一元二次方程綜合培優(yōu)(難度大-含參考題答案)

...wd......wd......wd...一元二次方程拓展提高題1、，那么的值是.2、，那么.3、假設(shè)，且，，那么.4、方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式.5、，那么y的最大值為.6、，，，那么〔〕A、B、C、D、7、，，那么.8、，那么.9、，，那么.10、假設(shè)方程的二根為，，且，，那么()A、小于1B、等于1C、大于1D、不能確定11、是方程的一個(gè)根，那么的值為.12、假設(shè)，那么〔〕A、2011B、2010C、2009D、200813、方程的解為.14、，那么的最大值是〔〕A、14B、15C、16D、1815、方程恰有3個(gè)實(shí)根，那么〔〕A、1B、1.5C、2D、2.516、方程的全體實(shí)數(shù)根之積為〔〕A、60B、C、10D、17、關(guān)于x的一元二次方程〔a為常數(shù)〕的兩根之比，那么〔〕A、1B、2C、D、18、是、方程的兩個(gè)實(shí)根，那么.19、假設(shè)關(guān)于x的方程只有一解，求a的值。中考真題1、假設(shè)，那么的值為〔〕2、實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，且，那么的值為〔〕A、1B、3C、－3D、103、實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程，那么y最大值為〔〕A、B、C、D、不存在4、方程的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是〔〕A、2B、3C、4D、55、關(guān)于x的方程的兩根分別為和1，那么方程的兩根為〔〕A、和1B、和1C、和D、和6、實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足，記，那么u的取值范圍是〔〕A、B、C、D、7、實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足，，那么.9、方程的兩實(shí)根的平方和等于11，k的取值是〔〕A、或1B、C、1D、310、設(shè)a，b是整數(shù)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么.13、方程的一根小于，另外三根皆大于，求a的取值范圍。14、關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，且，試問(wèn)：y值是否有最大值或最小值，假設(shè)有，試求出其值，假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。15、求所有有理數(shù)q，使得方程的所有根都是整數(shù)。一元二次方程培優(yōu)題及參考答案1、，那么的值是〔D〕A、2001B、2002C、2003D、2004答案：D解析：由得：歸納：此題解決的方法是通過(guò)降次到達(dá)化簡(jiǎn)的目的。2、，那么.答案：2002解析：由得：，，原式歸納：此題解決的方法是通過(guò)降次到達(dá)化簡(jiǎn)的目的。3、假設(shè)，且，，那么.答案：解析：由得：∵，即∴把a(bǔ)和作為一元二次方程的兩根∴歸納：此題是通過(guò)構(gòu)造一元二次方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題。4、方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式.答案：2考點(diǎn)：根的判別式。分析：由方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，得，求的a的范圍，然后根據(jù)此范圍化簡(jiǎn)代數(shù)式。解答：解：∵方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根∴，即，，得那么代數(shù)式歸納：此題考察了一元二次方程根的判別式。當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。同時(shí)考察了一元二次不等式的解法、二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的意義。5、，那么y的最大值為.答案：考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值。專(zhuān)題：計(jì)算題；換元法．分析：此題只需先令，用x表示t，代入求y關(guān)于t的二次函數(shù)的最值即可。解答：令，那么又，且y關(guān)于t的二次函數(shù)開(kāi)口向下，那么在處取得最大值即y最大值為，即歸納：此題考察了二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是采用換元法，將用t來(lái)表示進(jìn)展解題比較簡(jiǎn)便。6、，，，那么〔〕A、B、C、D、答案：B考點(diǎn)：根的判別式。專(zhuān)題：綜合題。分析：由，，，得到a，b兩個(gè)負(fù)數(shù)，再由，，這樣可以把a(bǔ)，b看作方程的兩根，根據(jù)根的判別式得到，解得，然后由得到.解答：∵，，∴，，∴，∴可以把a(bǔ)，b看作方程∴，解得∴，即點(diǎn)評(píng)：此題考察了一元二次方程根的判別式：如方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么．也考察了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及絕對(duì)值的含義。7、，，那么.答案：0考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方。分析：此題乍看下無(wú)法代數(shù)求值，也無(wú)法進(jìn)展因式分解；但是將的兩個(gè)式子進(jìn)展適當(dāng)變形后，即可找到此題的突破口。由可得；將其代入得：；此時(shí)可發(fā)現(xiàn)正好符合完全平方公式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b、c的值，進(jìn)而可求得a的值；然后代值運(yùn)算即可。解答：∵∴又∵∴，即∴，∴∴歸納：此題既考察了對(duì)因式分解方法的掌握，又考察了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法．8、，那么.答案：考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用。專(zhuān)題：整體思想。分析：根據(jù)條件可得到，然后整體代入代數(shù)式求值計(jì)算即可。解答：∵∴∴原式點(diǎn)評(píng)：這里注意把要求的代數(shù)式進(jìn)展局部因式分解，根據(jù)條件，整體代值計(jì)算。