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文檔簡介
第五章平面向量向量的坐標運算第講3(第一課時)考點搜索●平面向量的基本定理及坐標運算●向量平行的充要條件●向量的坐標運算與函數(shù)(包括三角函數(shù))、解析幾何的綜合題高考猜想這一部分是向量的核心內(nèi)容,高考的一個重要命題點.選擇題、填空題重在考查數(shù)量積的概念、運算律、性質(zhì),向量的平行與垂直、夾角與距離等;解答題重在考查與幾何、三角函數(shù)、代數(shù)等結(jié)合的綜合題.一、平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系內(nèi),分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i、j作為基底,對任一向量a,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=xi+yj,則實數(shù)對(x,y)叫做向量a的直角坐標,記作a=(x,y).其中x、y分別叫做a在x軸、y軸上的坐標,a=(x,y)叫做向量a的坐標表示.
相等的向量其坐標相同,坐標相同的向量是相等的向量.二、平面向量的坐標運算
1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a±b=①_______________;2.如果A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=②______________;3.若a=(x,y),則λa=③_________;4.如果a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是④_____________.(x1±x2,y1±y2)(x2-x1,y2-y1)(λx,λy)x1y2-x2y1=0三、平面向量數(shù)量積的坐標表示
1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=⑤_____________;2.若a=(x,y),則|a|2=a·a=⑥______,|a|=⑦___________;3.若A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=⑧____________;
4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b⑨_______________;x1x2+y1y2x2+y2x1x2+y1y2=05.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ,則cosθ=⑩________________.
1.對于n個向量a1,a2,…,an,若存在n個不全為零的實數(shù)k1,k2,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立,則稱向量a1,a2,…,an是線性相關(guān)的.按此規(guī)定,能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是線性相關(guān)的實數(shù)k1,k2,k3的值依次為_________.(只需寫出一組值即可)
解:根據(jù)線性相關(guān)的定義得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0,則令k3=1,則k2=2,k1=-4,所以k1,k2,k3的一組值為-4,2,1.-4,2,12.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,則2a+3b=()A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)
解:由a∥b,得m=-4,所以2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8),故選C.C3.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b與a垂直,則λ=()A.-1B.1C.-2D.2
解:由于λa+b=(λ+4,-3λ-2),a=(1,-3),且(λa+b)⊥a,
所以(λ+4)-3(-3λ-2)=0,即10λ+10=0,
所以λ=-1,故選A.A題型1向量的坐坐標1.設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向線線段首尾尾相接能能構(gòu)成四四邊形,,求向量量d的坐標解:根據(jù)題題意,4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,即6a+4b-4c+d=0,所以d=4c-6a-4b=4(-1,-2)-6(1,-3)-4(-2,4)=(-2,-6).點評:坐標向量量的加減減運算,,按對應(yīng)應(yīng)的坐標標進行加加減運算算即可,,涉及到到已知起起點和終終點坐標標求向量量時,用用終點坐坐標減去去起點坐坐標即可可.點P在平面上上作勻速速直線運運動,速速度向量量v=(4,-3)(即點P的運動方方向與v相同,且且每秒移移動的距距離為|v|個單位長長度).設(shè)開始時點P的坐標為(-10,10),則5秒后點P的坐標為()A.(-2,4)B.(-30,25)C.(5,-10)D.(10,-5)解:設(shè)點A(-10,10),5秒后點P運動到B點,則=5v,所以=5v,所以+5v=(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).故選D.D題型2向量的模2.已知向量a=(cos23°,cos67°°),b=(cos68°,cos22°°),求|a+tb|(t∈R)的最小值.解:由已知得a=(cos23°,sin23°°),b=(sin22°,cos22°°),所以|a|=|b|=1,a·b=sin22°cos23°+cos22°sin23°°=sin45°=.所以|a+tb|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2所以當t=-時,|a+tb|min=.點評:坐標向量a=(x,y)的模是是一個非負負數(shù),涉及到到三角函數(shù)式式的運算時,,注意先將三三角函數(shù)式化化簡再求解.已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈[π,2π].求|m+n|的最大值.解:m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),因為θ∈[π,2π],所以所所以cos()≤1,所以|m+n|max=.已知a、b、c是同一平面內(nèi)內(nèi)的三個向量量,其中a=(1,2).(1)若|c|=,且c∥a,求c的坐標;(2)若|b|=,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角θ.解:(1)設(shè)c=(x,y),則|c|=又c∥a,則2x=y,所以或或所所以c=(2,4),或c=(-2,-4).題型3向量的平行與與垂直(2)因為a+2b與2a-b垂直,所以(a+2b)(2a-b)=2|a|2+3a·b-2|b|2=0.因為|b|=,|a|=,所以a·b=-所以所以a與b的夾角θ為135°.點評:兩坐標向量的的平行(或垂直)的充要條件是是將向量運算算轉(zhuǎn)化為實數(shù)數(shù)運算的依據(jù)據(jù),注意平行行與垂直的充充要條件極易易弄錯或混淆淆.1.建立平面向量量的坐標,基基礎(chǔ)是平面向向量基本定理理.因此,對所給給向量應(yīng)會根根據(jù)條件在x軸和y軸進行分解,,求出其坐標標.2.向量的坐標表表示,實際是是向量的代數(shù)數(shù)表示.在引入向量的的坐標表示后后,即可使向向量運算完全全代數(shù)化,將將數(shù)與形緊密密地結(jié)合了起起來.這樣
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