第一章 拉各朗日方程和哈密頓方程

理論物理導(dǎo)論中北大學(xué)理學(xué)院物理系四大力學(xué)：1、理論力學(xué)2、量子力學(xué)3、電動力學(xué)4、熱力學(xué)統(tǒng)計物理理論力學(xué)——分析力學(xué)基礎(chǔ)部分牛頓力學(xué)回顧物體的機械運動即物體的空間位置隨時間變化。一、研究對象二、牛頓的時空觀（狹義相對論的時空觀）時間、空間、質(zhì)量三個基本物理量是絕對的，它們與運動無關(guān)且彼此獨立，“同時性”和力學(xué)規(guī)律也是絕對的，而物體的坐標(biāo)和速度是相對的。三、力學(xué)狀態(tài)的確定同時給定物體的坐標(biāo)和速度（量子力學(xué)與此不同）四、力學(xué)規(guī)律的表達(dá)形式力是力學(xué)系統(tǒng)的核心。力學(xué)系統(tǒng)的運動微分方程：力學(xué)規(guī)律在所有慣性系中都是等價的，不存在特殊的慣性系。五、伽利略相對性原理（愛因斯坦相對性原理）六、牛頓力學(xué)的適用范圍低速（）、宏觀物體（）的運動。問題：力學(xué)規(guī)律是否只有牛頓形式？力學(xué)規(guī)律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈密頓形式。經(jīng)典力學(xué)：牛頓力學(xué)＋分析力學(xué)分析力學(xué)的主要內(nèi)容§1-1自由度和廣義坐標(biāo)一個自由質(zhì)點在空間的位置可以用三個獨立參數(shù)來確定，我們說該自由質(zhì)點有3個自由度。一般質(zhì)點運動會受到約束限制，則其自由度數(shù)會減少，在完整約束條件下，確定質(zhì)點系位置的獨立參數(shù)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。故該質(zhì)點在空間的位置由x、y就可確定，其自由度數(shù)為2。例如：一質(zhì)點M限制在球面的上半部運動，則對完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。一般講，一個由n

個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，若受到s

個完整約束作用，則其在空間的位置可由N=3n-s

個坐標(biāo)完全確定下來，我們把這些描述質(zhì)點系在空間中位置的獨立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)，用來表示。廣義坐標(biāo)對時間的微商稱為廣義速度，用來表示。上式說明廣義坐標(biāo)的選擇并不是唯一的。如上面例題的質(zhì)點M的位置由x，y確定，則x，y就是其一組廣義坐標(biāo)，此外，我們也可以選取其它的一組獨立參量來表達(dá)其位置：§1-2拉格朗日方程力是力學(xué)系統(tǒng)的核心，求解運動方程需要知道物體的受力情況。牛頓力學(xué)的運動微分方程：拉格朗日方程的特點是避開矢量力，而利用標(biāo)量動能和勢能來描述運動。從牛頓方程出發(fā)推導(dǎo)拉格朗日方程1、單個質(zhì)點不受約束需三個獨立坐標(biāo)描述其位置，即有三個自由度。直角坐標(biāo)系中：2、單個質(zhì)點在保守力場中運動：——勢能函數(shù)由牛頓第二定律，質(zhì)點的運動方程為：分量形式：又記x，y，z為x1，x2，x3，上式又寫為：上式合寫為：說明：(1)、以上選取的是直角坐標(biāo)系，但坐標(biāo)系的選取要根據(jù)具體情況而定。(2)、若U=U(r)，即勢能僅是質(zhì)點到力心距離的函數(shù)，此時適宜于選取球坐標(biāo)系。3、直角坐標(biāo)系中質(zhì)點的動能為：上式再對時間求微分得：動能對求偏導(dǎo)由和二式相加得：4、引入拉格朗日函數(shù)L動能T僅是速度的函數(shù)，勢能U僅是坐標(biāo)的函數(shù)，因此此式即為用拉格朗日函數(shù)表示牛頓運動定律的拉格朗日方程?？梢宰C明，將換成廣義坐標(biāo)，即可得到用廣義坐標(biāo)表示的具有s個自由度的系統(tǒng)的一般形式的拉格朗日方程。說明：1、拉格朗日方程是力學(xué)系統(tǒng)的基本運動方程，運動方程在牛頓力學(xué)中是牛頓第二定律，在分析力學(xué)中是拉格朗日方程。2、在分析力學(xué)中特征函數(shù)為拉格朗日函數(shù)（標(biāo)量函數(shù)），在牛頓力學(xué)中特征函數(shù)是力（矢量）。3、由可以看出，只要給出力學(xué)體系的坐標(biāo)和速度就能完全確定經(jīng)典力學(xué)體系的狀態(tài)。4、不再限于直角坐標(biāo)，在此為廣義坐標(biāo)。5、在很多情況下，由拉格朗日方程得到的關(guān)于廣義坐標(biāo)的運動微分方程是二階非線性的，求解很困難。例題：寫出有心力場中質(zhì)點的運動方程。上式兩邊除以dt，得：解：選球坐標(biāo)系，位移在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式：動能：所以拉格朗日函數(shù)為：求偏導(dǎo)：得到運動方程：將以上結(jié)果代入拉格朗日方程

