彈性力學(xué)平面問題直角坐標(biāo)解答

彈性力學(xué)平面問題直角坐標(biāo)解答按位移求解平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2）邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：（1）平衡方程（3）邊界條件：（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（平面應(yīng)力情形）按應(yīng)力求解平面問題的基本方程常體力下可以簡化：（兩種平面問題形式相同）（1）體力fx、fy轉(zhuǎn)化為面力處理。（2）——重調(diào)和方程相容方程邊界條件(在上)（多連體中，還須滿足位移單值條件）按應(yīng)力函數(shù)求解平面問題的基本方程應(yīng)力函數(shù)的求解方法：（1）逆解法；（2）半逆解法。第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答要點(diǎn)——用逆解法、半逆解法求解平面彈性力學(xué)問題?！?-1多項(xiàng)式解答§3-2位移分量的求出§3-3簡支梁受均布載荷§3-4楔形體受重力和液體壓力§3-5級(jí)數(shù)式解答§3-6簡支梁受任意橫向載荷主要內(nèi)容§3-1多項(xiàng)式解答適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)，能解決什么樣的力學(xué)問題?！娼夥ㄆ渲校篴、b、c

為待定系數(shù)。檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程：顯然φ(x,y)滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）1.一次多項(xiàng)式（2）（3）對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：若體力：fx=fy=0，則有：結(jié)論1：（1）（2）一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于無面力和無應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無影響。2.二次多項(xiàng)式（1）其中：a、b、c

為待定系數(shù)。(假定：fx=fy=0;a>0,b>0,c>0)檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù))（3）計(jì)算應(yīng)力分量：xy2c2c2a2a結(jié)論2：二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。xy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：xyxy（1）其中:a、b、c、d為待定系數(shù)。檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù))(假定：fx=fy=0)（3）計(jì)算應(yīng)力分量：結(jié)論3：三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于線性應(yīng)力分布。3.三次多項(xiàng)式討論：可算得：xy1ll圖示梁對(duì)應(yīng)的邊界條件：MM可見：——對(duì)應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力分布。常數(shù)d與彎矩M的關(guān)系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見：此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，(1)組成梁端力偶M的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3)當(dāng)l

遠(yuǎn)大于

h

時(shí)，誤差較小；反之誤差較大。說明4.四次多項(xiàng)式（1）檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程（2）代入：得可見，對(duì)于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：（3）應(yīng)力分量：——應(yīng)力分量為x、y的二次函數(shù)。（4）特例：（須滿足：a+e=0）xy總結(jié)：（多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)）（1）多項(xiàng)式次數(shù)n<4時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n≥4時(shí)，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2）一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無影響。二次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于線性分布應(yīng)力。（3）（4）用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的方法——逆解法。（注:逆解法只能解決簡單直線應(yīng)力邊界等問題）。例題1.試指出以下三個(gè)函數(shù)中哪個(gè)可作為求解平面問題的應(yīng)力函數(shù)φ(x，y)

。2.z方向（垂直于板面）很長的直角六面體，上邊界受均勻壓力p作用，底部放置在絕對(duì)剛性與光滑的基礎(chǔ)上，如圖所示。不計(jì)自重，試確定其應(yīng)力分量。xbyOh(1)將其代入相容方程，有滿足相容方程，φ1可作為應(yīng)力函數(shù)。(2)將其代入相容方程，有不滿足相容方程，φ2不可作為應(yīng)力函數(shù)。解：(3)將其代入相容方程，有當(dāng)D=0時(shí)，滿足相容方程，φ3可作為應(yīng)力函數(shù)；當(dāng)D≠0時(shí)，不滿足相容方程，φ3不可作為應(yīng)力函數(shù)。解：例題2.z方向（垂直于板面）很長的直角六面體，上邊界受均勻壓力p作用，底部放置在絕對(duì)剛性與光滑的基礎(chǔ)上，如圖所示。不計(jì)自重，試確定其應(yīng)力分量。xbyOh（1）（2）解：1確定應(yīng)力函數(shù)2確定應(yīng)力分量3由邊界條件確定待定常數(shù)代入得：上端：——滿足xbyOh左右側(cè)：——滿足下端：——滿足4最后結(jié)果：xbyOh例題圖示矩形板，長為l，高為h，體力不計(jì)，試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能解決什么問題。式中k為常數(shù)。xyOlh解：(1)應(yīng)力分量：邊界條件：顯然，上下邊界無面力作用。上下邊界(2)xyOlh左邊界k右邊界kkkl結(jié)論：可解決懸臂梁左端受集中力問題。右邊界xyOlh按應(yīng)力求解平面問題，其基本未知量為：，下一步如何由求出形變分量、位移分量？問題：§3-2位移分量的求出xyl1hMM1.形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：平面應(yīng)力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)xyl1hMM將式（c）前兩式積分，得：(d)將式(d)代入(c)中第三式，得：式中：為待定函數(shù)。整理得：（僅為x的函數(shù)）（僅為y的函數(shù)）要使上式成立，須有(e)式中：ω為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)式中：u0、v0、ω

