對(duì)流方程差分法

對(duì)流方程的差分法一、研究對(duì)象1.研究的對(duì)象——對(duì)流方程（一階雙曲型）.易見，此方程有精確解事實(shí)上，由知，當(dāng)時(shí)，就有.即存在一族特征線其中為任意常數(shù)，使得在這樣的特征線上有，也就是u值為常數(shù)。xt..O要獲得在x-t平面上的任意一點(diǎn)

處的函數(shù)值，只要將其沿特征線投影到x軸上，得到投影點(diǎn)，則.考慮一維雙曲型對(duì)流方程：1.區(qū)域剖分(區(qū)域離散）

將原方程的上半平面求解區(qū)域分割成矩形一致網(wǎng)格。

h—空間步長(zhǎng)，

—時(shí)間步長(zhǎng)，—網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，2.

原方程弱化為節(jié)點(diǎn)處的離散方程3.處理方程中的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)偏導(dǎo)數(shù)用不同的差商近似將建立不同的差分格式。下面進(jìn)行具體的討論。

①：關(guān)于時(shí)間、空間的一階偏導(dǎo)數(shù)都用向前差商近似，誤差為誤差為將上面的式子代入離散方程，可得二、迎風(fēng)格式（UpwindScheme）將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項(xiàng)，則可以建立以下差分格式：可見上述格式的局部截?cái)嗾`差為4.差分格式的求解——時(shí)間漸進(jìn)顯格式5.用諧波分析方法利用增長(zhǎng)因子來(lái)討論穩(wěn)定性。設(shè)，相當(dāng)于對(duì)數(shù)值解進(jìn)行變量分離，對(duì)數(shù)值格式穩(wěn)定性的考察現(xiàn)在就轉(zhuǎn)化為對(duì)振幅

是否會(huì)放大進(jìn)行討論。如果則

G

就稱為增長(zhǎng)因子，且是數(shù)值格式穩(wěn)定的充要條件，也稱為VonNeumann條件?，F(xiàn)在研究上述格式的穩(wěn)定性。易見，從而為使數(shù)值格式穩(wěn)定，則增長(zhǎng)因子G

必須滿足從而獲得原格式的穩(wěn)定性條件即且②：關(guān)于時(shí)間、空間的一階偏導(dǎo)數(shù)分別利用一階向前差商和一階向后差商近似，即有

，誤差為誤差為再將上述近似代入離散方程，可得將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項(xiàng)，則可以建立以下差分格式：可見上述格式的局部截?cái)嗾`差為上述格式還可簡(jiǎn)寫為也不難得到此格式的增長(zhǎng)因子為從而有穩(wěn)定性條件要求即且綜上，我們有以下迎風(fēng)格式：a<0時(shí)a>0時(shí)且穩(wěn)定性條件為這樣我們可以根據(jù)原方程中系數(shù)

a的符號(hào)來(lái)選取恰當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)及合適的數(shù)值格式。迎風(fēng)格式實(shí)際上是在雙曲型方程離散的過程中將關(guān)于空間的偏導(dǎo)數(shù)用在特征方向一側(cè)的單邊差商來(lái)代替，體現(xiàn)了原方程中波的傳播方向，它們都是一階格式。事實(shí)上，原方程含有未知函數(shù)關(guān)于空間的一階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，也就是對(duì)流項(xiàng)，盡管在數(shù)學(xué)理論上對(duì)這個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散是沒有什么特殊困難的，但在物理過程看卻不是這樣，因?yàn)閷?duì)流作用帶有強(qiáng)烈的方向性，所以對(duì)流項(xiàng)的離散是否合適直接影響數(shù)值格式的性能，這也就說(shuō)明了迎風(fēng)格式之所以有效是因?yàn)槭褂昧藛芜叢钌?。③：前面討論了關(guān)于時(shí)間和空間的一階偏導(dǎo)數(shù)均用一階差商近似的情況，接下來(lái)容易想到可以對(duì)空間的偏導(dǎo)數(shù)采用二階中心差分來(lái)近似，從而有誤差為誤差為再將上述近似代入離散方程，可得將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項(xiàng)，則可以建立以下差分格式：可見上述格式的局部截?cái)嗾`差為上述格式還可簡(jiǎn)寫為也不難得到此格式的增長(zhǎng)因子為顯然對(duì)任何都有從而數(shù)值格式完全不穩(wěn)定。三、蛙跳格式（Leap-FrogScheme）④：對(duì)上述不穩(wěn)定情形進(jìn)行改進(jìn)，容易想到對(duì)時(shí)間和空間的偏導(dǎo)數(shù)都采用二階中心差分來(lái)近似，從而有誤差為誤差為再將上述近似代入離散方程，可得將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項(xiàng)，則可以建立以下蛙跳格式：可見上述格式的局部截?cái)嗾`差為上述格式還可簡(jiǎn)寫為三層格式也不難得到此格式的增長(zhǎng)因子為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，從而VonNeumann條件滿足，數(shù)值格式穩(wěn)定。蛙跳格式是個(gè)三層格式，不能自啟動(dòng)，需要與其它方法（二階方法）聯(lián)合。四、Lax-Friedrichs格式⑤：在情形③中修改關(guān)于時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)，將

