第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 1

第二章

地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1）西南大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院沈敬偉Email：jingweigis@163.comMobile圖學(xué)

§1地球體

§2地球坐標(biāo)系與大地定位

2浩瀚宇宙之中:

地球是一個(gè)表面光滑的球體?！?

地球體3機(jī)艙窗口俯視大地:地表是一個(gè)有些微起伏、極其復(fù)雜的表面。

——

珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。45事實(shí)是： 地球不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、赤道半徑略長(zhǎng)，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。6地球的物理表面 和重力方向線相垂直，形成了無(wú)數(shù)個(gè)曲面，每一個(gè)曲面上重力位相等，我們把重力位相等的面稱為重力等位面，即通常所說(shuō)的水準(zhǔn)面。地球表層不均勻?qū)е滤疁?zhǔn)面的形狀很復(fù)雜。

在眾多的水準(zhǔn)面中，有一個(gè)與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過(guò)大陸、島嶼形成一個(gè)閉合曲面，這就是大地水準(zhǔn)面。它實(shí)際是一個(gè)起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。7大地水準(zhǔn)面的意義1.地球形體的一級(jí)逼近： 對(duì)地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當(dāng)。2.起伏波動(dòng)在制圖學(xué)中可忽略：

對(duì)大地測(cè)量和地球物理學(xué)有研究?jī)r(jià)值，但在制圖業(yè)務(wù)中，均把地球當(dāng)作正球體。8地球的數(shù)學(xué)表面在測(cè)量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來(lái)代替大地球體，這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為地球橢球體，簡(jiǎn)稱橢球體。

它是一個(gè)規(guī)則的數(shù)學(xué)表面，所以人們視其為地球體的數(shù)學(xué)表面，也是對(duì)地球形體的二級(jí)逼近，用于測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面。9橢球體

三要素: 長(zhǎng)軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對(duì)

a，b，f

的具體測(cè)定就是近代大地測(cè)量的一項(xiàng)重要工作。10 對(duì)地球形狀a，b，f

測(cè)定后，還必須確定大地水準(zhǔn)面與橢球體面的相對(duì)關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準(zhǔn)面符合最好的一個(gè)地球橢球體——參考橢球體，這項(xiàng)工作就是參考橢球體定位。 通過(guò)數(shù)學(xué)方法將地球橢球體擺到與大地水準(zhǔn)面最貼近的位置上，并求出兩者各點(diǎn)間的偏差，從數(shù)學(xué)上給出對(duì)地球形狀的三級(jí)逼近。11

由于國(guó)際上在推求年代、方法及測(cè)定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。12中國(guó)1952年前采用海福特（Hayford）橢球體；1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原點(diǎn)是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺(tái)）；自1980年開(kāi)始采用GRS1975（國(guó)際大地測(cè)量與地球物理學(xué)聯(lián)合會(huì)IUGG1975推薦）新參考橢球體系。13 §1地球體

§2地球坐標(biāo)系與大地定位

14§2地球坐標(biāo)系與大地定位2.1地理坐標(biāo)

——用經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)。

地球表面上的定位問(wèn)題，是與人類的生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)研究及軍事國(guó)防等密切相關(guān)的重大問(wèn)題。具體而言，就是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。①天文經(jīng)緯度②大地經(jīng)緯度③地心經(jīng)緯度15①

天文經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。2.1地理坐標(biāo)天文經(jīng)度：觀測(cè)點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測(cè)點(diǎn)之間的兩面角。天文緯度：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。16②

大地經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度l

、大地緯度

和大地高h(yuǎn)

表示。2.1地理坐標(biāo)大地經(jīng)度l

：指參考橢球面上某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)。大地緯度：指參考橢球面上某點(diǎn)的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負(fù)。17③

地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點(diǎn)，地心經(jīng)度同大地經(jīng)度l

，地心緯度是指參考橢球面上某點(diǎn)和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y

。2.1地理坐標(biāo)