由位移邊界條件確定。（1）討論：當(dāng)x=x0=常數(shù)——u關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。說明：

同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假設(shè)成立。xyl1hMM（2）將下式中的第二式對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即——材料力學(xué)中撓曲線微分方程2.位移邊界條件的利用（1）兩端簡支其邊界條件：將其代入(f)式，有（1）兩端簡支梁的撓曲線方程：——與材力中結(jié)果相同（2）懸臂梁邊界條件由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：（中點(diǎn)不動(dòng)）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)）(f)代入式（f），有可求得：撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果相同若取固定端邊界條件為：（中點(diǎn)不動(dòng)）（中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）此結(jié)果與前面情形有區(qū)別嗎，為什么？（作業(yè)?。┯懻摚?/p>

半逆解法針對(duì)具體問題的條件假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式應(yīng)力邊界條件、位移單值條件正確解說明應(yīng)力函數(shù):半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是數(shù)理方程的分離變量法。（1）（2）常用方法：量綱分析、對(duì)稱性應(yīng)用、材料力學(xué)初等解法等

半逆解法§3-3簡支梁受均布載荷要點(diǎn)——用半逆解法求解梁、長板類平面問題。xyllqlql1yzh/2h/2q1.應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（擠壓應(yīng)力）。又∵q=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)1.應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q(3)由確定：代入相容方程：xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點(diǎn)：關(guān)于x的二次方程，且要求－l≤x≤l內(nèi)方程均成立。由“高等代數(shù)”理論，須有x的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。即：對(duì)前兩個(gè)方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng)對(duì)第三個(gè)方程得：積分得：(d)式中含有9個(gè)待定常數(shù)。2.應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)xyllqlql1yzh/2h/2q（1）對(duì)稱條件的應(yīng)用：由q對(duì)稱、幾何對(duì)稱：——x的偶函數(shù)——x的奇函數(shù)由此得：要使上式對(duì)任意的y成立，須有：3.對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用xyllqlql1yzh/2h/2q（2）邊界條件的應(yīng)用：(a)上下邊界（主要邊界）：由此解得：xyllqlql1yzh/2h/2q(b)左右邊界（次要邊界）：（由于對(duì)稱，只考慮右邊界即可。）——難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：xyllqlql1yzh/2h/2q可見，這一條件自動(dòng)滿足。4.最后結(jié)果xyllqlql1yzh/2h/2q截面上的應(yīng)力分布：三次拋物線5.與材料力學(xué)結(jié)果比較材力中幾個(gè)參數(shù)：截面寬：b=1,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式(p)，有比較，得：（1）第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng)h/l<<1，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng)h/l較大時(shí)，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按上式，梁的左右邊界存在水平面力：說明上式在兩端不適用。xyllqlql1yzh/2h/2q應(yīng)力函數(shù)確定的“材料力學(xué)方法”要點(diǎn)：利用材料力學(xué)中截面上應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個(gè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。適用性：直梁、長板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。應(yīng)力函數(shù)?？杀硎緸椋?/p>

設(shè)法由邊界面力先確定其中之一，然后將其代入確定另外一個(gè)函數(shù)。材力中，截面上應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：式中：M(x)——彎矩方程；FS(x)——剪力方程。當(dāng)有橫向分布力q(x)作用時(shí)，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力，同時(shí)，橫向分布力q(x)的擠壓作用時(shí)，對(duì)軸向應(yīng)力也產(chǎn)生影響。應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：確定應(yīng)力函數(shù)的具體形式。懸臂梁，厚度為單位1，τ=常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù)及梁內(nèi)應(yīng)力。xyOblx例題由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系，有：例：解：(1)應(yīng)力函數(shù)的確定FSM取任意截面，其內(nèi)力如圖：取作為分析對(duì)象，可假設(shè)：（a）——f(y)為待定函數(shù)（b）對(duì)x積分一次，有：由確定待定函數(shù)：對(duì)y再積分一次，有：其中：（c）xyOblxFSM（d）要使上式對(duì)任意的x，y成立，有（e）（f）由式（e）求得（g）由式（f）得（h）（i）積分式（h）和（i）得（j）（k）(l)xyOblxFSM包含9個(gè)待定常數(shù)，由邊界條件確定。(2)應(yīng)力分量的確定(m)(3)利用邊界條件確定常數(shù)(o)代入可確定常數(shù)為：xyOblxFSM(3)最后結(jié)果注：也可利用M（x）=0，考慮進(jìn)行分析。此時(shí)有：為待定函數(shù)，由相容方程確定。xyOblxFSM利用下列問題的應(yīng)力分量形式：例題OxyOxyOxy例題圖示矩形截面簡支梁，長為l，高為h，受有三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試求其應(yīng)力分布。Oxy例：解：（1）應(yīng)力函數(shù)形式的確定梁截面上彎矩和剪力為：由材料力學(xué)方法可確定應(yīng)力分量的分離變量形式：

