自控原理-課件13chap

3.6.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定條件解：D(s)=1+G(s)H(s),D(s)=0即k=0.5或10,系統(tǒng)穩(wěn)定否?例如：單位負(fù)反饋系統(tǒng)的

求K=1時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。s3+s2+s+k=0,K=1s3+s2+s+1=0s2(s+1)+s+1=0(s2+1)(s+1)=0Roots-1,+j,–j系統(tǒng)穩(wěn)定？

系統(tǒng)穩(wěn)定k的取值范圍?第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法k1/s(s+2)R(s)C(s)閉環(huán)環(huán)傳遞函數(shù)例如，某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)4.1控制系統(tǒng)的根軌跡4.1.1根軌跡的基本概念根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上的變化軌跡。第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法極點(diǎn)性質(zhì)閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)特征方程第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法K0.10.8124s1-0.005-0.4-1-1+j1.73-1+j3.87s2-1.995-1.6-1-1-j1.73-1-j3.87將特征根畫在s平面上將特征根隨增益的變化在s平面上軌跡稱為根軌跡-2-10-2jj-j-2jK=0.1k=1k=0.1K=2第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法根軌跡的作用-2-10-2jj-j-2jK=0.1k=1k=0.1K=2第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法G(s)H(s)R(s)C(s)4.1.2閉環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4.1.2閉環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4.1.2閉環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系（1）系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)由前向通道G(s)的零點(diǎn)和反饋通道H(s)的極點(diǎn)兩部分組成。單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)就是其開環(huán)零點(diǎn)。（2）系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其前向通道的根軌跡增益。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其開環(huán)根軌跡增益。（3）閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益有關(guān)。第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4.1.3根軌跡方程由特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0根軌跡方程G(s)H(s)=-1第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法模值條件幅角條件根軌跡的幅角方程是確定s平面上根軌跡的充分必要條件，這就是說，繪制根軌跡時(shí)，只需用使用幅角方程即可；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的Kg值時(shí)，才需要使用模值方程。第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法模值條件相角條件ss-20S+2-1根軌跡方程說明第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法-2-10ReImS平面第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法首先：寫出特征方程并化成零極點(diǎn)的形式系統(tǒng)2：零點(diǎn)：-0.5極點(diǎn)為0,-5Kg=2k例如：某開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為1.G(s)H(s)=k(s+3)/s(s+2)2G(s)H(s)=k(2s+1)/s(s+5)寫出根軌跡方程，求出對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。4.2根軌跡的繪制法則第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法【根軌跡性質(zhì)1】根軌跡是連續(xù)的4.2根軌跡的繪制法則【根軌跡性質(zhì)2】根軌跡關(guān)于實(shí)軸是對(duì)稱的【根軌跡性質(zhì)3】根軌跡的條數(shù)【根軌跡性質(zhì)4】根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法根軌跡始于開環(huán)的極點(diǎn)，終止于開環(huán)的零點(diǎn)。起點(diǎn)終點(diǎn)對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，一般滿足，因此有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處n-m個(gè)無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法3個(gè)無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)同理，對(duì)于例如：有三條根軌跡，無有限開環(huán)的零點(diǎn),極點(diǎn)p=0,-2,-3,1個(gè)無窮遠(yuǎn)的極點(diǎn)第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法【法則一】根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線限定了當(dāng)根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)時(shí)，根軌跡的走向與形狀。即根軌跡沿一組漸近線趨向于無窮遠(yuǎn)處的開環(huán)零點(diǎn)。與正實(shí)軸的夾角記為與實(shí)軸的交點(diǎn)記為第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法n-m=1時(shí)，n-m=2時(shí)，n-m=3時(shí)，

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法-30S平面【法則二】實(shí)軸上的根軌跡分布-2-1s右方的實(shí)數(shù)極點(diǎn)與實(shí)數(shù)零點(diǎn)的總和為奇數(shù)時(shí)，s就是根軌跡上的點(diǎn)。第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法-2-1漸進(jìn)線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)0例4-1

