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第三章數(shù)列數(shù)列的概念第講1考點(diǎn)搜索●數(shù)列的概念●數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法●用函數(shù)的觀點(diǎn)理解數(shù)列高考猜想以遞推數(shù)列、新情境下的數(shù)列為載體,重點(diǎn)考查數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì),是近年來高考的熱點(diǎn),也是考題難點(diǎn)之所在.一、數(shù)列的定義1.按①
排成的一列數(shù)叫做數(shù)列,其一般形式為a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.2.數(shù)列是一種特殊的函數(shù),其特殊性表現(xiàn)在它的定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集,因此它的圖象是②
.一定順序一群孤立的點(diǎn)二、數(shù)列的通項(xiàng)公式一個數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系,如果可以用一個公式an=f(n)來表示,我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、數(shù)列的分類1.按照項(xiàng)數(shù)是有限還是無限來分:有窮數(shù)列、無窮數(shù)列.2.按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系來分:遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.3.按照任何一項(xiàng)的絕對值是否都不大于某一正數(shù)來分:有界數(shù)列、無界數(shù)列.四、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系:1.Sn=③
(用an表示).2.an=④
(用Sn表示).Sn(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)a1+a2+a3+…+an1.已知數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式分別是:an=an+2,bn=bn+1(a,b是常數(shù)),且a>b.那么兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項(xiàng)的個數(shù)是()A.0個B.1個C.2個D.無窮多個an=bnan+2=bn+1(a-b)n=-1.由于a>b,n∈N*.所以(a-b)n=-1無解.故選A.A2.已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,則a5等于()A.B.C.4D.5a1=1,a2=3,an=an-1+(n≥3)A3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k等于()A.9B.8C.7D.6因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,所以,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-10;當(dāng)n=1時,a1=S1=-8,滿足上式,故an=2n-10(n∈N*).故選B.題型型1:根根據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)列列前前幾幾項(xiàng)項(xiàng)寫寫出出數(shù)數(shù)列列的的一一個個通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式題型型2:運(yùn)運(yùn)用用an與Sn的關(guān)關(guān)系系解解題題2.(原創(chuàng)創(chuàng))設(shè)數(shù)數(shù)列列{an}的前前n項(xiàng)和和為為Sn,分分別別在在下下列列條條件件下下求求數(shù)數(shù)列列{an}的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式.(1)an+Sn=2;(2)(1)當(dāng)n=1時,,a1+a1=2,解解得得a1=1.當(dāng)n≥2時,,由由an+Sn=2,得得an-1+Sn-1=2.此兩兩式式相相減減得得2an-an-1=0,即即所以以{an}是首首項(xiàng)項(xiàng)為為1,公比比為為的的等等比比數(shù)數(shù)列列,,即即由于于n=1時,,也也符符合合上上式式,,所以以數(shù)數(shù)列列{an}的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式是是(n∈N*).(2)當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1,所以Sn-Sn-1=Sn·Sn-1,所以所以數(shù)列列為為等差差數(shù)列.所以,所以當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1所以an=(n∈N*,且n≥2).【點(diǎn)評】:由數(shù)列的的前n項(xiàng)和Sn得an的關(guān)系是是:an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n∈N*,且n≥2).一般分n=1與n≥2進(jìn)行討論,,如果n=1時的通項(xiàng)公公式也符合合n≥2的式子,則則可以合并并成一個通通項(xiàng)公式,,如果不能能合并,則則按分段形形式寫結(jié)論論.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,分別在下下列條件下下求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式式.(1)Sn=3n-2;(2)Sn=n2+2n.(1)當(dāng)n=1時,a1=S1=1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2·3n-1.由于a1=1不適合上式式,因此數(shù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式式為an=1(n=1)2·3n-1(n∈N*,且n≥2).(2)當(dāng)n=1時,a1=S1=3;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.因?yàn)閍1=3滿足上式,,所以數(shù)列列{an}的通項(xiàng)公式式為an=2n+1(n∈N*).題型3:由遞推關(guān)關(guān)系式求通通項(xiàng)公式3.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n依題意得a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3,①a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=
(n≥2),②由①-②得所以驗(yàn)證n=1時也滿足足上式,,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公公式為(n∈N*).【點(diǎn)評】:數(shù)列是特特殊的函函數(shù),數(shù)數(shù)列的遞遞推關(guān)系系式反映映的就是是函數(shù)的的一個對對應(yīng)關(guān)系系.如果已知知的是n=k時的命題題,則n=k-1(k≥2)時的命題題,或n=1時的命題題的相應(yīng)應(yīng)形式我我們應(yīng)該該能準(zhǔn)確確的寫出出來,然然后由這這些式子子經(jīng)過加加減等運(yùn)運(yùn)算得到到我們所所需要的的遞推關(guān)關(guān)系式或或通項(xiàng)公公式.數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+a設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=n2·an.所以當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,所以所以1.根據(jù)數(shù)列列的前面面幾項(xiàng),,寫出它它的一個個通項(xiàng)公公式,關(guān)關(guān)鍵在于于找出這這些項(xiàng)(a1,a2,a3,…)與項(xiàng)數(shù)(1,2,3,…)之間的關(guān)關(guān)系,常常用方法法有觀察察法、逐逐項(xiàng)法、、轉(zhuǎn)化為為特殊數(shù)數(shù)列法等等.2.利用Sn與an的關(guān)系求求通項(xiàng)是是一個重重要內(nèi)容容,應(yīng)注注意Sn與an間關(guān)系的的靈活運(yùn)運(yùn)用,同同時要注注意a1并不一定定能統(tǒng)一一到an中去.3.已知數(shù)列列的遞推推關(guān)系式式求數(shù)列列的通項(xiàng)項(xiàng)公式,,解此類類題型
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