用其左右相鄰兩節(jié)點(diǎn)的算術(shù)平均來(lái)近似，就是取關(guān)于空間的一階偏導(dǎo)數(shù)仍用二階中心差分，即再將上述近似代入離散方程，可得將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項(xiàng)，則可以建立以下Lax-Friedrichs格式：易見，其局部截?cái)嗾`差為.Lax-Friedrichs格式可以改寫為利用分解式可以得到其增長(zhǎng)因子為從而可見，當(dāng)時(shí)就有，從而數(shù)值格式穩(wěn)定。根據(jù)局部截?cái)嗾`差知，當(dāng)

取定為常數(shù)時(shí)，Lax-Friedrichs是一階格式。下面介紹一個(gè)二階格式，通過泰勒公式及原方程變形而獲得。五、Lax-Wendroff格式再根據(jù)泰勒公式就有上式中一階、二階偏導(dǎo)都用中心差分來(lái)近似，將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項(xiàng)，則可以建立以下Lax-Wendroff格式：易見，其局部截?cái)嗾`差為.Lax-Wendroff格式可簡(jiǎn)記為：利用分解式容易得到其增長(zhǎng)因子為穩(wěn)定性要求從而獲得Lax-Wendroff格式的穩(wěn)定性條件最后再介紹一個(gè)二階的Beam-Warming格式，本質(zhì)上它充分考慮了迎風(fēng)格式的“迎風(fēng)”特點(diǎn)，同時(shí)借用Lax-Wendroff格式的設(shè)計(jì)思想提高了精度。六、Beam-Warming格式先討論a<0

的情況。取其中的一階偏導(dǎo)為迎風(fēng)的形式且兼顧高階項(xiàng)，即同樣地，再取迎風(fēng)的二階偏導(dǎo)，即把上面兩式都代入原來(lái)的(*)式，就有將數(shù)值解代替精確解并忽略高階小項(xiàng)，則可以建立以下a<0

時(shí)的Beam-Warming格式：局部截?cái)嗾`差為.再利用分解式，可得此格式的增長(zhǎng)因子為經(jīng)過整理化簡(jiǎn)可得從穩(wěn)定性要求可推知穩(wěn)定性條件為.用同樣的思路，可得a>0時(shí)的Beam-Warming格式：其穩(wěn)定性條件為.編程實(shí)現(xiàn)的基本環(huán)節(jié)

第一步，參數(shù)設(shè)置，如剖分?jǐn)?shù)，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，a,已知函數(shù)(x),時(shí)間、空間步長(zhǎng)等。第二步，初始條件確定第三步，循環(huán)：用時(shí)間漸進(jìn)顯格式求解各時(shí)間層信息。第四步，輸出七、數(shù)值算例例.數(shù)值求解一階對(duì)流方程初值問題其中，初值在x=0處間斷。取空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)分別為.

且對(duì)應(yīng)上述空間、時(shí)間步長(zhǎng)的選取易得r=0.5.給出時(shí)刻t=0.5

時(shí)

區(qū)間[0,1]內(nèi)數(shù)值解的圖像。精確解為：迎風(fēng)格式、Lax-Friedr