取應(yīng)力分量分析，——為待定函數(shù)（2）由相容方程確定待定函數(shù)Oxy代入要使上述方程對(duì)任意的x成立，有(a)(b)(c)積分式（a），得將上式代入（b）積分，得(d)(e)積分式（c），得(f)將求得的代入應(yīng)力函數(shù)，有(g)（3）計(jì)算應(yīng)力分量(h)（4）利用邊界條件確定待定常數(shù)上邊界：Oxy(i)(j)(k)下邊界：(l)(m)(n)Oxy左邊界：(o)(p)(q)聯(lián)立求解式（i）~（q）,可得具體的應(yīng)力分量。Oxy右邊界：(r)(s)(t)注：位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件。Oxy如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個(gè)小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足。則我們可以推論出，最后一個(gè)小邊界上的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進(jìn)行校核。試對(duì)此結(jié)論加以說明。思考題§3-4楔形體受重力和液體壓力要點(diǎn)——半逆解法（因次或量綱分析法）xyO問題的提出：楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的容重）；自重作用：（楔形體的容重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律。1.應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量(1)分析：(a)∵的量綱為：∴的形式應(yīng)為：的線性組合。

的量綱為：(b)由推理得：應(yīng)為x、y的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：xyO顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。(2)應(yīng)力分量考慮到：fx=0，fy=（常體力）(a)xyO2.邊界條件的利用(1)x=0（應(yīng)力邊界）：(2)（應(yīng)力邊界）：xyON其中：代入，可求得：3.最后結(jié)果——李維（Levy）解答xyO（沿水平方向的應(yīng)力分布）與材力結(jié)果比較：——沿水平方向不變，在材力中無法求得?！厮椒较蚓€性分布，與材力中偏心受壓公式算得結(jié)果相同?！厮椒较蚓€性分布，材力中為拋物線分布。xyO（沿水平方向的應(yīng)力分布）結(jié)果的適用性：（1）當(dāng)壩的橫截面變化時(shí)，不再為平面應(yīng)變問題，其結(jié)果誤差較大。（2）假定壩下端無限延伸，可自由變形。而實(shí)際壩高有限，底部與基礎(chǔ)相連，有地基約束，故底部處結(jié)果誤差較大。（3）實(shí)際壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大?！切沃亓蔚木_分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。工程應(yīng)用：——求使壩穩(wěn)定時(shí)的角度，稱為安息角。平面問題的直角坐標(biāo)解答一、多項(xiàng)式解答——逆解法二、梁、長板類彈性體應(yīng)力函數(shù)方法應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：確定應(yīng)力函數(shù)的具體形式。三、三角形板、楔形體的求解方法因次分析法（量綱分析法）：xyO(a)∵的量綱為：∴的形式應(yīng)為：的線性組合。

的量綱為：(b)由推理得：應(yīng)為x、y的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：§3-5級(jí)數(shù)式解答問題的提出級(jí)數(shù)式解答的基本思路：將應(yīng)力函數(shù)分解成關(guān)于x．y的兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積?！蛛x變量法。（——逆解法）1.級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù)假設(shè)：(a)式中：

為任意常數(shù)，其量綱為,為y的任意（待定）函數(shù)。

多項(xiàng)式形式的應(yīng)力函數(shù)求解直角坐標(biāo)平面問題只對(duì)簡單載荷或連續(xù)分布載荷的情況才適用，如果載荷比較復(fù)雜，或者是間斷載荷，一般采用三角級(jí)數(shù)法求解。復(fù)雜載荷，或者是間斷載荷，通?？梢哉归_為富氏級(jí)數(shù)。將其代入：假設(shè)：(a)式中：

為任意常數(shù)，其量綱為,為y的任意（待定）函數(shù)。有：(b)解上述方程，得其中：A、B、C、D都是任意常數(shù)，(c)再取如下應(yīng)力函數(shù)：式中：也為任意常數(shù),為y的任意（待定）函數(shù)。類似于上面的運(yùn)算，可得應(yīng)力函數(shù)的另一解：(d)顯然，將式(c)與(d)相加，仍為可作為應(yīng)力函數(shù)：(e)取和的一系列值