在大地測(cè)量學(xué)中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。在地圖學(xué)中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中，通常將橢球體當(dāng)成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。182.2我國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)1954年北京坐標(biāo)系：1954年，我國(guó)將原蘇聯(lián)采用克拉索夫斯基橢球元素建立的坐標(biāo)系，聯(lián)測(cè)并經(jīng)平差計(jì)算引申到我國(guó)，以北京為全國(guó)大地坐標(biāo)原點(diǎn)，確定了過(guò)渡性大地坐標(biāo)系，稱1954北京坐標(biāo)系。缺點(diǎn)是橢球體面與我國(guó)大地水準(zhǔn)面不能很好地符合，誤差較大。192.2我國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)1980年國(guó)家大地坐標(biāo)系：1978年采用新的橢球體參數(shù)GRS(1975)，以陜西省西安市以北涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)某點(diǎn)為國(guó)家大地坐標(biāo)原點(diǎn)，進(jìn)行定位和測(cè)量工作，通過(guò)全國(guó)天文大地網(wǎng)整體平差計(jì)算，建立了全國(guó)統(tǒng)一的大地坐標(biāo)系，即1980年國(guó)家大地坐標(biāo)系。陜西省涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)北洪流村為“1980坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)——大地原點(diǎn)。202.2我國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)：橢球體參數(shù)精度高；定位采用的橢球體面與我國(guó)大地水準(zhǔn)面符合好；天文大地坐標(biāo)網(wǎng)傳算誤差和天文重力水準(zhǔn)路線傳算誤差都不太大，而且天文大地坐標(biāo)網(wǎng)坐標(biāo)經(jīng)過(guò)了全國(guó)性整體平差，坐標(biāo)統(tǒng)一，精度優(yōu)良，可以滿足1：5000甚至更大比例尺測(cè)圖的要求等。212.2我國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)與當(dāng)今社會(huì)發(fā)展存在的矛盾：①坐標(biāo)維的矛盾。隨著衛(wèi)星定位導(dǎo)航技術(shù)在我國(guó)的廣泛使用，二維不能適應(yīng)現(xiàn)代的三維定位技術(shù)；②精度的矛盾。衛(wèi)星定位技術(shù)可達(dá)10-7～10-8的點(diǎn)位相對(duì)精度，而西安80系只能保證3×10-6；③坐標(biāo)系統(tǒng)（框架）的矛盾。數(shù)字地球的發(fā)展要求用戶需要提供與全球總體適配的地心坐標(biāo)系統(tǒng)。22“參心坐標(biāo)系”與“地心坐標(biāo)系”地球體參心質(zhì)心地心坐標(biāo)系橢球參心坐標(biāo)系橢球最佳擬合區(qū)23ChinaGeodeticCoordinateSystem2000，(CGCS2000):隨著社會(huì)的進(jìn)步，國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)、國(guó)防建設(shè)和社會(huì)發(fā)展、科學(xué)研究等對(duì)國(guó)家大地坐標(biāo)系提出了新的要求，迫切需要采用原點(diǎn)位于地球質(zhì)量中心的坐標(biāo)系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱地心坐標(biāo)系）作為國(guó)家大地坐標(biāo)系。采用地心坐標(biāo)系，有利于采用現(xiàn)代空間技術(shù)對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行維護(hù)和快速更新，測(cè)定高精度大地控制點(diǎn)三維坐標(biāo)，并提高測(cè)圖工作效率。2.2我國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)24

衛(wèi)星軌道及遠(yuǎn)程彈道計(jì)算都更加精確；衛(wèi)星遙感數(shù)據(jù)便于納入地球坐標(biāo)系統(tǒng)；衛(wèi)星定位的精度提高；地球重力場(chǎng)測(cè)定精度提高；

科學(xué)觀測(cè)（如地殼運(yùn)動(dòng)觀測(cè)，板塊移動(dòng)監(jiān)測(cè)）精度提高。優(yōu)點(diǎn)：25

