注意滿足三個條件：一正、二定、三相等．設(shè)計意圖：本節(jié)課的重點是用基本不等式解決生活中的最值問題．通過回顧知識，初步了解解決問題的思路和方向．有助于學(xué)生嚴密的邏輯思維、良好的認知結(jié)構(gòu)的建立和完善．二、合作探究問題2：（1)用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？師生活動：學(xué)生獨立閱讀題目，理解題意后，師生共同分析，第（1）題可以轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之積為定值，邊長多大時周長最短，實際上是已知兩個正數(shù)的積為定值，求當這兩個數(shù)取什么值時，它們的和有最小值的問題．故第（1）題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（1）求解；第（2）題可以轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長多大時面積最大，實際上是已知兩個正數(shù)的和為定值，求當這兩個數(shù)取什么值時，它們的積有最大值的問題．第（2）題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（2）求解．教師讓學(xué)生獨立書寫解答過程，針對過程中的問題進行糾正．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為xm，ym，籬笆的長度為2(x+y)m（1）由已知及，可得，所以，當且僅當時，上式等號成立．因此，當這個矩形菜園是邊長為10m的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為40m．（2）由已知得，矩形菜園的面積為xym2由，可得，當且僅當時，上式等號成立．因此，當這個矩形菜園是邊長為9m的正方形時，菜園的面積最大，最大面積是81m2．設(shè)計意圖：本例是典型的能夠用基本不等式求最值的問題．通過本例的教學(xué)，可以幫助學(xué)生理解如何用基本不等式模型解決實際最值問題，進一步加強學(xué)生的邏輯思維能力．問題3：某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m2，深為3m．如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？師生活動：學(xué)生獨立閱讀題目，理解題意，教師提出問題：（1）水池的總造價和什么有關(guān)？（2）怎樣設(shè)元，得到水池的總造價表達式？學(xué)生合作進行討論，得到總造價的表達式．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)貯水池池底相鄰兩條邊的邊長分別為xm，ym，水池的總造價為z元，則．追問1：此問題可以用基本不等式的數(shù)學(xué)模型求解嗎？為什么？師生活動：學(xué)生回答解題思路和理由，教師肯定后，學(xué)生獨立書寫求解過程．預(yù)設(shè)的答案：z，由容積為4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600．所以，當時，上式等號成立，此時z=297600．所以將貯水池的池底設(shè)計成邊長為的正方形時總造價最低，最低總造價是297600元．追問2：通過對兩個例子的分析與解答，你能總結(jié)出用基本不等式解決生活中實際問題要經(jīng)歷哪些步驟？師生活動：學(xué)生自主反思總結(jié)，并回答問題，教師幫助梳理：先從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，列出代數(shù)式；思考問題是否與基本不等式的數(shù)學(xué)模型相匹配；然后，根據(jù)“一正、二定、三相等”的方法運算求解；最后，用求得的結(jié)果解釋實際問題．設(shè)計意圖：通過本題的分析，培養(yǎng)學(xué)生從較為復(fù)雜的實際問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并將能將問題轉(zhuǎn)化為所掌握的基本不等式模型求解，體會解決實際問題的方法，形成解決問題的一般思路，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)．三、歸納反思、布置作業(yè)問題4：通過本單元的學(xué)習(xí)，你能說說你學(xué)到了哪些知識和方法？有什么體會？師生活動：學(xué)生交流發(fā)表自己的體會，教師幫助梳理本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法，及學(xué)習(xí)過程中的體會．設(shè)計意圖：從單元的角度對知識進行梳理，有助于建構(gòu)學(xué)生對基本不等式內(nèi)容的認知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．作業(yè)布置：教科書習(xí)題第3，6，7，8題．四、目標檢測設(shè)計1．做一個體積為32m2，高為2m的長方體紙盒，當?shù)酌娴倪呴L取什么值時，用紙最少？2．用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m．當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？3．已知一個矩形的周長為32cm，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱．當矩形的邊長為多少時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？設(shè)計意圖：考查學(xué)生利用基本不等式的模型解決實際問題的能力．參考答案：1．設(shè)底面的長為a，寬為b，則由題意得2ab=32，即ab=16．所以用紙面積為，當且僅當a=b=4時取等號．即當?shù)酌娴拈L和寬均為4時，用紙最少．2．設(shè)矩形的長為a，寬為b，則由題意得a+2b=30，所以，當且僅當a=2b=15時取等號．故當矩形的長為15m，寬為m時，菜園的面積最大，最大面積為m2．3