張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期初試題含解析

河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2020_2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期初試題含解析河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2020_2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期初試題含解析PAGE21-河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2020_2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期初試題含解析河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期初試題（含解析)一、選擇題(本大題共12小題,共60.0分)1。若a，b，，,則下列不等式成立的是（)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過賦值法及利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.【詳解】由，A：取，時(shí)不成立；B：取，時(shí)不成立；C：取時(shí)不成立;D：，可得：恒成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了賦值法、不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于較易題.2。若是的內(nèi)角，且，則與的關(guān)系正確的是（）A。 B。 C。 D.無(wú)法確定【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)換,再利用大邊對(duì)大角，就可以選出正確答案.【詳解】由正弦定理可知:，，因此本題選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì).3.已知實(shí)數(shù)依次成等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)的值為（）A。3或－3 B.3 C.－3 D.不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可以得到一個(gè)方程，解方程，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，可以求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)依次成等比數(shù)列，所以有當(dāng)時(shí)，,顯然不存在這樣的實(shí)數(shù)，故，因此本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)的性質(zhì)，本題易出現(xiàn)選A的錯(cuò)誤結(jié)果，就是沒有對(duì)等比數(shù)列各項(xiàng)的正負(fù)性的性質(zhì)有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí).4.過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由兩直線垂直的性質(zhì)求出所求直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線的方程,化為一般式?！驹斀狻拷猓河捎谥本€的斜率為,故所求直線的斜率等于，故所求直線的方程為，即，故選：C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查兩直線垂直性質(zhì)，用點(diǎn)斜式求直線的方程,屬于容易題。5。如圖，一圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4，其側(cè)面積為，則這個(gè)圓錐的體積為（)A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】先利用側(cè)面積求解底面圓的周長(zhǎng),進(jìn)而解出底面面積，再求體高,最后解得體積【詳解】圓錐的展開圖為扇形，半徑，側(cè)面積為為扇形的面積，所以扇形的面積，解得，所以弧長(zhǎng),所以底面周長(zhǎng)為,由此可知底面半徑，所以底面面積為，體高為，故圓錐的體積，故選C．【點(diǎn)睛】本題已知展開圖的面積，母線長(zhǎng)求體積，是圓錐問題的常見考查方式，解題的關(guān)鍵是抓住底面圓的周長(zhǎng)為展開圖的弧長(zhǎng)．6。已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，若，，則下列命題正確的是A。若，，則B。若，且，則C。若，，則D.若，且,則【答案】D【解析】【分析】利用面面、線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，直接判定．【詳解】解：對(duì)于A，若n∥α,m∥β,則α∥β或α與β相交，故錯(cuò)；對(duì)于B,若α∩β＝l，且m⊥l,則m與β不一定垂直，故錯(cuò)；對(duì)于C，若m∥n,m∥β，則α與β位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對(duì)于D，∵α∩β＝l,∴l(xiāng)?β，∵m∥l,則m∥β，故正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間相互關(guān)系的合理運(yùn)用．7.已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊,若，b=則=（)A。 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知利用正弦定理可求的值,根據(jù)余弦定理可得,解方程可得的值．【詳解】，，，由正弦定理，可得：,由余弦定理，可得:，解得：,負(fù)值舍去．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．8.若為圓的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是(

)A. B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】由垂徑定理，得AB中點(diǎn)與圓心C的連線與AB垂直，可得AB斜率k＝1，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式列式,即可得直線AB的方程.【詳解】∵AB是圓（x﹣1）2+y2＝25的弦,圓心為C（1，0）AB的中點(diǎn)P(2，﹣1）滿足AB⊥CP因此,AB的斜率k＝，可得直線AB的方程是y+1＝x﹣2，化簡(jiǎn)得x﹣y﹣3＝0故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓的弦的性質(zhì),考查直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.9.已知正數(shù)、滿足,則的最小值為(）A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】由得，再將代數(shù)式與相乘,利用基本不等式可求出的最小值．【詳解】，所以，，則，所以,，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為,故選．【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，是解決本題的關(guān)鍵,屬于中等題．10.如圖，長(zhǎng)方體中，,,那么異面直線與所成角的余弦值是(）A. B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】可證得四邊形為平行四邊形，得到，將所求的異面直線所成角轉(zhuǎn)化為;假設(shè),根據(jù)角度關(guān)系可求得的三邊長(zhǎng)，利用余弦定理可求得余弦值?！驹斀狻窟B接，四邊形為平行四邊形異面直線與所成角即為與所成角,即設(shè)，，，，在中，由余弦定理得：異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過平行關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值。11。已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為，若,則的最大值是（）A。5 B。10 C.15 D.20【答案】B【解析】【分析】將的通項(xiàng)公式分解因式，判斷正負(fù)分界處，進(jìn)而推斷的最大最小值得到答案.【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式當(dāng)時(shí),當(dāng)或是最大值為或最小值為或的最大值為故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了前n項(xiàng)和為的最值問題，將其轉(zhuǎn)化為通項(xiàng)公式的正負(fù)問題是解題的關(guān)鍵。12.在三棱錐中，平面，，,則三棱錐的外接球的表面積為(）A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】先求出的外接圓的半徑，然后取的外接圓的圓心，過作，且，由于平面，故點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，為外接球半徑,求解即可?！驹斀狻吭谥?，，,可得，則的外接圓的半徑，取的外接圓的圓心，過作，且,因?yàn)槠矫?