原來(lái)的地圖經(jīng)緯度坐標(biāo)值將會(huì)改變，工作量大；已建成的地理空間數(shù)據(jù)庫(kù)的坐標(biāo)值將要改算；局部地區(qū)的地圖變形將增大；帶來(lái)的問(wèn)題：26大地控制網(wǎng)大地控制網(wǎng)由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成。包括具有精確測(cè)定平面位置和高程的典型的具有控制意義的點(diǎn)，它是測(cè)制地圖的基礎(chǔ)。平面控制網(wǎng)采用平面控制測(cè)量確定控制點(diǎn)的平面位置，即大地經(jīng)度（L）和大地緯度（B）。其主要方法是三角測(cè)量和導(dǎo)線測(cè)量。27大地控制網(wǎng)三角測(cè)量：在平面上選擇一系列控制點(diǎn)，建立三角網(wǎng)，經(jīng)測(cè)量由已知推算未知。為達(dá)到層層控制的目的，由國(guó)家測(cè)繪主管部門(mén)統(tǒng)一布設(shè)一、二、三、四等三角網(wǎng)。一等三角網(wǎng)是全國(guó)平面控制的骨干，由近于等邊的三角形構(gòu)成，邊長(zhǎng)在20～25km左右，基本上沿經(jīng)緯線方向布設(shè)；二等三角網(wǎng)是在一等三角網(wǎng)的基礎(chǔ)上擴(kuò)展的，三角形平均邊長(zhǎng)約為13km，這樣可以保證在測(cè)繪1:10萬(wàn)、1:5萬(wàn)比例尺地形圖時(shí)，每150km2內(nèi)有一個(gè)大地控制點(diǎn)，即每幅圖至少有3個(gè)控制點(diǎn)；以此類推，保證不同比例尺地圖的精度。28角度測(cè)量水平角測(cè)量原理

概念：地面上某點(diǎn)到兩目標(biāo)的方向線鉛垂投影在水平面上所成的角度，稱為水平角，取值范圍：0-360。29距離測(cè)量

1、鋼尺。鋼尺是鋼制的帶尺，用于較高精度的量距工作。

2、皮尺。皮尺是麻線與細(xì)金屬絲織成的帶狀尺。

3、繩尺。又稱測(cè)繩，是內(nèi)含金屬絲的繩子，外用棉線包裹。

4、標(biāo)桿。又稱花桿。用以標(biāo)定點(diǎn)位或直線的方向，由堅(jiān)實(shí)不易彎曲的木桿制成，也有用鋁合金制成的金屬標(biāo)桿。

5、測(cè)桿。在測(cè)量距離過(guò)程中，用以標(biāo)志所量尺段的起止點(diǎn)，計(jì)算整尺段數(shù)。30當(dāng)兩個(gè)地面點(diǎn)之間的距離較長(zhǎng)或地勢(shì)起伏較大時(shí)，為使量距工作方便起見(jiàn)，可分成幾段進(jìn)行丈量。這種把多根標(biāo)桿標(biāo)定在已知直線上的工作稱為直線定線。

31光電測(cè)距通過(guò)直接或間接地測(cè)定測(cè)距信號(hào)在被測(cè)距離上的往返傳播時(shí)間t2D，同時(shí)求定測(cè)距信號(hào)在大氣中的傳播速度v，即可按下式求得距離D：32正弦公式在ΔABC中，以a,b,c表示∠A，∠B，∠C之對(duì)邊長(zhǎng)度，則

