平面與平面垂直的判定【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修復(fù)習(xí)鞏固訓(xùn)練Word含答案

（1）平面與平面垂直的判定一、知識梳理1.二面角及平面角：=1\*GB2⑴二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)_________所組成的圖形叫做二面角。二面角的范圍是___.=2\*GB2⑵平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作____于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的叫做二面角的平面角。2.兩個(gè)平面互相垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是__________，就說這兩個(gè)平面互相垂直。3.兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的____，那么這兩個(gè)平面垂直。二、重要題型知識點(diǎn)一：二面角1.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()A．60°B．30°C．45° D．15°2.三棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面正三角形的中心,高是QUOTE,側(cè)棱長為QUOTE,那么側(cè)面與底面所成的二面角是()° ° ° °知識點(diǎn)二：平面與平面垂直的判定3．如圖，AB是圓O的直徑，PA⊥圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，則圖中互相垂直的平面共有()A．2對B．3對C．4對D．5對4．設(shè)有直線m，n和平面α，β，則下列結(jié)論中正確的是()①若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β；②若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥β；③若m⊥n，α∩β＝m，n?α，則α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β.A．①③B．②④C．①④D．②③知識點(diǎn)三：平面與平面垂直的證明5．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：平面EFG⊥平面EMN.6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求證:DB1⊥AC;(2)求證:平面A1B1CD⊥平面ACD1.三、鞏固練習(xí)1.設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β()A.若l⊥β,則α⊥β B.若α⊥β,則l⊥mC.若l∥β,則α∥β D.若α∥β,則l∥m2．在正三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC＝eq\f(1,2)AB，這時(shí)二面角B-AD-C的大小為()A．60°B．90°C．45°D．120°3.將銳角A為60°,邊長為a的菱形沿BD折成60°的二面角,則折疊后A與C之間的距離為()A.B. C.D.4.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為菱形,M是PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若要使得平面MBD⊥平面PCD,則應(yīng)補(bǔ)充的一個(gè)條件可以是()⊥MB ⊥PC⊥AD ⊥PC5．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜線BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則BC＝________.6．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于點(diǎn)B，BC⊥平面α于點(diǎn)C.若AB＝6，BC＝3，則二面角α－l－β的平面角的大小為________．7．如圖，P是二面角α－AB－β的棱AB上一點(diǎn)，分別在α，β上引射線PM，PN，截PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，則二面角α－AB－β的大小是________．8．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.(1)若AB＝AD，直線PB與CD所成的角為45°，求二面角P－CD－B的大小；(2)若E為線段PC上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并說明理由．9.如圖,在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).(1)求證:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求證:平面BCD⊥平面EGH.（1）平面與平面垂直的判定答案一、知識梳理1.=1\*GB2⑴半平面,.=2\*GB2⑵垂直.2.直二面角。3.垂線二、重要題型由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故選C．.如圖,設(shè)O為底面正三角形的中心,則PO⊥平面ABC,所以.過O作OM⊥BC于M,連接PM,則有PM⊥BC,所以∠PMO即為側(cè)面與底面所成的二面角.在直角△CMO中,,所以在直角△MPO中,,所以,所以∠PMO=60°..如圖所示．因?yàn)镻A⊥平面ACB，PA?平面PAC，PA?平面PAB，所以平面PAC⊥平面ACB，平面PAB⊥平面ACB.因?yàn)镻A⊥平面ACB，CB?平面ACB，所以PA⊥CB.又AC⊥CB，且PA∩AC＝A，所以CB⊥平面PAC.又CB?平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB.共有：平面PAC⊥平面ACB，平面PAB⊥平面ACB，平面PAC⊥平面PCB.故選B.①錯(cuò)誤，當(dāng)兩平面不垂直時(shí)，也能在兩個(gè)平面內(nèi)找到互相垂直的直線；③錯(cuò)誤，當(dāng)兩平面不垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)可以找到無數(shù)條直線與兩平面的交線垂直.5.證明：∵E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M(jìn)，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵M(jìn)N?平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.6.證明:(1)連接BD、B1D1,因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以DD1⊥AC,又AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD、DD1?平面DBB1D1,所以AC⊥平面DBB1D1,又DB1?平面DBB1D1,所以DB1⊥AC.(2)由(1)同理可得DB1⊥AD1,又AD1∩AC=A,AD1,AC?平面ACD1,所以DB1⊥平面ACD1,又DB1?平面A1B1CD,所以平面A1B1CD⊥平面ACD1.三、鞏固練習(xí).因?yàn)閘⊥β,l?α,所以α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正確.∠BDC為二面角B-AD-C的平面角，設(shè)正三角形ABC的邊長為m，則折疊后，BC＝eq\f(1,2)m，BD＝DC＝eq\f(1,2)m，所以∠BDC＝60°..設(shè)折疊后點(diǎn)A到A1的位置,取BD的中點(diǎn)E,連接A1E,CE.則BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC為二面角A1-BD-C的平面角.故∠A1EC.因?yàn)?所以△A1EC是等邊三角形.所以..連接AC,BD,BM,MD.因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),所以BD⊥PA,BD⊥AC,因?yàn)镻A∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),即有PC⊥平面MBD.而PC屬于平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.因?yàn)锳D⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝1.°或120°如圖，∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面ABC.設(shè)平面ABC∩l＝D，則∠ADB為二面角α－l－β的平面角或補(bǔ)角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角α－l－β的平面角的大小為60°或120°.°在α內(nèi)過點(diǎn)M作MO⊥AB于點(diǎn)O，連接NO，設(shè)PM＝PN＝a.∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴NO⊥AB，∴∠MON為二面角α－AB－β的平面角．連接MN.∵∠MPN＝60°，∴MN＝a.又MO＝NO＝eq\f(\r(2),2)a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.8.解：(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，又PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA即是二面角P－CD－B的平面角．又直線PB與CD所成的角為45°，∴∠PBA＝45°，∴PA＝AB.∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，即二面角P－CD－B的大小為45°.(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段PC上，且滿足PE∶EC＝1∶2時(shí)，平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO.由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.又EO?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.∴在線段PC上存在點(diǎn)E，滿足PE∶EC＝1∶2時(shí)，平面EBD⊥平面ABCD.9.證明:(1)如圖所示,連接DG,設(shè)CD∩GF=M,連接MH.在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,所以AC=2DF.因?yàn)镚是AC的中點(diǎn),所以DF∥GC,且DF=GC,所以四邊形CFDG是平行四邊形