直線與平面垂直的判定教案柳應(yīng)方

課題：必修二<§2.3.1直線與平面垂直的判定>福州金山中學數(shù)學組柳應(yīng)方地點：高一（2）班時間：周三上午第1節(jié)一．教材及學情分析：“直線與平面垂直的判定”是高中數(shù)學人教A版必修二第二章第三節(jié)的內(nèi)容，是直線和平面相交中的一種特殊情況；是實際生活中常見的一種位置關(guān)系；是從現(xiàn)實世界中抽象并概括出來的數(shù)學概念。直線與平面垂直它既是線線垂直的拓展，也是面面垂直的基礎(chǔ)，同時它為研究線面角、二面角等內(nèi)容進行了必要的知識準備，在教材中起到了承上啟下的作用學情上：學生在知識上，學習過空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、直線與平面平行的判定和平面與平面平行的判定；在方法上，研究過直線和平面、平面和平面平行的判定方法；在思維上，從經(jīng)驗型抽象思維開始上升到理論型抽象思維；在能力上，基礎(chǔ)知識薄弱，知識遷移、主動重組、整合的能力較弱.本節(jié)內(nèi)容蘊含了許多重要的數(shù)學思想方法，在探索的過程讓學生從中體會將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，將無限轉(zhuǎn)化為有限，將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直的化歸思想。根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，借助實例、圖片的觀察，為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持。二、教學目標（1）知識與技能目標：理解直線與平面垂直的定義；感知并歸納和確認直線與平面垂直的判定定理，并能用線面垂直的定義和判定定理進行初步的應(yīng)用。（2）過程與方法目標：借助對實例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義。通過直觀感知，合作探究，歸納直線與平面垂直的判定定理，進一步發(fā)展空間想象能力、合理推斷能力和運用圖形語言進行交流的能力；（3）情感、態(tài)度與價值觀：在線面垂直定義和判定定理的探究過程中，體驗探索的樂趣，增強合作學習的能力，感受數(shù)學美，使學生認識到數(shù)學源于生活，從而使學生更加熱愛數(shù)學，熱愛生活。三、教學重點、難點及關(guān)鍵教學重點：線面垂直的定義和線面垂直的判定定理的探究概括過程及理解。教學難點：直線與平面垂直判定定理的探究及初步運用。教學關(guān)鍵：類比轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的應(yīng)用。四、教學方法與手段教學方法：本節(jié)課采用“直觀感知，探究學習，應(yīng)用鞏固，反思提高”的課堂教學模式，以學生為主體，問題為主線，并以學案引導和多媒體手段輔助教學，啟發(fā)、引導學生積極的思考，幫助學生優(yōu)化思維過程，切實改進學生的學習方式。教學手段：教具教學及交互式電子白板及hiteach互動教學系統(tǒng)和ppt等現(xiàn)代教育技術(shù)輔助教學教具教學使數(shù)學圖形與幾何模型和生活實際結(jié)合起來。能培養(yǎng)學生的空間想象能力；多媒體技術(shù)的應(yīng)用為師生提供更為豐富和直觀的教學材料。同時還可適當分解空間想象的難度，提高課堂教學效率，激發(fā)學生的學習興趣。學法指導：觀察、概括、總結(jié)、歸納、類比聯(lián)想是學法指導的重點。讓學生觀察、思考后，總結(jié)、概括、歸納的知識更有利于學生掌握；為了加深知識理解、掌握和更靈活地運用，運用類比聯(lián)想去主動的發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而更系統(tǒng)地掌握所學知識，形成新的認知結(jié)構(gòu)和知識網(wǎng)絡(luò)，讓學生真正地體會到在問題解決中學習，在交流中學習。這樣，可以增進熱愛數(shù)學的情感，應(yīng)用數(shù)學的自信心和形成新的學習動力。新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生學習的引導者、組織者、合作者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、共同發(fā)展的過程．五．交互式多媒體教學環(huán)境：交互式電子白板及hiteach互動教學系統(tǒng)和ppt等現(xiàn)代教育技術(shù)，主要利用搶答器隨機選擇學生回答問題，并利用IRS反饋器（選擇）-----數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，并針對學生錯誤率較高的題目和選項予以講評和提問，從而發(fā)現(xiàn)錯因，及時糾正；手機端拍照上傳----即問即答，及時反饋學生完成情況；白板批注功能------分析并及時解決學生存在問題。六、教學過程1、復習回顧直觀感知從實際背景中感知直線與平面垂直的形象問題：空間中直線和平面有哪幾種位置關(guān)系？在日常生活中，你見得最多的直線與平面相交的情形是什么？直線在平面內(nèi)；直線與平面平行；直線與平面相交；垂直是其中非常重要且生活中常見的一種特殊關(guān)系。并由引出課題內(nèi)容日常生活中，我們經(jīng)?？吹揭恍┲本€與平面垂直的現(xiàn)象，例如：“旗桿與地面，大橋的橋柱和水面、書脊與桌面等的位置關(guān)系”，你能舉出一些身邊類似的例子嗎？然后讓學生回憶、思考、討論、教師對學生的活動給予評價。