多自由度系統(tǒng)線性振動問題的處理方法

各自由度的振動相互耦合,比較復(fù)雜,但由于方程是線性的,最終能找到解耦的方法。

數(shù)學(xué)中——求本征值和本征矢量的方法

實際振動系統(tǒng)不一定是線性的,但如果振動是微小的,可化為線性方程。通過一個實例,學(xué)習(xí)解法及一些重要概念和結(jié)論?！?-3小振動問題

設(shè)質(zhì)量均為m的兩個質(zhì)點,只沿水平方向運動,被3個輕彈簧連接,兩側(cè)彈簧的一端均被固定。中間彈簧的勁度系數(shù)為k1,兩旁彈簧的勁度系數(shù)為k2,兩質(zhì)點靜止時各彈簧無伸長。試求兩質(zhì)點在平衡位置附近的小振動。

自由度為2,選取x1

和x2

為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo),它們分別表示兩質(zhì)點相對自身平衡位置的位移。

系統(tǒng)的動能為：

[廣義速度常系數(shù)二次齊次式,可有一常數(shù)項]

系統(tǒng)的勢能為：[廣義坐標(biāo)常系數(shù)二次齊次式,可有一常數(shù)項]系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：將上式代入拉格朗日方程可得系統(tǒng)的運動方程

[常系數(shù)、二階、線性、齊次微分方程組]

x1

的變化與x2

的變化相互耦合設(shè)方程組解的形式為：

代入運動方程得：

要使A1,A2

有非零解,方程組系數(shù)行列式必為零上方程稱為特征方程,展開得

這是關(guān)于ω的二次方程,說明振動頻率不能取任意值,它們只能取以下數(shù)值(本征值):

兩個頻率是系統(tǒng)固有的,稱為系統(tǒng)的簡正頻率。

從下面我們將看到,對應(yīng)一種簡正頻率,系統(tǒng)存在一種簡單的、基本的振動方式。對應(yīng)不同的簡正頻率,系統(tǒng)有不同的振動方式,這種與簡正頻率相對應(yīng)的基本振動方式稱為簡正模式。

將代入方程：

將A1

，A2

寫成A11

，A21,表示這組振幅與ω1相應(yīng)兩個方程有一個是不獨立的,不能完全確定A11,A21,只能確定它們的比值：所以與ω1對應(yīng)的振動方程為其中φ1是與ω1相應(yīng)的振動的初相。二質(zhì)點振動位相相等,運動步調(diào)完全一致,稱為對稱模式,它的簡正模式如圖(a)所示。

（A11,A21

）組成一個二維矢量

,稱為與本征值ω1對應(yīng)的本征矢量,它確定簡正模式。(a)對稱模式(b)反對稱模式

將代入方程相應(yīng)的振幅用A12,A22

表示,得

只能獲得比值：（A11,A22

）組成與ω2

對應(yīng)的本征矢量,相應(yīng)的振動方程為：可見二質(zhì)點的振動位相相反,振幅相同,稱為反對稱模式,它的簡正模式如圖(b)所示。

方程組的通解是它們的特解的線性組合,

即式中4個待定常數(shù)A11,A12,φ1

，φ2

由初始條件確定

設(shè)t=0時,可求得

代入得到方程的解為：

本問題除了選擇x1,x2

為廣義坐標(biāo)外,還可選擇其他變量為廣義坐標(biāo),其中,有這樣的特殊變量,它可以使方程的解成為僅包含一個簡振頻率的簡諧振動,這樣的廣義坐標(biāo)稱為簡正坐標(biāo)。如何尋找簡正坐標(biāo)呢?我們從解中得到啟發(fā)。

(x0cosω1t)/2和(x0cosω2t)/2就是兩個簡正坐標(biāo),設(shè)：這是一種坐標(biāo)變換關(guān)系,通過反解就可求得簡正坐標(biāo)。

代人得可見采用簡正坐標(biāo)后,動能、勢能的表達(dá)式分別成為廣義速度和廣義坐標(biāo)的平方和形式。

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：代入拉格朗日方程,得運動方程為：可見每個方程只包含一個變量,方程組已解耦,其解分別為簡諧振動。其中,它們就是系統(tǒng)的簡正頻率。在上述初始條件下,可求出積分常數(shù)B1,B2,φ1,φ2,得§1-4哈密頓方程一、廣義動量將動能T對速度分量求偏導(dǎo)數(shù)，即可得動量的分量。勢能函數(shù)只與廣義坐標(biāo)有關(guān)，與廣義速度無關(guān)，因此稱為廣義動量二、勒讓德變換設(shè)有又兩式相減得：變換后的函數(shù)：稱為函數(shù)f的勒讓德變換1、若要將變量y變?yōu)镼2、若要將變量x變?yōu)镻兩式相減得：變換后的函數(shù)：稱為函數(shù)f的勒讓德變換3、——三個變量（可推廣到N個變量）要將，采用與前面一樣的方法，有：三、哈密頓函數(shù)廣義動量根據(jù)拉格朗日方程又對L進(jìn)行勒讓德變換，目的：定義哈密頓函數(shù)H四、哈密頓函數(shù)的物理意義H就是系統(tǒng)的能量E。五、哈密頓方程由得：比較于是有：——哈密頓方程（正則方程，系統(tǒng)的運動方程）說明：1、數(shù)學(xué)上，哈密頓形式上為一階微分方程（2s個），而拉格朗日形式上為二階微分方程——簡化數(shù)學(xué)計算；3、哈密頓正則形式對稱，有利于從經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)的過渡。2、哈密頓方程中，