9、，，那么.答案：0考點(diǎn)：拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配方、待定系數(shù)法。專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：先將字母b表示字母a，代入，轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，從而得到的值。解答：∵∴代入，可得〔，即∴，∴∴歸納：此題既考察了對(duì)因式分解方法的掌握，又考察了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法。解題關(guān)鍵是將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式。10、假設(shè)方程的二根為，，且，，那么()A、小于1B、等于1C、大于1D、不能確定答案：A考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：方程的二根為，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及條件即可求解。解答：∵方程的二根為，∴，∵，∴∴∴∵∴歸納：此題考察了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于根基題，關(guān)鍵掌握，是方程的兩根時(shí)，，．11、是方程的一個(gè)根，那么的值為.答案：考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用。專(zhuān)題：整體思想。分析：根據(jù)條件可得到，即然后整體代入代數(shù)式求值計(jì)算即可。解答：∵是方程的一個(gè)根∴，即∴原式點(diǎn)評(píng)：這里注意把要求的代數(shù)式進(jìn)展局部因式分解，根據(jù)條件，整體代值計(jì)算。12、假設(shè)，那么〔〕A、2011B、2010C、2009D、2008答案：B考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用．專(zhuān)題：計(jì)算題；整體思想．分析：將化簡(jiǎn)為，整體代入變形的式子，計(jì)算即可求解．解答：∵，即∴歸納：此題考察因式分解的運(yùn)用，注意運(yùn)用整體代入法求解。13、方程的解為.答案：考點(diǎn)：利用方程的同解原理解答。專(zhuān)題：計(jì)算題。解答：兩邊同時(shí)平方得：整理得：再平方得：解得：歸納：此題考察將無(wú)理方程通過(guò)平方的方式轉(zhuǎn)化為有理方程解答。14、，那么的最大值是〔〕A、14B、15C、16D、18答案：B考點(diǎn)：完全平方公式。分析：由得代入，通過(guò)二次函數(shù)的最值，求出它的最大值。解答：化為，，故二次函數(shù)開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)表達(dá)式取得最大值由于所以時(shí)此時(shí)，表達(dá)式取得最大值：15點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題，考察曲線與方程的關(guān)系，直接利用圓錐曲線解答比較麻煩，利用轉(zhuǎn)化思想使此題的解答比較簡(jiǎn)潔，注意二次函數(shù)閉區(qū)間是的最大值的求法。15、方程恰有3個(gè)實(shí)根，那么〔〕A、1B、1.5C、2D、2.5答案：C考點(diǎn)：解一元二次方程-公式法；絕對(duì)值；一元二次方程的解。專(zhuān)題：解題方法。分析：因?yàn)榉匠讨袔в薪^對(duì)值符號(hào)，所以討論方程的根分兩種情況：當(dāng)時(shí)，原方程為；當(dāng)時(shí)，原方程為．解答：當(dāng)時(shí)，原方程為：，化為一般形式為：用求根公式得：當(dāng)時(shí)，原方程為：，化為一般形式為：用求根公式得：∵方程的根恰為3個(gè)，而當(dāng)時(shí)，方程的3個(gè)根分別是，，．歸納：此題考察未知數(shù)的取值范圍，以確定字母系數(shù)m的值。16、方程的全體實(shí)數(shù)根之積為〔〕A、60B、C、10D、答案：A考點(diǎn)：換元法解分式方程。專(zhuān)題：換元法。分析：設(shè)，原方程化成，再整理成整式方程求解即可。解答：設(shè)，那么∴，解得，當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得或∴歸納：此題考察了用換元法解分式方程，解次題的關(guān)鍵是把看成一個(gè)整體來(lái)計(jì)算，即換元法思想。17、關(guān)于x的一元二次方程〔a為常數(shù)〕的兩根之比，那么〔〕A、1B、2C、D、答案：C考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及求解。解答：設(shè)的兩根分別為，，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，∴，∴歸納：此題考察了用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題，關(guān)鍵是利用公式巧妙變形。18、是、方程的兩個(gè)實(shí)根，那么.答案：5考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；代數(shù)式求值；完全平方公式。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：由方程的根的定義，可知，移項(xiàng)，得，兩邊平方，整理得①；由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知②；將①②兩式分別代入，即可求出其值。解答：∵是方程的根∴∴∴又∵、方程的兩個(gè)實(shí)根∴∴歸納：此題主要考察了方程的根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。難度中等。關(guān)鍵是利用方程根的定義及完全平方公式將所求代數(shù)式降次，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解。19、假設(shè)關(guān)于x的方程只有一解，求a的值。答案：或考點(diǎn)：解分式方程。分析：先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，“只有一個(gè)解〞內(nèi)涵豐富，在全面分析的根基上求出a的值。解答：原方程化為①〔1〕當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)解，〔2〕當(dāng)時(shí)，方程①，總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由題意知必有一個(gè)根是原方程的增根，從原方程知增根只能是0或1，顯然0不是①的根，故，得．