設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定系統(tǒng)根軌跡的條數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)、漸近線及實(shí)軸上的根軌跡分布。解

三條根軌跡，分別起始于0，-1，-2，沿漸近線區(qū)域無窮遠(yuǎn)第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法畫出下列負(fù)反饋系統(tǒng)實(shí)軸上的根軌跡和漸進(jìn)線第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法【法則三】根軌跡的分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)在復(fù)平面上，兩條或兩條以上的根軌跡相遇以后又立即分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。L為相遇根軌跡的條數(shù)在分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)上，根軌跡的切線與正實(shí)軸之間的夾角稱為根軌跡的分離角。分離角按下式計(jì)算：第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法z，p為有限開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)，無零點(diǎn)時(shí)左邊表達(dá)式為零。求例4-1的根軌跡的分離點(diǎn)分離點(diǎn)的位置可由下面幾種方法確定：

試探法、重根法、極值法（1）試探法：設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為d，則d滿足如下關(guān)系第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法解：方法1M(s)=1;N(s)=s(s+1)(s+2)=s3+3s2+2s由得S1,2=-1.577,-0.422用重根法求例4-1的根軌跡的分離點(diǎn)第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法解：由得d1d2

是否均為分離點(diǎn)嗎？d1,2=-1.577,-0.422第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法（2)重根法

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法解：由得例4-2：設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求概略的根軌跡圖。兩條根軌跡，分別起始于0和-1，其中一條終止于-2，一條沿漸近線趨于無窮遠(yuǎn)漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為1800，即漸近線沿負(fù)實(shí)軸趨于無窮遠(yuǎn)第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法解：由得畫出實(shí)軸上的根軌跡。存在分離點(diǎn)，為d,滿足d1d2

是否均為分離點(diǎn)嗎？概略畫出下列系統(tǒng)的根軌跡第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法【法則四】根軌跡與虛軸的交點(diǎn)1）在D(s)=0中，令s=jw，特征方程：1+k/s(s+1)(s+2)＝０s3+3s2+2s+k=0S312S23kS1(6-k)/3S0k(6-k)/3=0,k=62）應(yīng)用Routh判據(jù)求解，求特征方程的虛根。使Routh表發(fā)生特殊情況。（第一列的元素為零）3s2+k=0

s2=-k/3=-2s=j1.414,-j1.414第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法畫出下列負(fù)反饋系統(tǒng)實(shí)軸上的根軌跡和漸進(jìn)線第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法畫出下列負(fù)反饋系統(tǒng)實(shí)軸上的根軌跡和漸進(jìn)線根軌跡示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同學(xué)們，頭昏了吧？第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法【法則五】根軌跡的入射角和出射角-2-1-j為一對(duì)共軛開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)，在該極點(diǎn)處根軌跡的出射角為第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法-2-1-j為一對(duì)共軛開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)，在該極點(diǎn)處根軌跡的入射角為第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法-2-1-j某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為GH=k(s+1)/s(s+4)(s2+2s+2)，畫出概略的根軌跡。零點(diǎn)：-1極點(diǎn)：0，-4,–1+j,-1-j第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法零點(diǎn)：-1極點(diǎn)：0，-4,–1+j,-1-j漸進(jìn)線:n-m=3,600,1800,-6000-4-1+j-1-j-(-1)/3=-5/3出射角:第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法練習(xí)：繪制下列系統(tǒng)的根軌跡圖第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法繪制根軌跡圖的Matlab命令rlocus(num,den)或rlocus(num,den,k）計(jì)算根軌跡坐標(biāo)值和增益的命令[k,p]=rlocfind()4.3.1參數(shù)根軌跡例題:某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)參數(shù)b變化的根軌跡.只要通過對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程做簡單處理的基礎(chǔ)上，引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，則常規(guī)根軌跡的所有繪制法則，均可以用于參數(shù)根軌跡的繪制。以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，與此對(duì)應(yīng)，稱以Kg為可變參數(shù)的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。