所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則，即外接球半徑，則三棱錐的外接球的表面積為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球表面積的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題。二、填空題(本大題共4小題，共20.0分）13。直線2mx+y–m–1＝0恒過定點(diǎn)__________．【答案】(）【解析】分析】直線方程對(duì)整理，令系數(shù)為,從而得到關(guān)于的方程組,解出的值，得到答案?！驹斀狻恐本€2mx+y–m–1＝0,可化為(2x–1）m+（y–1）＝0,由，解得，∴直線過定點(diǎn)（）．故答案為（）．【點(diǎn)睛】本題考查直線過定點(diǎn)問題，屬于簡(jiǎn)單題.14.中，角的對(duì)邊分別為,已知，則的最大值為________【答案】【解析】【分析】運(yùn)用余弦定理和重要不等式，可以求出的最大值，再結(jié)合三角形面積公式求出的最大值?！驹斀狻坑?，又，由余弦定理得，,故。15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且,則_________.【答案】【解析】【分析】對(duì)已知的等式，取倒數(shù)，這樣得到一個(gè)等差數(shù)列,求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出的值?！驹斀狻?，，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的判斷和通項(xiàng)公式的求解問題，對(duì)等式進(jìn)行合理的變形是解題的關(guān)鍵.16。設(shè)圓圓.點(diǎn)分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】在直接坐標(biāo)系中，畫出兩個(gè)圓的圖形和直線的圖象，根據(jù)圓的性質(zhì)，問題就轉(zhuǎn)化為|PC1｜+｜PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+｜PC2|﹣7的最小值，運(yùn)用幾何的知識(shí),作出C1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱點(diǎn)C，并求出坐標(biāo),由平面幾何的知識(shí)易知當(dāng)C與P、C2共線時(shí)，|PC1｜+｜PC2｜取得最小值，最后利用兩點(diǎn)問題距離公式可以求出最小值。【詳解】可知圓C1的圓心（5，﹣2），r＝2，圓C2的圓心(7，﹣1），R＝5，如圖所示：對(duì)于直線y＝x上任一點(diǎn)P,由圖象可知，要使｜PA｜+｜PB|的得最小值,則問題可轉(zhuǎn)化為求｜PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝｜PC1｜+｜PC2|﹣7的最小值，即可看作直線y＝x上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的最小值減去7,又C1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)為C（﹣2，5），由平面幾何知識(shí)易知當(dāng)C與P、C2共線時(shí),｜PC1｜+|PC2|取得最小值，即直線y＝x上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和取得最小值為|CC2|∴｜PA｜+|PB｜的最小值為＝﹣7．【點(diǎn)睛】本題考查了求定直線上的動(dòng)點(diǎn)分別到兩個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離之和最小值問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想,利用圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,利用對(duì)稱思想也是本題解題的關(guān)鍵。三、解答題（本大題共4小題，共48。0分)17.在長(zhǎng)方體中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2)若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2).【解析】【分析】（1）連接推導(dǎo)出，則四邊形是平行四邊形，從而,，由此能證明平面;(2）在長(zhǎng)方體中，分別以,，為，,軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值.【詳解】證明：(1）連接,∵，分別為,的中點(diǎn)，∴∵長(zhǎng)方體中，，,∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平面，平面,∴平面（2）在長(zhǎng)方體中，分別以，,為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則，，,,，，∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量,，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量,，取,則,所以,設(shè)二面角為，則，又，,則。∴二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查面面垂直的證明,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題。18。在中,內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，,，且滿足:.（Ⅰ）求角的大?。?Ⅱ）若，求的最大值?！敬鸢浮浚á瘢?；(Ⅱ）2?！窘馕觥俊痉治觥浚á瘢┻\(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)角邊轉(zhuǎn)化，然后利用余弦定理，求出角的大小;（Ⅱ）方法1：由（II)及，利用余弦定理,可得,再利用基本不等式,可求出的最大值；方法2：利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，利用兩角和的正弦公式和輔助角公式，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性，可求出的最大值;【詳解】（I）由正弦定理得：，因?yàn)椋?，所以由余弦定理得：，又在中?所以。(II）方法1:由（I)及，得，即，因?yàn)?（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以.則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故的最大值為2.方法2：由正弦定理得,,則，因?yàn)?所以，故的最大值為2（當(dāng)時(shí)）.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查了二角和的正弦公式及輔助角公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。19。設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足。（1）求的通項(xiàng)公式;（2）令，，若恒成立，求的取值范圍。【答案】（1)（2)【解析】【分析】（1）代入求得，根據(jù)與的關(guān)系可求得，可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果;驗(yàn)證后可得最終結(jié)果;（2)由（1)可得，采用裂項(xiàng)相消的方法求得,可知，從而得到的范圍.【詳解】（1）由題知：，……①令得：，解得:當(dāng)時(shí),……②①—②得：∴，即是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列經(jīng)驗(yàn)證滿足（2)由(1)知:即【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、裂項(xiàng)相消法求和，關(guān)鍵是能夠利用與的關(guān)系證得數(shù)列為等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式，屬于常規(guī)題型.20。已知兩個(gè)定點(diǎn)A（0，4）,B（0，1)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l:y＝kx﹣4.（1）求曲線E的軌跡方程；（2）若l與曲線E交于不同的C、D兩點(diǎn),且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率；（3）若k＝1，Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過Q作曲線E的兩條切線QM、QN,切點(diǎn)為M、N，探究：直線MN是否過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)請(qǐng)寫出坐標(biāo)，若不存在則說明理由。【答案】（1）;（2）；（3）直線過定點(diǎn)?！窘馕觥俊痉治觥浚?）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y）,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式,化簡(jiǎn)整理，即可得到所求軌跡的方程；（2)由，則點(diǎn)到邊的距離為,由點(diǎn)到線的距離公式得直線的斜率；（3）由題意可知：O，Q，M，N四點(diǎn)共圓且在以O(shè)Q為直徑的圓上