《金新學(xué)案》高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 9.3空間中的垂直關(guān)系課件 文 大綱人教

第3課時(shí)空間中的垂直關(guān)系1．直線和平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的

直線都垂直，那么就稱這條直線和這個(gè)平面垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的

．(2)直線和平面垂直的判定定理定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的

直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．符號(hào)表示：若aα，bα，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b，則l⊥α.任何一條垂面兩條相交(3)直線和平面垂直的性質(zhì)定理定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線

．符號(hào)表示：若a⊥α，b⊥α，則a∥b.作用：可作為線線平行的判定定理．(4)三垂線定理①三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的

垂直，那么它也和這條斜線垂直．②三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條

垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直

平行射影斜線2．平面和平面垂直(1)兩個(gè)平面互相垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是

，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)兩個(gè)平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面

另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．直二面角經(jīng)過(guò)(3)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言形式：如果α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l，那么a⊥β.1．在三棱錐V－ABC中，VA＝VC，AB＝BC，則下列結(jié)論一定成立的是(

)A．VA⊥BC

B．AB⊥VCC．VB⊥ACD．VA⊥VB答案：

C2．設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)l⊥α?xí)r，l⊥m且l⊥n.但當(dāng)l⊥m，l⊥n時(shí)，若m、n不是相交直線，則得不到l⊥α.答案：

A3．關(guān)于直線m、n與平面α、β，有以下四個(gè)命題：①若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；④若m∥α，n∥β且α⊥β，則m∥n；其中真命題的序號(hào)是(

)A．①②

B．③④C．①④

D．②③解析：很明顯①錯(cuò)，故排除A、C，②正確，排除B.答案：

D4．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.(1)當(dāng)滿足條件______時(shí)，有m∥β；(填所選條件的序號(hào)，下同)(2)當(dāng)滿足條件________時(shí)，有m⊥β.解析：先畫出①②③④⑤的圖形．答案：

