概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-修改版

隨機變量及其概率分布第二章

離散型隨機變量及其分布律連續(xù)型隨機變量及其分布律隨機變量函數(shù)的分布

在前面的學習中,我們用字母A、B、C...表示事件，并視之為樣本空間Ω的子集；針對等可能概型，主要研究了用排列組合手段計算事件的概率。本章，將用隨機變量表示隨機事件，以便采用高等數(shù)學的方法描述、研究隨機現(xiàn)象。

隨機變量及其分布RandomVariableandDistribution隨機變量基本思想將樣本空間數(shù)量化,即用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果

有些隨機試驗的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示.例如:在擲骰子試驗中,結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示

例如:擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的可規(guī)定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”RandomVariable

有些隨機試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，但可數(shù)量化例

設(shè)箱中有10個球，其中有2個紅球，8個白球；從中任意抽取2個,觀察抽球結(jié)果。取球結(jié)果為:兩個白球;兩個紅球;一紅一白

特點：試驗結(jié)果數(shù)量化了，試驗結(jié)果與數(shù)建立了對應關(guān)系如果用X表示取得的紅球數(shù)，則X的取值可為0，1，2。此時，“兩只紅球”=“X取到值2”,可記為{X=2}

“一紅一白”記為

{X=1},“兩只白球”記為{X=0}試驗結(jié)果的數(shù)量化隨機變量的定義

1)一是變異性，它的取值隨試驗結(jié)果而改變,它是一個變量

2）二是隨機性，即由于試驗中究竟出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機的，因此該變量究竟取何值在試驗之前是不知的。隨機變量隨機變量的兩個特征:設(shè)隨機試驗的樣本空間為Ω，如果對于每一個樣本點，均有唯一的實數(shù)與之對應，稱為樣本空間Ω上的隨機變量。某個燈泡的使用壽命X。

某電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)Y.在[0，1]區(qū)間上隨機取點，該點的坐標X.X的可能取值為[0,+)Y的可能取值為0，1，2，3，...,X的可能取值為[0，1]上的全體實數(shù)。例隨機變量的實例用隨機變量表示事件

如在擲骰子試驗中，用X表示出現(xiàn)的點數(shù),則“出現(xiàn)偶數(shù)點”可表示為：{X=2}{X=4}

{X=6}

“出現(xiàn)的點數(shù)小于４”可表示為：{X<4}或{X3}

E中的事件通常都可以用X的不同取值來表示.隨機變量的類型

離散型

非離散型隨機變量的所有取值是有限個或可列個隨即變量的取值有無窮多個，且不可列其中連續(xù)型隨機變量是一種重要類型

離散隨機變量的概率分布

稱此式為X的分布律（列）或概率分布（Probabilitydistribution)

設(shè)離散型隨機變量的所有可能取值是

，而取值的概率為即例

設(shè)X的分布律為求P(0<X≤2)P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2）

=1/2+1/6=2/3分布律確定概率解=P(抽得的兩件全為次品)求分布律舉例

例1設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品數(shù)，求隨機變量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值為0，1，2=P(抽得的兩件全為正品)P{X=1}P{X=2}=P(只有一件為次品)P{X=0}故X的分布律為而“至少抽得一件次品”={X≥1}={X=1}{X=2}P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}注意：{X=1}與{X=2}是互不相容的！

實際上，這仍是古典概型的計算題，只是表達事件的方式變了故

從一批次品率為p的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數(shù)X的分布律。解記Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…

則Ai,

i=1,2,3,…

是相互獨立的！且X的所有可能取值為1，2，3，…,k,…P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…(X=k)對應著事件

例設(shè)隨機變量X的分布律為試確定常數(shù)b.解由分布律的性質(zhì),有例幾種常見的離散型分布0-1分布(二點分布)1－ppP01X

則稱X服從參數(shù)為p的二點分布或(0-1)分布,△背景：樣本空間只有兩個樣本點的情況都可以用兩點分布來描述。如：上拋一枚硬幣?！鞫x：

若隨機變量X的分布律為:例設(shè)一個袋中裝有3個紅球和7個白球，現(xiàn)在從中隨機抽取一球，如果每個球抽取的機會相等，并且用數(shù)“1”代表取得紅球，“0”代表取得白球，則隨機抽取一球所得的值是一個離散型隨機變量其概率分布為即X服從兩點分布。

