工程力學(xué) 彎曲變形

剪力彎矩彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度條件彎曲切應(yīng)力及強(qiáng)度條件彎曲剛度分析靜不定梁分析彎曲變形的計(jì)算第十二章彎曲變形彎曲內(nèi)力彎曲強(qiáng)度彎曲變形1、齒輪傳動輪齒不均勻磨損，噪聲增大，產(chǎn)生振動；加速軸承磨損，降低使用壽命；若變形過大，使傳動失效?！?2-1引言一、彎曲實(shí)例弊端：12122、繼電器中的簧片電磁力當(dāng)變形足夠大時，可以有效接通電路；觸點(diǎn)當(dāng)變形不夠大時，不能有效接通電路；簧片工程中，一方面要限制變形，另一方面要利用變形。xw撓曲軸m—mn—n（1）撓度

w

：橫截面形心在垂直于軸線方向的位移（2）轉(zhuǎn)角θ：橫截面繞中性軸的轉(zhuǎn)過的角度wθ符號規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。符號規(guī)定：逆時針為正，順時針為負(fù)。（3）軸向位移Δx：橫截面形心在軸線方向的位移，小變形情況下，略去不計(jì)。ΔXx（連續(xù)、光滑平坦的平面曲線）wz二、梁變形的表示方法θ(通常θ<1o=0.0175弧度)撓曲軸曲線性質(zhì)：撓曲軸xwxw(x)oθ(x)θ(x)（2）撓曲軸上任一點(diǎn)的切線斜率等于梁上該截面的轉(zhuǎn)角值。（1）撓曲軸上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于梁上該截面的撓度值；三、撓度和轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系1、中性層曲率表示的彎曲變形公式(純彎曲變形公式，EI為抗彎剛度）2、數(shù)學(xué)中的曲率公式一、撓曲軸微分方程Mρoxwρ(x)M(x)§12-2梁變形基本方程3、撓曲軸微分方程4、撓曲軸近似微分方程弧度（1）在小變形條件下，oxwM>0M<0（2）正負(fù)號確定：M與w″保持同號（1）線彈性范圍（2）小變形條件（3）平面彎曲適用條件：二、積分法計(jì)算梁的變形C、D為積分常數(shù)，它由位移邊界與連續(xù)條件確定。邊界條件：(2)鉸支座：ABCAB（1）固定端約束：連續(xù)條件：C例1：懸臂梁AB，彎曲剛度EI為常數(shù)，受力F和力偶M=FL作用，求w(x)，θ(x)；并計(jì)算B截面的撓度和轉(zhuǎn)角值。解：1、建立撓曲軸微分方程并積分A端約束反力FAy=F梁的彎矩方程：LBMAFFAyx撓曲軸近似微分方程：xw2、確定積分常數(shù)A端為固定端約束，x=0,w=0x=0,θ=0C=0,D=03、撓度方程、轉(zhuǎn)角方程及B截面的轉(zhuǎn)角將x=L代入轉(zhuǎn)角方程：LBMAFFAyxwx例2：由積分法求圖示梁的wA、A。解：1)坐標(biāo)系如圖；AC段：則近似微分方程為：積分可得：xwxxFaaaFEICAB2)分兩段進(jìn)行分析：BC段：

積分可得：則近似微分方程為：利用約束和連續(xù)條件確定C1、D1、C2、D2四個常數(shù)：時，約束條件：連續(xù)條件：處，由此可得：即：

由此可得：最后可得：（向下）（逆時針）(2)由約束和連續(xù)條件求積分常數(shù)；(1)兩段：四個常數(shù)，每增加一段，就增加兩個積分常數(shù)；小結(jié)：(3)坐標(biāo)原點(diǎn)一律放在左邊，分段寫出M(x)；(4)注意x的范圍。§12-3計(jì)算梁位移的疊加法由于：1）小變形，軸向位移可忽略；簡單載荷下梁的撓度和轉(zhuǎn)角見附錄E。因此，梁的撓度和轉(zhuǎn)角與載荷成線性關(guān)系，可用疊加原理求復(fù)雜載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角。2）線彈性范圍工作。例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的懸臂梁自由端B截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解：原荷載可看成為圖a和b兩種荷載的疊加，對應(yīng)的變形和相關(guān)量如圖所示。FlllEIFABCDqB1FqC1wC1wC1qC12l直線wB1(a)qD1qB2wD1·FqD1BD直線wD1wB2(b)對圖a，可得C截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：由位移關(guān)系可得此時B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：（向下）（順時針）qB1FqC1wC1wC1qC12l直線wB1(a)對圖b，可得D截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：同理可得此時B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：（向下）（順時針）qD1qB2wD1·FqD1BD直線wD1wB2(b)