綜上可知當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)解，，時(shí)，．歸納：此題考察了解分式方程。注意：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價(jià)轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個(gè)解，可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個(gè)解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個(gè)解，而其中一個(gè)是原方20、二次函數(shù)滿(mǎn)足且對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求的解析式?？键c(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題；函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)的性質(zhì)。專(zhuān)題：綜合題。分析：取，由，能夠求出的值；由，知，所以，由，對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，知，即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，由此能求出的表達(dá)式。解答：解：〔1〕∵二次函數(shù)滿(mǎn)足且∴取，得所以∴∴∵，對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立∴對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立∴∴∵，∴∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立∴點(diǎn)評(píng)：此題考察二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考察函數(shù)解析式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)恒成立條件的靈活運(yùn)用。21、.〔1〕對(duì)任意，，當(dāng)有，求證：兩個(gè)不相等的實(shí)根且有一根在〔，〕內(nèi)?！?〕假設(shè)在〔，〕內(nèi)有一根為m且.假設(shè)的對(duì)稱(chēng)軸為.求證：.考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)．專(zhuān)題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．分析：〔1〕通過(guò)計(jì)算一元二次方程的判別式大于0，可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；設(shè)方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，由，可得方程有一個(gè)根屬于〔，〕．〔2〕由題意可得，即，由于，故，由證得結(jié)論。解答：證明：〔1〕∵∴整理得：∴∵∴∵故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根令那么又那么故方程有一根在〔，〕內(nèi)?！?〕∵方程在〔，〕內(nèi)有一根為m∴∴∵∴故點(diǎn)評(píng)：此題考察一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，等差數(shù)列的性質(zhì)，表達(dá)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。一元二次方程成都四中考試真題1、假設(shè)，那么的值為〔〕A、3B、4C、5D、6答案：4考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用。專(zhuān)題：整體思想。解答：∵∴歸納：此題關(guān)鍵是將作為整體，然后將進(jìn)展因式分解變形解答。2、實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，且，那么的值為〔〕A、1B、3C、－3D、10答案：D解析：由得：，即，∵，即∴把和作為一元二次方程的兩根∴，，即∴歸納：此題是通過(guò)構(gòu)造一元二次方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題。3、實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程，那么y最大值為〔〕A、B、C、D、不存在答案：B考點(diǎn)：根的判別式。專(zhuān)題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想。分析：先把方程變形為關(guān)于x的一元二次方程，由于此方程有解，所以，這樣得到y(tǒng)的不等式，解此不等式，得到y(tǒng)的取值范圍，然后找到最大值。解答：把看作為關(guān)于x的，并且此方程有解，所以，即∴，∴故y的最大值是點(diǎn)評(píng)：此題考察了一元二次方程〔，a，b，c為常數(shù)〕根的判別式。當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。同時(shí)考察了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用和一元二次不等式的解。4、方程的正根的個(gè)數(shù)為〔〕A、3個(gè)B、2個(gè)C、1個(gè)D、0個(gè)答案：D考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象。分析：此題實(shí)質(zhì)是求函數(shù)和函數(shù)的圖象在一、四象限有沒(méi)有交點(diǎn)，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)情況，直接判斷。解答：設(shè)函數(shù)，函數(shù)∵函數(shù)的圖象在一、三、四象限，開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，1〕，對(duì)稱(chēng)軸函數(shù)的圖象在一、三象限；而兩函數(shù)在第一象限沒(méi)有交點(diǎn)，交點(diǎn)在第三象限即方程的正根的個(gè)數(shù)為0個(gè)。歸納：此題用函數(shù)知識(shí)解答比較容易，主要涉及二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的有關(guān)性質(zhì)，同學(xué)們應(yīng)該熟記且靈活掌握。