其中0<p<1,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布(也稱Bernoulli分布）,記為X～B(n,p)二項分布Binomialdistribution在n重貝努利試驗中,若以X表示事件A發(fā)生的次數(shù),

則X可能的取值為0,1,2,3,…,n.隨機變量X的分布律

從一批由9件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到兩次次品的概率.

有放回地抽取5件,可視為5重Bernoulli實驗記X為共抽到的次品數(shù)，則A=“一次實驗中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5p=1/4例解例

一大批種子發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒.求播種后,求（1）恰有8粒發(fā)芽的概率；（2）不小于8粒發(fā)芽的概率。解X～B（10,0.9）(1)P(X=8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)（見書中例題P35）泊松分布

Poissondistribution若隨機變量X的分布律為:

其中>0,則稱X服從參數(shù)為的泊松分布X～P()定義服務臺在某時間段內(nèi)接待的服務次數(shù)X；交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y;礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù);顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目

體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù)

可以由觀測值的平均值求出。

實際問題中若干R.v.X是服從或近似服從

Poisson分布的

已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從的泊松分布，分別求（1）每分鐘內(nèi)恰好接到3次呼喚的概率；（2）每分鐘不超過4次的概率例解泊松定理

實際應用中：當n較大,p較小，np適中時，即可用泊松公式近似替換二項概率公式二項分布的泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistribution若某人做某事的成功率為1%，他重復努力400次，則至少成功一次的概率為成功次數(shù)服從二項概率有百分之一的希望，就要做百分之百的努力隨機變量的分布函數(shù)

設(shè)X為一隨機變量,則對任意實數(shù)x，(X≤x)是一個隨機事件，稱為隨機變量X的分布函數(shù)定義域為（－∞，＋∞）；值域為［０，１］。F(x)是一個普通的函數(shù)！DistributionFunction分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的性質(zhì)F(x)是單調(diào)不減函數(shù)0≤F(x)≤1,且不可能事件必然事件F(x)處處右連續(xù)分布函數(shù)F(x)的圖形F(x)是單調(diào)不減函數(shù)概率密度函數(shù)

定義

設(shè)X為一隨機變量，若存在非負實函數(shù)f(x),使對任意實數(shù)a<b，有

則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)

稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度或密度函數(shù).Probabilitydensityfunctionp.d.f.分布函數(shù)密度函數(shù)在區(qū)間上的積分=

隨機變量在區(qū)間上取值的概率概率密度函數(shù)的性質(zhì)非負性規(guī)范性密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系積分關(guān)系導數(shù)關(guān)系連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)處處連續(xù)P(X=a)=0P(aX<b)=P(a<Xb)=P(aXb)=P(a<X<b)X取值在某區(qū)間的概率等于密度函數(shù)在此區(qū)間上的定積分

連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的性質(zhì)因此，連續(xù)型隨機變量取任意指定實數(shù)值a的概率為0解Step1:利用密度函數(shù)的性質(zhì)求出

a例：已知密度函數(shù)求概率Step2:密度函數(shù)在區(qū)間的積分得到此區(qū)間的概率例：已知分布函數(shù)求密度函數(shù)（2)X

的密度函數(shù)（2）密度函數(shù)為解

解

當x1時012345yxx當1<x5時例：已知密度函數(shù)求分布函數(shù)已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)當x>5時所以0151均勻分布若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為則稱X在區(qū)間

（a，b）上服從均勻分布．記為X~U(a,b)UniformDistribution定義分布函數(shù)0abxX“等可能”地取區(qū)間（a,b）中的值，這里的“等可能”理解為：X落在區(qū)間（a,b)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的。或者說它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。0abx（）

cd