2022屆河北省廊坊市六校聯(lián)考高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.對于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A.2 B.3 C.3.5 D.42.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形3.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.在中,“”是“”成立的必要不充分條件C.“若,則”是真命題D.存在,使得成立4.已知橢圓,直線與直線相交于點,且點在橢圓內(nèi)恒成立,則橢圓的離心率取值范圍為()A. B. C. D.5.函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.如圖所示,三國時代數(shù)學家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影),設直角三角形有一個內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒(大小忽略不計,?。?,則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.20 B.27 C.54 D.647.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項公式()A. B. C. D.8.上世紀末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1),充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數(shù)學水平,也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意圖,圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計),夏至(或冬至)日光(當日正午太陽光線)與春秋分日光(當日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知,黃赤交角近1萬年持續(xù)減小,其正切值及對應的年代如下表:黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息,通過計算黃赤交角,可估計該骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年9.如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.10.設,則復數(shù)的模等于()A. B. C. D.11.已知冪函數(shù)的圖象過點,且,,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.12.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,其中,.且,則集合中所有元素的和為_________.14.已知雙曲線的左右焦點為,過作軸的垂線與相交于兩點,與軸相交于.若,則雙曲線的離心率為_________.15.將函數(shù)的圖像向右平移個單位,得到函數(shù)的圖像,則函數(shù)在區(qū)間上的值域為__________.16.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù).(Ⅰ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(參考數(shù)據(jù):)18.(12分)某校共有學生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學生每周平均體育鍛煉時間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學生每周平均體育鍛煉時間(單位:小時).(1)應抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表:時間(小時)[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時,請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關”?男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.(12分)已知數(shù)列滿足對任意都有,其前項和為,且是與的等比中項,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知數(shù)列滿足,,設數(shù)列的前項和為,求大于的最小的正整數(shù)的值.20.(12分)已知頂點是坐標原點的拋物線的焦點在軸正半軸上,圓心在直線上的圓與軸相切,且關于點對稱.(1)求和的標準方程;(2)過點的直線與交于,與交于,求證:.21.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列的前項和為,證明:.22.(10分)設數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為,故選:C.【點睛】本題考查中位數(shù)的計算,屬基礎題.2.B【解析】

化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)的應用,兩角差的正弦公式的應用,解題的關鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎題.3.C【解析】

A:否命題既否條件又否結(jié)論,故A錯.B:由正弦定理和邊角關系可判斷B錯.C:可判斷其逆否命題的真假,C正確.D:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解:A:“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯.B:在中,,故“”是“”成立的必要充分條件,故B錯.C:“若,則”“若,則”,故C正確.D:由冪函數(shù)在遞減,故D錯.故選:C【點睛】考查判斷命題的真假,是基礎題.4.A【解析】

先求得橢圓焦點坐標,判斷出直線過橢圓的焦點.然后判斷出,判斷出點的軌跡方程,根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式,化簡后求得離心率的取值范圍.【詳解】設是橢圓的焦點,所以.直線過點,直線過點,由于,所以,所以點的軌跡是以為直徑的圓.由于點在橢圓內(nèi)恒成立,所以橢圓的短軸大于,即,所以,所以雙曲線的離心率,所以.故選:A【點睛】本小題主要考查直線與直線的位置關系,考查動點軌跡的判斷,考查橢圓離心率的取值范圍的求法,屬于中檔題.5.B【解析】

對分類討論,當,函數(shù)在單調(diào)遞減,當,根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì),求出單調(diào)遞增區(qū)間,即可求解.【詳解】當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,的遞增區(qū)間是,所以,即.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性,熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關鍵,屬于基礎題.6.B【解析】

設大正方體的邊長為,從而求得小正方體的邊長為,設落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,利用概率模擬列方程即可求解?!驹斀狻吭O大正方體的邊長為,則小正方體的邊長為,設落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,則,解得:故選:B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應用,考查計算能力,屬于基礎題。7.A【解析】

利用數(shù)列的遞推關系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用,數(shù)列累加法以及通項公式的求法,考查計算能力.8.D【解析】