設(shè)計目的：復習直線與平面的位置關(guān)系，并通過學生熟悉的圖片、生活中看到的實例，引導觀察它們間的位置關(guān)系，讓學生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進一步探究直線與平面垂直的意義，幫助學生構(gòu)建清晰的知識脈絡(luò)，從實際生活提出問題體現(xiàn)數(shù)學源于生活，激發(fā)學生學習興趣。并說明：上述旗桿與地面、大橋的橋柱和水面、書脊與桌面等的位置關(guān)系，稱為直線與平面垂直.如何給“直線和平面垂直”下定義？2、聯(lián)想類比建構(gòu)概念觀察思考：如圖，在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，隨著時間的變化，影子BC的位置在移動，在各時刻旗桿AB所在直線與影子BC所在直線的位置關(guān)系如何？旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線a的位置關(guān)系又是什么？探究：怎樣給“直線與平面垂直”下定義？教師提示：回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？兩直線垂直有相交垂直和異面垂直，而異面直線垂直是轉(zhuǎn)化為兩直線相交垂直，實質(zhì)上是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題：即能否用一條直線垂直于一個平面內(nèi)的直線，來定義這條直線與這個平面垂直？組織學生交流討論，概括其定義。為使學生學會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知，可再借助長方體模型讓學生感知直線與平面的垂直關(guān)系。直線和平面垂直概念：如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱直線l垂直于平面α，記作:l⊥α；直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足。（學生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化，介紹相關(guān)概念：垂面、垂線、垂足。）設(shè)計目的：通過與線線垂直概念的類比，旨在由此得到啟發(fā)：用“平面化”的思想來思考問題，教會學生學習方法，同時滲透類比轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認的基礎(chǔ)上學會歸納概括結(jié)論，體會定義的合理性。直線和平面垂直概念的辨析練習：判斷下列語句是否正確：（若不正確請舉反例）⑴.如果一條直線與平面內(nèi)一條直線垂直，那么它與平面垂直.（)⑵.如果一條直線與平面內(nèi)有限條直線都垂直，那么它與平面垂直.()⑶.如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，那么它與平面垂直.()⑷.如果一條直線與一個平面垂直，那么它與平面內(nèi)所有的直線都垂直.()對每小題均設(shè)置兩個選項，利用IRS反饋器（選擇）-----數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，并由錯解學生回答，從而發(fā)現(xiàn)錯因，及時糾正；（對問（1）（2）（3），在學生回答的基礎(chǔ)上用直角三角板在黑板上直觀演示，并說明：如果一條直線l與平面α內(nèi)的一條直線或有限條直線或無數(shù)條直線都垂直，都不能判定這條直線與這個平面垂直；對問（4）可引導學生給出：一條直線垂直于一個平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，即線面垂直，線線垂直符號語言表述：若，則；并思考：如何說明一條直線與一個平面不垂直？（只需找到這條直線與這個平面內(nèi)一條直線不垂直即可，即“一票否決”。設(shè)計目的：通過定義辨析，問題鏈的設(shè)置，可以更好的揭示定義的內(nèi)涵，加深對定義中“任意一條直線”的正確認識和對定義的理解，同時為判定定理的引入作鋪墊。通過對問題（3）的辨析討論旨在讓學生掌握線線垂直的一種判定方法．3、拾級而上歸納定理思考探究：對于一條直線和一個平面，如何判定它們垂直？如果根據(jù)定義來判斷它們是否垂直，需要解決什么問題？如何操作？通常定義可以作為判定依據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，這種方法實際上難以實施，因為我們無法去一一檢驗．我們就需要尋求一個比定義法簡單可行的辦法來判定直線與平面垂直．探究：除定義外，有沒有比較方便可行的方法來判斷一條直線與一個平面垂直呢？師生活動（折紙試驗）：請同學們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）問題2：（1）折痕AD與桌面一定垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？（組織學生動手操作、探究、確認）設(shè)計意圖：通過折紙讓學生發(fā)現(xiàn)當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直．問題3：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關(guān)系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線，把桌面抽象為平面(如圖3)，那么你認為保證直線與平面垂直的條件是什么？對于兩條相交直線必須在平面內(nèi)這一點，教師可引導學生操作：將紙片繞直線AD（點D始終在桌面內(nèi)）轉(zhuǎn)動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內(nèi)．