(1)③⑤

(2)②⑤5.△ABC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是________．解析：

BC⊥平面PAB，故△PBC是直角三角形，從而圖中直角三角形的個(gè)數(shù)共有4個(gè)．答案：

41．判定定理理可以簡(jiǎn)單單地記為“線線垂直線面垂直直”，定理中的的關(guān)鍵詞語(yǔ)語(yǔ)是“平面內(nèi)兩條條相交直線線”和“都垂直”．2．證明線面面垂直的方方法：(1)線面垂直的的定義，在在用定義時(shí)時(shí)注意“平面內(nèi)任意意一條直線線”與“平面內(nèi)無(wú)數(shù)數(shù)條直線”是兩個(gè)不同同的概念，，直線與平平面內(nèi)無(wú)數(shù)數(shù)條直線垂垂直時(shí)，直直線與平面面不一定垂垂直．(2)線面垂直的的判定定理理．(3)兩條互相平平行的直線線的性質(zhì).3．直線和平平面垂直的的性質(zhì)定理理可以作為為直線與直直線平行、、平面與平平面平行的的判定，實(shí)實(shí)現(xiàn)平行與與垂直的相相互轉(zhuǎn)化．．Rt△ABC所在平面外外一點(diǎn)S，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1)求證：SD⊥面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥面SAC.證明：(1)如圖所示，，取AB中點(diǎn)E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，故DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB為等腰三角角形，∴SE⊥AB.∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，(2)若AB＝BC，則BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥面ABC，而B(niǎo)D面ABC，∴SD⊥BD，∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D，∴BD⊥面SAC.[變式訓(xùn)練]1.如圖，在四四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且邊長(zhǎng)為為a的菱形．側(cè)側(cè)面PAD為正三角形形，其所在在平面垂直直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB；證明：(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)連結(jié)PG.因?yàn)椤鱌AD為正三角角形，G為AD的中點(diǎn)，，得PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.1．三垂線線定理及及其逆定定理所論論述的是是三個(gè)垂垂直關(guān)系系：一是是直線與與平面垂垂直；二二是平面面內(nèi)一條條直線與與斜線的的射影(或斜線)垂直；三三是這條條直線與與斜線(或射影)垂直．構(gòu)構(gòu)成定理理的五個(gè)個(gè)元素是是“一面四線線”．運(yùn)用三垂垂線定理理及其逆逆定理的的步驟是是：確定定平面→作出垂線線→找到斜線線→連成射影影→找面內(nèi)線線，其關(guān)關(guān)鍵是確確定平面面及平面面的垂線線．2．三垂線線定理及及其逆定定理主要要用于：：(1)立體幾何何的證明明問(wèn)題，，如線線線垂直、、線面垂垂直、面面面垂直直；(2)立體幾何何的計(jì)算算問(wèn)題，，如求空空間一點(diǎn)點(diǎn)到平面面內(nèi)某一一直線的的距離，，求兩平平行直線線間的距距離，求求兩條異異面直線線所成的的角等；；(3)二面角問(wèn)問(wèn)題，主主要是構(gòu)構(gòu)造二面面角的平平面角．．如圖，△ABC所在平面面α外一點(diǎn)P，已知PA⊥BC，PB⊥AC，求證：：(1)P在平面α內(nèi)的射影影是△ABC的垂心；；(2)PC⊥AB.證明：(1)作PO⊥平面α于O點(diǎn)，連結(jié)結(jié)AO，并延長(zhǎng)長(zhǎng)交BC于D.連結(jié)BO并延長(zhǎng)交交AC于E.∵PA⊥BC，∴BC⊥AD(三垂線定定理逆定定理)．同理，AC⊥BE，∴O為△ABC的垂心．．(2)連結(jié)OC，∵O為△ABC的垂心，，∴AB⊥CO.又∵PO⊥平面α，∴AB⊥PC(三垂線定定理)．[變式訓(xùn)練練]2.如圖所示示，四面面體A－BCD中，若頂頂點(diǎn)A在平面BDC上的射影影H是△BDC的垂心，，求證：：頂點(diǎn)C在平面ADB上的射影影H′也是△ABD的垂心．．證明：由三角形形垂心的的定義知知，連結(jié)結(jié)CH并延長(zhǎng)與與BD交于E，則CE⊥BD.∵AH⊥平面BDC，∴直線CA在平面BDC上的射影影是直線線CE.∴BD⊥AC.由H′是C在平面ABD上的射影影，知CH′⊥平面ABD，連AH′并延長(zhǎng)與與BD交于F點(diǎn)，則直線AF是斜線CA在平面ABD內(nèi)的射影影．∵BD⊥AC，∴BD⊥AF.連結(jié)DH′，并延長(zhǎng)長(zhǎng)與AB交于G，同理從AB⊥CD可知AB⊥DG，∴H′是△ADB的垂心．．證明平面面與平面面垂直的的方法主主要有：：(1)利用定義義證明．．只需判判定兩平平面所成成的二面面角為直直二面角角即可．．(2)利用判定定定理．．在審題題時(shí)，要要注意直直觀判斷斷哪條直直線可能能是垂線線，充分分利用等等腰三角角形底邊邊的中線線垂直于于底邊，，勾股定定理等結(jié)結(jié)論．如圖，在在直三棱棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．．(1)求證：BC1∥平面CA1D；(2)求證：平平面CA1D⊥平面AA1B1B.證明：(1)連結(jié)AC1交A1C于E，連結(jié)DE，[變式訓(xùn)練練]3.如圖，已已知正方方形ABCD的邊長(zhǎng)為為1，分別取取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕折折疊，使使點(diǎn)B、C、D重合于一一點(diǎn)P.(1)求證：AP⊥EF；(2)求證：平平面APE⊥平面APF.證明：(1)∵∠APE＝∠APF＝90°，PE∩PF＝P，∴PA⊥平面PEF.∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.(2)∵∠APE＝∠EPF＝90°，AP∩PF＝P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.1．垂直關(guān)系的的轉(zhuǎn)化在證明兩平面面垂直時(shí)一般般先從現(xiàn)有的的直線中尋找找平面的垂線線，若這樣的的直線圖中不不存在，則可可通過(guò)作輔助助線來(lái)解決．．如有平面垂垂直時(shí)，一般般要用性質(zhì)定定理，在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)作交交線的垂線，，使之轉(zhuǎn)化為為線面垂直，，然后進(jìn)一步步轉(zhuǎn)化為線線線垂直．故熟熟練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件件是解決這類類問(wèn)題的關(guān)鍵鍵．2．三垂線定理理和逆定理大大大簡(jiǎn)化了線線線垂直到線線面垂直的相相互轉(zhuǎn)化過(guò)程程，同時(shí)三垂垂線定理也是是作二面角平平面角的重要要理論依據(jù)，，而使用三垂垂線定理和逆逆定理的前提提就是要會(huì)觀觀察點(diǎn)、直線線及圖形在一一個(gè)平面內(nèi)的的射影．對(duì)近三年高考考試題的分析析可以看出，，本節(jié)有以下下的命題規(guī)律律：1．考查熱點(diǎn)：：直線和平面面垂直、平面面和平面垂直直的判定和性性質(zhì)的應(yīng)用．．2．考查形式：：常以選擇題題、填空題形形式出現(xiàn)，解解答題的第一一問(wèn)．3．考查角度：：一是將線面、、面面平行或或垂直的定義義、判定和性性質(zhì)結(jié)合起來(lái)來(lái)，主要考查查靈活運(yùn)用圖圖形的能力，，熟練地將文文字語(yǔ)言、符符號(hào)語(yǔ)言和圖圖形語(yǔ)言進(jìn)行行相互轉(zhuǎn)化的的能力．二是綜合考查查線面、面面面平行與垂直直問(wèn)題，從尋尋找判定定理理