將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加，即得：（向下）（順時針）例：由疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的外伸梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)角以及D截面的撓度。解：可將外伸梁看成是圖a和b所示的簡支梁和懸臂梁的疊加。BC(b)F=qaAEIDBqaqa2/2(a)ACaaaF=qaBDEI（1）對圖a，其又可看成為圖c和d所示荷載的組合。+AF=qa(c)qa2/2(d)圖c中D截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為：圖d中D截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為：將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加，即得：（向下）（順時針）（2）對圖b，C截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為：

所以：原外伸梁C端的撓度和轉(zhuǎn)角也可按疊加原理求得，即：（向下）（順時針）ACaaaF=qaBDEIqBqCqqB×awCq§12-4梁的剛度條件提高梁的剛度的措施1、梁的剛度校核

保證梁的正常工作除要滿足強(qiáng)度條件外，產(chǎn)生的變形也不能太大，應(yīng)滿足剛度條件，即有：與為許可值，可查設(shè)計(jì)手冊。其中，例：圖示空心圓截面外伸梁，已知D=80mm，d=40mm，E=200GPa，C點(diǎn)撓度不得大于AB跨長的10-4，B截面轉(zhuǎn)角不得大于10-3rad，校核剛度。解：首先可利用圖a由疊加原理求wC和B。

200200100ADBCF2=1kNF1=2kNDd

(a)AF2CF1BlF1

×BD圖a可看成由圖b和c的疊加而得，圖b和c分別有：wC1qB1wC2qB2ABF2(b)ACBM(c)疊加可得：因?yàn)椋核裕簞偠葷M足。則：2、提高剛度措施除外加載荷外，梁的位移w、還與梁的彎曲剛度EI成反比，與跨長l的n次方成正比，因此，提高剛度的措施有：1）升高EI。各種鋼材E相差不大，主要提高I，在截面面積A不變時，盡可能使面積分布遠(yuǎn)離中性軸。如工字形、箱形等截面。2）合理安排約束與加載方式增加約束，制作成靜不定梁超靜定梁:BACB§12-5簡單靜不定梁靜不定度與多余約束多余約束多于維持平衡所必須的約束多余反力與多余約束相應(yīng)的支反力或支力偶矩靜不定度＝支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)5-3=2度靜不定6-3

=

3度靜不定相當(dāng)系統(tǒng)：受力與原靜不定梁相同的靜定梁相當(dāng)系統(tǒng)的選擇不是唯一的相當(dāng)系統(tǒng)1相當(dāng)系統(tǒng)2相當(dāng)系統(tǒng)qABABRBqABq小結(jié)：分析方法與分析步驟

步驟：

1、判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；2、選取與解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；3、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件；4、結(jié)合平衡方程，求多余支反力。方法：選取與解除多余約束，代之以支反力；分析相當(dāng)系統(tǒng)，使多余約束點(diǎn)處滿足位移邊界或連續(xù)條件F

相當(dāng)系統(tǒng)選取不唯一，一般選擇求解最簡單的一種列補(bǔ)充方程：qFBABFAAMqABlqABBqwAFBwBF

可分別求出（也可查表）梁在均布載荷和集中力作用下的撓度為

補(bǔ)充方程變?yōu)?/p>

解得

也可以取支座A處阻止梁端面轉(zhuǎn)動的約束作為“多余”約束，解除后可得相當(dāng)系統(tǒng)

根據(jù)原超靜定梁端面A的轉(zhuǎn)角應(yīng)等于零的變形相容條件，可由變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程來求解。

可從右向左作出剪力圖和彎矩圖

Fs圖M圖MAABql例：求支反力1.

靜不定度：6-3=32.選取相當(dāng)系統(tǒng)：