問：直線AD現(xiàn)在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導學生認識到直線CD、BD都必須是平面內(nèi)的直線）利用選擇（搶答）器隨機選擇學生回答問題，師生共義給出點評。設(shè)計意圖：通過操作讓學生認識到兩條相交直線必須在平面內(nèi)，從而更凸現(xiàn)出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內(nèi)兩條相交直線．問題4：如果將圖3中的兩條相交直線m、n的位置改變一下，仍保證⊥m,⊥n，（如圖4）你認為直線還垂直于平面嗎？設(shè)計意圖：讓學生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，這是無關(guān)緊要的．利用選擇（搶答）器隨機選擇學生回答問題，師生共義給出定理。根據(jù)試驗，請你給出直線與平面垂直的判定方法．歸納結(jié)論：引導學生根據(jù)直觀感知及已有經(jīng)驗（兩條相交直線確定一個平面），進行合情推理，獲得判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。（學生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化）老師特別強調(diào)：（1）定理中“兩條相交直線”二字不可忽視，否則線面垂直的結(jié)論不成立（2）證明線面垂直歸結(jié)為證明線線垂直，證明無數(shù)多線線垂直減弱為只需證明兩個線線垂直即可，體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。簡述為：線線垂直線面垂直問題5：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里?（2）你覺得定義與判定定理的共同點是什么?設(shè)計意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學生體會“無限轉(zhuǎn)化為有限”的數(shù)學思想，通過尋找定義與判定定理的共同點，感悟和體會“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”的數(shù)學思想.4.技能演練應(yīng)用鞏固例1、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1AA1BB1CC1DD1如正方體ABCD-A1B1C1D1改成長方體ABCD-A1B1C1D求證:AC⊥平面BB1D1D例2如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥.證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m、n.因為直線a⊥，根據(jù)直線與平面垂直的定義知a⊥m，a⊥n.又因為b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又因為，m、n是兩條相交直線，所以b⊥設(shè)計意圖：這個例題給出了判斷直線和平面垂直的一個常用的命題，這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系．練習：如圖７，在三棱錐V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點．

求證：AC⊥平面VKB手機端拍照上傳學生完成情況圖片，白板批注功能進行分析比對思考：(1)在三棱錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求證：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分別是AB、BC的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系；(3)在⑵的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，對嗎？利用選擇（搶答）器隨機選擇學生回答問題，師生共義給出點評。設(shè)計意圖：例2重在對直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用．變式（1）在例2的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了直線與平面垂直的意義；變式（2）是對例1判定方法的應(yīng)用；變式（3）的判斷在于進一步鞏固直線與平面垂直的判定定理．3個小題環(huán)環(huán)相扣，匯集了本節(jié)課的學習內(nèi)容，突出了知識間內(nèi)在聯(lián)系和融會貫通．5.歸納小結(jié)，提高認識（1）．直線與平面垂直的定義：由此可得，（2）．直線與平面垂直的判定：a⊥m，a⊥n，m∩n=A,m∩n=A,mα,nαa⊥α并有a∥b，a⊥α.b⊥α.（3）．數(shù)學思想方法：轉(zhuǎn)化的思想：空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題；無限轉(zhuǎn)化為有限；線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直。鞏固作業(yè)：JS2017-2018高一數(shù)學§2.3.1直線與平面垂直的判定校本作業(yè)班級姓名座號建議完成時間45分鐘1．直線與平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線與平面的位置關(guān)系是（）A、平行B、垂直C、在平面內(nèi)D、無法確定2．若兩直