先理解題意,然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形,在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,即可得到正確選項.【詳解】解:由題意,可設冬至日光與垂直線夾角為,春秋分日光與垂直線夾角為,則即為冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,將圖3近似畫出如下平面幾何圖形:則,,.,估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.故選:.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力,運用了兩角和與差的正切公式,考查了轉(zhuǎn)化思想,數(shù)學建模思想,以及數(shù)學運算能力,屬中檔題.9.C【解析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖,結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示:由圖可知,該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體,該幾何體的體積為.故選:C.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積,考查空間想象能力與計算能力,屬于基礎題.10.C【解析】

利用復數(shù)的除法運算法則進行化簡,再由復數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因為,所以,由復數(shù)模的定義知,.故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算法則和復數(shù)的模;考查運算求解能力;屬于基礎題.11.A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù),根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì),以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意,得,故,故,,,則.故選:A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查推理論證能力,屬基礎題.12.C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進而可得出結(jié)果.【詳解】對于A選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對于B選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對于C選項,函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);對于D選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷,熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關鍵,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2889【解析】

先計算集合中最小的數(shù)為,最大的數(shù),可得,求和即得解.【詳解】當時,集合中最小數(shù);當時,得到集合中最大的數(shù);故答案為:2889【點睛】本題考查了數(shù)列與集合綜合,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.14.【解析】

由已知可得,結(jié)合雙曲線的定義可知,結(jié)合,從而可求出離心率.【詳解】解:,,又,則.,,,即解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關鍵是根據(jù)幾何關系,分析出.關于圓錐曲線的問題,一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì),可大大減少計算量.15.【解析】

根據(jù)圖像的平移變換得到函數(shù)的解析式,再利用整體思想求函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個單位得,,,.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移變換、值域的求解,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意整體思想的運用.16.【解析】

求導得到,討論和兩種情況,計算時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案?!驹斀狻恳驗椋?,因為,所以.當,即時,,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當,即時,因為在上單調(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】

(Ⅰ)先求導,得,已知導函數(shù)單調(diào)遞增,又在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,令,求得,討論得,而,故,進而得解;(Ⅱ)可通過必要性探路,當時,由知,又由于,則,當,,結(jié)合零點存在定理可判斷必存在使得,得,,化簡得,再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證;【詳解】(Ⅰ)的定義域為.易知單調(diào)遞增,由題意有.令,則.令得.所以當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增,而,,因此必存在使得,即.且當時,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增;則.綜上,的最大值為3.【點睛】本題考查導數(shù)的計算,利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值,屬于中檔題18.(1)男生人數(shù)為人,女生人數(shù)55人.(2)列聯(lián)表答案見解析,有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關.【解析】

(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表,先求出二聯(lián)表中數(shù)值,再結(jié)合公式計算,利用表格數(shù)據(jù)對比判斷即可【詳解】(1)因為男生人數(shù):女生人數(shù)=900:1100=9:11,所以男生人數(shù)為,女生人數(shù)100﹣45=55人,(2)由頻率頻率直方圖可知學生每周平均體育鍛煉時間超過2小時的人數(shù)為:(1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05)×100=75人,每周平均體育鍛煉時間超過2小時的女生人數(shù)為37人,聯(lián)表如下:男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時71825每周平均體育鍛煉時間超過2小時383775總計4555100因為3.892>3.841,所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關.【點睛】本題考查分層抽樣,獨立性檢驗,熟記公式,正確計算是關鍵,屬于中檔題.19.(1)(2)4【解析】

(1)利用判斷是等差數(shù)列,利用求出,利用等比中項建立方程,求出公差可得.(2)利用的通項公式,求出,用錯位相減法求出,最后建立不等式求出最小的正整數(shù).【詳解】解:任意都有,數(shù)列是等差數(shù)列,,又是與的等比中項,,設數(shù)列的公差為,且,則,解得,,;由題意可知,①,②,①﹣②得:,,,由得,,,,滿足條件的最小的正整數(shù)的值為.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式及錯位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項的思路(1)在等差數(shù)列中,是最基本的兩個量,一般可設出和,利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式列方程(組)求解即可.(2)錯位相減法求和的方法:如果數(shù)列是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和時,可采用錯位相減法,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比,然后作差求解;在寫“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式20.(1),;(2)證明見解析.【解析】分析:(1)設的標準方程為,由題意可設.結(jié)合中點坐標公式計算可得的標準方程為.半徑,則的標準方程為.(2)設的斜率為,則其方程為,由弦長公式可得

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