5、方程的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是〔〕A、2B、3C、4D、5答案：C考點(diǎn)：零指數(shù)冪。專(zhuān)題：分類(lèi)討論。分析：方程的右邊是1，有三種可能，需要分類(lèi)討論。第1種可能：指數(shù)為0，底數(shù)不為0；第2種可能：底數(shù)為1；第3種可能：底數(shù)為，指數(shù)為偶數(shù)。解答：〔1〕當(dāng)，時(shí)，解得；〔2〕當(dāng)時(shí)，解得或1；〔3〕當(dāng)，為偶數(shù)時(shí)，解得因而原方程所有整數(shù)解是，，1，共4個(gè)。點(diǎn)評(píng)：此題考察了：〔a是不為0的任意數(shù)〕以及1的任何次方都等于1。此題容易遺漏第3種可能情況而導(dǎo)致誤選B，需特別注意。6、關(guān)于x的方程的兩根分別為和1，那么方程的兩根為〔〕A、和1B、和1C、和D、和答案：B考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．分析：因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根為和1，所以方程可以方程因式為，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。解答：∵的兩根為和1∴整理得：∴，把b，c代入方程，得：∴，歸納：此題考察的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的兩根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c，然后把b，c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。7、實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足，記，那么u的取值范圍是〔〕A、B、C、D、答案：A考點(diǎn)：完全平方公式。專(zhuān)題：綜合題。分析：把原式的xy變?yōu)椋鶕?jù)完全平方公式特點(diǎn)化簡(jiǎn)，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范圍；再把原式中的xy變?yōu)椋淼玫絰y的另一個(gè)范圍，求出兩范圍的公共局部，然后利用不等式的基本性質(zhì)求出的范圍，最后利用表示出，代入到u中得到，的范圍即為u的范圍。解答：由得：即，那么由得：即，那么∴∴不等式兩邊同時(shí)乘以得：兩邊同時(shí)加上2得：，即∵∴∴那么u的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：此題考察了完全平方公式，以及不等式的基本性質(zhì)，解題時(shí)技巧性比較強(qiáng)，對(duì)的式子進(jìn)展了三次恒等變形，前兩次利用拆項(xiàng)法拼湊完全平方式，最后一次變形后整體代入確定出u關(guān)于xy的式子，從而求出u的范圍。要求學(xué)生熟練掌握完全平方公式的構(gòu)造特點(diǎn)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們乘積的2倍等于兩數(shù)和或差的平方．8、實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足，，那么.考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。分析：根據(jù)題意：由得：；由得：，又因?yàn)椋?，因此可以把，作為一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：.解答：∵，∴，∵∴∴把，作為一元二次方程的兩根∴歸納：此題考察的是用構(gòu)造一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系解答問(wèn)題，此題的關(guān)鍵是利用進(jìn)展變形是關(guān)鍵所在，不要無(wú)視了這個(gè)條件隱含的題意。9、方程的兩實(shí)根的平方和等于11，k的取值是〔〕A、或1B、C、1D、3答案：C考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式。分析：由題意設(shè)方程兩根為，，得，，然后再根據(jù)兩實(shí)根的平方和等于11，從而解出k值。解答：設(shè)方程兩根為，得，，∴∵∴∴解得或∴歸納：此題應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題，利用兩根的和與兩根的積表示兩根的平方和，把求未知系數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題。10、設(shè)a，b是整數(shù)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么.答案：考點(diǎn)：一元二次方程的解；二次根式的化簡(jiǎn)求值。專(zhuān)題：方程思想。分析：一個(gè)根代入方程，得到a，b等式，再由a，b是整數(shù)，可以求出a，b的值。解答：，把代入方程有：∵a，b是整數(shù)∴∴∴歸納：此題考察的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由a，b是整數(shù)就可以求出a，b的值。11、函數(shù)，〔b，c為常數(shù)〕，這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的兩點(diǎn)A〔，0〕和B〔，0〕且滿(mǎn)足.〔1〕求證：〔2〕假設(shè)，試比較與的大小，并加以證明。考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)。專(zhuān)題：證明題；探究型。分析：〔1〕首先利用求根公式求出x的值，再由求解；〔2〕推出．根據(jù)推出答案。解答：證明：〔1〕∵令中得到∴又∴∴∴〔2〕由∴∴∴∵∴∵∴∴∴即歸納：綜合考察了二次函數(shù)的求根公式、用函數(shù)的觀點(diǎn)看不等式等知識(shí)。12、關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和，并且拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)〔2，0〕的兩旁。〔1〕求實(shí)數(shù)a的取值范圍；〔2〕當(dāng)時(shí)，求a的值。考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)；根與系數(shù)的關(guān)系。.分析：〔1〕由一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0和根的判別式求出a的取值范圍。設(shè)