4.3.1參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡的繪制步驟是，首先將系統(tǒng)的特征方程進(jìn)行等效變換，整理成如下形式等效開環(huán)傳遞函數(shù)繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)根軌跡的法則完全相同。4.3.1參數(shù)根軌跡解:寫出特征方程,求出等效傳遞函數(shù)。4.3參數(shù)根軌跡（參變量系統(tǒng)的根軌跡）出射角閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為4.3參數(shù)根軌跡（參變量系統(tǒng)的根軌跡）例如：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以把上式整理為如下形式例如：多項(xiàng)式方程的根軌跡4.3繪制00根軌跡根軌跡方程化為模值條件不變：相角條件為：根軌跡的漸進(jìn)線；實(shí)軸上的根軌跡；根軌跡的出射角與入射角4.3繪制00根軌跡的基本法則根軌跡的漸進(jìn)線；漸進(jìn)線與實(shí)軸夾角的計(jì)算公式為實(shí)軸上的根軌跡；實(shí)軸上右側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)數(shù)和為偶數(shù)時(shí)，則是根軌跡段。如某系統(tǒng)的根軌跡方程為：4.3繪制00根軌跡的基本法則根軌跡的出射角與入射角4.3繪制00根軌跡的基本法則例題：單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)概略的根軌跡解：寫出閉環(huán)特征方程開環(huán)的零點(diǎn)、極點(diǎn)z1=-1,p1=-2,p2=-44.3.2繪制00根軌跡的基本法則漸進(jìn)線可通過分離點(diǎn)公式求出具體坐標(biāo)值。4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法

采用根軌跡分析方法，首先根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，然后在根軌跡圖上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)定性能等。然而，在系統(tǒng)初步設(shè)計(jì)過程中，重要的方面往往不是如何求出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，而是如何根據(jù)已知的閉環(huán)零、極點(diǎn)定性地分析系統(tǒng)的性能。4.5.1閉環(huán)零極點(diǎn)與時(shí)間響應(yīng)4.5.2系統(tǒng)性能的定性分析

4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法接近虛軸，其鄰近沒有零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)用根軌跡法，根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的要求，確定系統(tǒng)在某一參數(shù)下，閉環(huán)的極點(diǎn)位置.根據(jù)閉環(huán)零極點(diǎn)定性分析系統(tǒng)的性能主導(dǎo)極點(diǎn)偶極子相距很近的零、極點(diǎn)。10相對(duì)距離<模值4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法主導(dǎo)極點(diǎn)法采用主導(dǎo)極點(diǎn)代替全部的閉環(huán)極點(diǎn)來估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)選留主導(dǎo)極點(diǎn)，略去不十分接近原點(diǎn)的偶極子，以及比主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸遠(yuǎn)6倍以上的閉環(huán)零、極點(diǎn)。4.5.2系統(tǒng)性能的定性分析（1）穩(wěn)定性（2）運(yùn)動(dòng)形態(tài)（3）阻尼性（4）快速性在根軌跡圖上獲得4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法參看例題4-11解：繪制概略根軌跡圖，計(jì)算d=-1,Kd=4,Kw=54（1）穩(wěn)定性（2）運(yùn)動(dòng)形態(tài)（3）阻尼性（4）快速性4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法通過改變根軌跡圖來改變閉環(huán)極點(diǎn)分布(1)開環(huán)零極點(diǎn)的影響（2）偶級(jí)子的影響（3）參看例題4-124.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法開環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法設(shè)某閉環(huán)系統(tǒng)的原開環(huán)傳遞函數(shù)為，其根軌跡如圖4-22所示。當(dāng)在以下三種情況下，討論閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡和控制系統(tǒng)性能有哪些變化？（1）增加開環(huán)極點(diǎn)（2）增加開環(huán)實(shí)零極點(diǎn)（3）增加一對(duì)開環(huán)偶極子4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法解（1）增加開環(huán)極點(diǎn)如給G0(s)附加一個(gè)原點(diǎn)極點(diǎn)，即串接一個(gè)積分環(huán)節(jié),則開環(huán)傳遞函數(shù)為4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法（2）增加開環(huán)零點(diǎn)在原開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)一個(gè)s=-3的零點(diǎn)后,開環(huán)傳遞函數(shù)成為4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法（3）增加開環(huán)偶極子在s平面原點(diǎn)附近的負(fù)實(shí)軸上增加一對(duì)開環(huán)偶極子，并使z0=γp0,γ>1(即零點(diǎn)在極點(diǎn)的左邊)。則可基本不改變?cè)壽E的形狀，而使系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)提高到原來的γ倍，即若取p0=0.02，γ=5，z0=0.1，其根軌跡如圖4-25所示開環(huán)增益增加了5倍。4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法