a／sinA=b／sinB=c／sinC=2R，其中R為ΔABC外接圓的半徑。

33余弦公式cosA=ABCa

a2=b2+c2

2bccosAcc2=a2+b2

2abcosCb

b2=a2+c2

2accosBcosB=cosC=亦可把余弦公式寫(xiě)成以下的形式:AaBbCc34三角測(cè)量示意圖35大地控制網(wǎng)導(dǎo)線測(cè)量：把各個(gè)控制點(diǎn)連成連續(xù)折線，然后測(cè)定這些折線邊長(zhǎng)和轉(zhuǎn)角，最后根據(jù)起算點(diǎn)坐標(biāo)及方位角推算其它點(diǎn)坐標(biāo)。包括：一種是閉合導(dǎo)線；另一是附合導(dǎo)線。建立大地控制網(wǎng)時(shí)，通常要隔一定距離選測(cè)若干大地點(diǎn)的天文經(jīng)緯度、天文方位角和起始邊長(zhǎng)，作為定向控制及校核數(shù)據(jù)使用，故大地控制網(wǎng)又有天文大地控制網(wǎng)之稱。363738平面控制網(wǎng)國(guó)家測(cè)繪局39高程系高程控制網(wǎng)的建立，必須規(guī)定一個(gè)統(tǒng)一的高程基準(zhǔn)面。我國(guó)利用青島驗(yàn)潮站1950～1956年的觀測(cè)記錄，確定黃海平均海水面為全國(guó)統(tǒng)一的高程基準(zhǔn)面，并在青島觀象山埋設(shè)了永久性的水準(zhǔn)原點(diǎn)。以黃海平均海水面建立起來(lái)的高程控制系統(tǒng)，統(tǒng)稱“1956年黃海高程系”。青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn)40高程系1987年，因多年觀測(cè)資料顯示，黃海平均海平面發(fā)生了微小的變化，水準(zhǔn)原點(diǎn)由原來(lái)的72.289m變?yōu)?2.260m，國(guó)家決定啟用新的高程基準(zhǔn)面，即“1985年國(guó)家高程基準(zhǔn)”。高程控制點(diǎn)的高程也發(fā)生微小的變化，但對(duì)已成圖上的等高線的影響則可忽略不計(jì)。41水準(zhǔn)測(cè)量借助水準(zhǔn)儀提供的水平視線來(lái)測(cè)定兩點(diǎn)之間的高差，是建立高程控制網(wǎng)的主要方法。兩點(diǎn)之間的高差H=a-b，設(shè)HA為已知點(diǎn)的高程，則待求點(diǎn)的高程HB=HA+H42

普通水準(zhǔn)測(cè)量方法

已知水準(zhǔn)點(diǎn)BM.A的高程HA＝19.153m，欲測(cè)定距水準(zhǔn)點(diǎn)BM.A較遠(yuǎn)的B點(diǎn)高程，按普通水準(zhǔn)測(cè)量的方法，由BM.A點(diǎn)出發(fā)共需設(shè)五個(gè)測(cè)站，連續(xù)安置水準(zhǔn)儀測(cè)出各站兩點(diǎn)之間的高差，觀測(cè)步驟如下：4344高程控制網(wǎng)是在全國(guó)范圍內(nèi)按照統(tǒng)一規(guī)范，由精確測(cè)定了高程的地面點(diǎn)所組成的控制網(wǎng)，是測(cè)定其它地面點(diǎn)高程的基礎(chǔ)。表明地面點(diǎn)高程位置的方法有兩種：絕對(duì)高程，即地面點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的高度。相對(duì)高程，即地面點(diǎn)到任意水準(zhǔn)面的高度。建立高程控制網(wǎng)的目的是為了精確求算絕對(duì)高程，即高程。45高程控制網(wǎng)國(guó)家測(cè)繪局46

2.3全球定位系統(tǒng)-GPS

授時(shí)與測(cè)距導(dǎo)航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng)(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是美國(guó)國(guó)防部開(kāi)發(fā)的星際全球無(wú)線電導(dǎo)航系統(tǒng)。47全球定位系統(tǒng)優(yōu)勢(shì)它可為全球范圍的飛機(jī)、艦船、地面部隊(duì)、車輛、低軌道航天器，提供全天候、連續(xù)、實(shí)時(shí)、高精度的三維位置、三維速度以及時(shí)間數(shù)據(jù)。GPS應(yīng)用于測(cè)量工程與經(jīng)典大地測(cè)量相比的優(yōu)勢(shì)：①觀測(cè)站之間無(wú)需通視；②定位精度高；③提供三維坐標(biāo)；④操作簡(jiǎn)便；⑤全天候作業(yè)。48GPS系統(tǒng)定位原理通過(guò)測(cè)量衛(wèi)星信號(hào)到達(dá)接收機(jī)的時(shí)間延遲，即可算出用戶到衛(wèi)星的距離。再根據(jù)三維坐標(biāo)中的距離公式，利用3顆衛(wèi)星的數(shù)據(jù)，組成3個(gè)方程式，就可以解出觀測(cè)點(diǎn)的位置（X,Y,Z）?？紤]到衛(wèi)星的時(shí)鐘與接收機(jī)時(shí)鐘之間的誤差，實(shí)際上有4個(gè)未知數(shù)，X、Y、Z和鐘差，因而需要引入第4顆衛(wèi)星，形成4個(gè)方程式以求解，從而得到觀測(cè)點(diǎn)經(jīng)緯度和高程。

