全國(guó)卷高考復(fù)習(xí) 平面向量( 知識(shí)總結(jié)題型)

第一部分平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線(xiàn)共線(xiàn)向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線(xiàn)向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線(xiàn)向量定理向量a(a≠0)與b共線(xiàn)的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)零向量與任意向量平行.()(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.()(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線(xiàn)向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線(xiàn)時(shí)，一定有b＝λa，反之成立.()(5)在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))).()2.給出下列命題：①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))相等.則所有正確命題的序號(hào)是()A.① B.③ C.①③ D.①②3.(2017·棗莊模擬)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ＝()A.2 B.3 C.－2 D.－34.(2015·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝____________.5.(必修4P92A12改編)已知?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝______，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用a，b表示).6.(2017·嘉興七校聯(lián)考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＝________，λ2＝________.考點(diǎn)一平面向量的概念【例1】下列命題中，不正確的是________(填序號(hào)).①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c.【訓(xùn)練1】下列命題中，正確的是________(填序號(hào)).①有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.解析①不正確，向量可以用有向線(xiàn)段表示，但向量不是有向線(xiàn)段，有向線(xiàn)段也不是向量；②不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大小；向量的模均為實(shí)數(shù)，可以比較大小.答案③考點(diǎn)二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算【例2】(2017·濰坊模擬)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且AP＝eq\f(1,3)AB，BQ＝eq\f(1,3)BC.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(PQ,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b B.－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b D.－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b【訓(xùn)練2】(1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))考點(diǎn)三共線(xiàn)向量定理及其應(yīng)用【例3】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn).(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b).求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線(xiàn).【訓(xùn)練3】已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，則()A.A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn) B.A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)C.A，C，D三點(diǎn)共線(xiàn) D.B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)第二部分平面向量基本定理與坐標(biāo)表示1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線(xiàn)的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.(2017·東陽(yáng)月考)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a＋b等于()A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9)2.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)已知點(diǎn)A(0，1)，B(3，2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A.(－7，－4) B.(7，4)C.(－1，4) D.(1，4)3.(2016·全國(guó)Ⅱ卷)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.4.(必修4P101A3改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______.考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用【例1】(2014·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))【訓(xùn)練1】如圖，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，則c＝()A.(－23，－12) B.(23，12)C.(7，0) D.(－7，0)【訓(xùn)練2】(1)已知點(diǎn)A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(7，4) B.(7，14)C.(5，4) D.(5，14)(2)(2015·江蘇卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2).若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______.考點(diǎn)三平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示【例3】(1)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝________.(2)(必修4P101練習(xí)7改編)已知A(2，3)，B(4，－3)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且|AP|＝eq\f(3,2)|BP|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.【訓(xùn)練3】(1)(2017·浙江三市十二校聯(lián)考)已知點(diǎn)A(1，3)，B(4，－1)，則與eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))(2)若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.第三部分平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos__θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(3)數(shù)量積幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【基礎(chǔ)練習(xí)】1.(2015·全國(guó)Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，則(2a＋b)·a等于()A.－1 B.0 C.1 D.22.(2017·湖州模擬)已知向量a，b，其中|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則向量a和b的夾角是________.3.(2016·石家莊模擬)已知平面向量a，b的夾角為eq\f(2π,3)，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋b|＝________.5.(必修4P104例1改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為_(kāi)_______.6.(2017·瑞安一中檢測(cè))已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a＝(1，2)，|b|＝1，且a＋b與a－2b垂直，則向量a·b＝________；a與b的夾角θ的余弦值為_(kāi)_______.【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積及在平面幾何中的應(yīng)用（用已知表示未知）【例1】(1)(2015·四川卷)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，若點(diǎn)M，N滿(mǎn)足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A.20 B.15 C.9 D.6(2)(2016·天津卷)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為()A.－eq\f(5,8) B.eq\f(1,8) C.eq\f(1,4) D.eq\f(11,8)【訓(xùn)練1】(1)(2017·義烏市調(diào)研)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6