(開環(huán)偶極子對(duì)根軌跡的影響)在開環(huán)傳遞函數(shù)中,合理配置偶極子,可改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能.不影響根軌跡的形狀不影響根軌跡點(diǎn)的根軌跡增益4.5參數(shù)根軌跡在比例微分控制中，分析當(dāng)K=0.25,1,5,10時(shí)，Ta對(duì)系統(tǒng)性能的影響。閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)k=0.254.5參數(shù)根軌跡在根軌跡上，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能當(dāng)k=1當(dāng)k=10當(dāng)k=5第四章習(xí)題簡答··4-3繪制下列系統(tǒng)負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡，開環(huán)傳遞函數(shù)為解：m=0,無開環(huán)零點(diǎn)

n=4,開環(huán)極點(diǎn)p1=0,p2=-2,p3=-1+j,p4=-1-j漸進(jìn)線：交點(diǎn)-1,交角450，1350，-1350，-450分離點(diǎn)：d=-1第四章習(xí)題簡答··4-3繪制下列系統(tǒng)負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡，開環(huán)傳遞函數(shù)為解：m=1,開環(huán)零點(diǎn)z=-2

n=4,開環(huán)極點(diǎn)p1=0,p2=-3,p3=-1+j,p4=-1-j漸進(jìn)線：交點(diǎn)-1,交角600，1800，-600出射角

：-26.70,26.70第四章習(xí)題簡答··4-6繪制下列系統(tǒng)負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡，開環(huán)傳遞函數(shù)為解：化為根軌跡的標(biāo)準(zhǔn)形式漸進(jìn)線：分離點(diǎn)

：d=-0.422,與虛軸的交點(diǎn)：k=3,s=j1.414系統(tǒng)穩(wěn)定：0<k<3第四章習(xí)題簡答··若阻尼=0.5，求系統(tǒng)的性能指標(biāo)在根軌跡上找出閉環(huán)極點(diǎn)s1及對(duì)應(yīng)的其他極點(diǎn)第四章習(xí)題簡答··4-7單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫根軌跡（2）分析k對(duì)系統(tǒng)性能的影響，求最小阻尼比所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)解：分離點(diǎn)

：d=-0.無需計(jì)算與虛軸的交點(diǎn)第四章習(xí)題簡答··最小阻尼比根據(jù)幾何關(guān)系求出根軌跡上閉環(huán)極點(diǎn)s1第四章習(xí)題簡答··4-10在負(fù)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（1）畫根軌跡，討論穩(wěn)定性（2）H(s)=1+2s,分析H對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.解：m=0,無開環(huán)零點(diǎn)

n=4,開環(huán)極點(diǎn)p1=0,p2=0,p3=-2,p4=-5漸進(jìn)線：交點(diǎn)-7/3,交角（度）45，135，-135，-45分離點(diǎn)：d=-4第四章習(xí)題簡答··第四章習(xí)題簡答··解：m=1,開環(huán)零點(diǎn)z=-0.5

n=4,開環(huán)極點(diǎn)

p1=0,p2=0,p3=-2,p4=-5漸進(jìn)線：交點(diǎn)-6.5/3,交角600，1800，-600計(jì)算與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定：0<k<22.45第四章習(xí)題已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為