49GPS系統(tǒng)的組成1.空間部分：21顆工作衛(wèi)星，3顆備用衛(wèi)星（白色）。它們?cè)诟叨?0200km的近圓形軌道上運(yùn)行，分布在六個(gè)軌道面上，軌道傾角55°，兩個(gè)軌道面之間在經(jīng)度上相隔60°，每個(gè)軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點(diǎn)，任意時(shí)刻，至少同時(shí)可見(jiàn)到四顆衛(wèi)星。50

2.地面支撐系統(tǒng)：1個(gè)主控站，3個(gè)注入站，5個(gè)監(jiān)測(cè)站。它向GPS導(dǎo)航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)及其軌道的參數(shù)；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預(yù)定軌道運(yùn)行；保持各顆衛(wèi)星處于GPS時(shí)間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設(shè)備是否正常工作等。51地面監(jiān)控部分主控站一個(gè)，設(shè)在美國(guó)的科羅拉多的斯普林斯。主控站負(fù)責(zé)協(xié)調(diào)和管理所有地面監(jiān)控系統(tǒng)的工作，包括：根據(jù)所有地面監(jiān)測(cè)站的觀測(cè)資料推算編制各衛(wèi)星的星歷、衛(wèi)星鐘差和大氣層修正參數(shù)等，并把這些數(shù)據(jù)及導(dǎo)航電文傳送到注入站；提供全球定位系統(tǒng)的時(shí)間基準(zhǔn)；調(diào)整衛(wèi)星狀態(tài)和啟用備用衛(wèi)星等。52地面監(jiān)控部分注入站又稱地面天線站，主要任務(wù)是通過(guò)一臺(tái)直徑為3.6m的天線，將來(lái)自主控站的衛(wèi)星星歷、鐘差、導(dǎo)航電文和其它控制指令注入到相應(yīng)衛(wèi)星的存儲(chǔ)系統(tǒng)，并監(jiān)測(cè)注入信息的正確性。注入站現(xiàn)有3個(gè)，分別設(shè)在印度洋的迭哥加西亞、南太平洋的卡瓦加蘭和南大西洋的阿松森群島。53地面監(jiān)控部分監(jiān)測(cè)站主要任務(wù)是連續(xù)觀測(cè)和接收所有GPS衛(wèi)星發(fā)出的信號(hào)并監(jiān)測(cè)衛(wèi)星的工作狀況，將采集到的數(shù)據(jù)連同當(dāng)?shù)貧庀笥^測(cè)資料和時(shí)間信息經(jīng)初步處理后傳送到主控站。地面監(jiān)控系統(tǒng)除主控站外均由計(jì)算機(jī)自動(dòng)控制，勿需人工操作。各地面站間由現(xiàn)代化通訊系統(tǒng)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了高度自動(dòng)化和標(biāo)準(zhǔn)化。54

3.用戶設(shè)備部分：GPS接收機(jī)——接收衛(wèi)星信號(hào)，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到接收機(jī)所在點(diǎn)位的導(dǎo)航和定位信息。通常會(huì)顯示出用戶的位置、速度和時(shí)間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù)，如到航路點(diǎn)的距離和航向或提供圖示。55GPS的應(yīng)用主要體現(xiàn)在GPS衛(wèi)星定位和導(dǎo)航：靜態(tài)定位和動(dòng)態(tài)定位。在飛機(jī)、輪船、車輛上廣泛應(yīng)用的導(dǎo)航就是一種廣義上的動(dòng)態(tài)定位。56歐洲伽利略衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)2002年3月24日，歐盟首腦會(huì)議批準(zhǔn)了建設(shè)伽利略衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)的實(shí)施計(jì)劃。由于在科索沃戰(zhàn)爭(zhēng)以及阿富汗戰(zhàn)爭(zhēng)期間，歐洲軍隊(duì)使用GPS技術(shù)事實(shí)上都受到了限制。因此，歐盟首腦們意識(shí)到：“如果放棄伽利略計(jì)劃，我們將在今后20-30年間失去防務(wù)上的主動(dòng)權(quán)?！贝送?，伽利略計(jì)劃帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)也是不容忽略的。歐盟的一項(xiàng)研究預(yù)測(cè)表明，發(fā)展伽利略衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)，僅在歐洲就可以創(chuàng)造出14萬(wàn)多個(gè)就業(yè)崗位，每年創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)收益將會(huì)