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第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)
2.1概述
2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算
2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式
2.4邏輯代數(shù)的基本定理
2.5邏輯函數(shù)及其表示方法
2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.7具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)*2.8(略)2.1概述邏輯代數(shù)是英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治.布爾(Geroge.Boole)于1847年首先進(jìn)行系統(tǒng)論述的,也稱布爾代數(shù);它是描述事物條件和結(jié)果之間邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法,是設(shè)計(jì)、分析數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。邏輯:指事物間的因果關(guān)系邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量,用大寫(xiě)字母表示。邏輯變量的取值只有兩種,即邏輯0和邏輯1。0和1并不表示數(shù)值的大小,而是表示兩種不同的邏輯狀態(tài)。通常1表示條件的具備或結(jié)果的發(fā)生,而0表示條件的不具備或結(jié)果的不發(fā)生。這種只有兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系稱為二值邏輯。
邏輯運(yùn)算:兩個(gè)表示不同邏輯狀態(tài)的二進(jìn)制數(shù)碼之間按照某種因果關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算。
基本概念邏輯:指事物間的因果關(guān)系邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ):邏輯代數(shù)在二值邏輯中的變量取值:0/12.1概述三種電路的因果關(guān)系不同:2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算與(AND)或(OR)非(NOT)1表示開(kāi)關(guān)閉合,燈亮;0表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi),燈不亮;一、基本邏輯運(yùn)算1.與運(yùn)算(邏輯乘)(AND)只有決定事件結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí),結(jié)果才發(fā)生。ABY
ABY
000010100111與運(yùn)算真值表與邏輯功能口訣:有“0”則“0”;全“1”則“1”。
與運(yùn)算表達(dá)式
Y=A·B=AB
ABY
000010100111與運(yùn)算真值表與運(yùn)算表達(dá)式
Y=A·B=AB與門(mén)圖形符號(hào)&AYBYABAYB2.或運(yùn)算(邏輯加)(OR)決定事件結(jié)果的諸條件中只要有任何一個(gè)條件滿足,結(jié)果就會(huì)發(fā)生。BYA
ABY
000011101111或運(yùn)算真值表或邏輯功能口訣:有“1”則“1”;全“0”則“0”。
或運(yùn)算表達(dá)式Y(jié)=A+B
ABY
000011101111或運(yùn)算真值表或運(yùn)算表達(dá)式Y(jié)=A+B或門(mén)圖形符號(hào)≥1
ABYYAB+
ABY3.非運(yùn)算(邏輯反)(NOT)只要條件具備了,結(jié)果就不會(huì)發(fā)生;而條件不具備時(shí),結(jié)果一定發(fā)生。
AY
0110
非運(yùn)算真值表非運(yùn)算表達(dá)式非門(mén)圖形符號(hào)1AYYAAYabcdAB~樓道燈開(kāi)關(guān)示意圖二、幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算1.與非運(yùn)算(NAND)
ABY
001011101110與非邏輯真值表與非邏輯表達(dá)式與非邏輯功能口訣:有“0”則“1”;全“1”則“0”。
&AYBYAB與非門(mén)圖形符號(hào)AYB二、幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算或非邏輯功能口訣:有“1”則“0”;全“0”則“1”。
ABY
001010100110或非邏輯真值表2.或非運(yùn)算(NOR)或非邏輯表達(dá)式或非門(mén)邏輯符號(hào)≥1
ABYYAB+
ABY3.與或非運(yùn)算(AND-OR-NOT)與或非邏輯表達(dá)式ABCDY
001010100110與或非邏輯真值表或非邏輯功能口訣:與項(xiàng)有“1”則出為“0”;全部與項(xiàng)為“0”則出“1”。
與或非門(mén)圖形符號(hào)YDCAB≥1&ABCDYYDCAB+異或邏輯功能口訣:相同為“0”;不同為“1”。
4.異或運(yùn)算(XOR)
ABY
000011101110異或邏輯真值表異或邏輯表達(dá)式異或門(mén)圖形符號(hào)YAB=1AYBAYB⊕同或邏輯功能口訣:相同為“1”;不同為0”。
5.同或運(yùn)算(XNOR)
ABY
001010100111同或邏輯真值表同或邏輯表達(dá)式⊙異或與同或互為反運(yùn)算:⊙⊙同或門(mén)圖形符號(hào)=AYBYABA⊙YB2.3.1基本公式P24T表2.3.12.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式例:用真值表證明反演律000101101111000110010101000證明:如果等式成立,那么將任和一組變量的取值代入公式兩邊所得的結(jié)果應(yīng)該相等。因此,等式兩邊所對(duì)應(yīng)的真值表也必然相同。求證:A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;分配律,重疊律=A(1+B+C)+BC;分配律=A?1+BC;0-1律=A+BC;自等律=左邊0000010100111001011101110000111100011111證明:例:用真值表證明A+BC=(A+B)(A+C)000100010011111101011111000111112.3.2若干常用公式P25T表2.3.3一、吸收律1、A+A·B=A——化簡(jiǎn)中的吸收法(21)兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí),若其中一項(xiàng)以另一項(xiàng)為因子,則該項(xiàng)多余,可刪去。2、A+A·B=A+B——化簡(jiǎn)中的消因子法(22)兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí),如一項(xiàng)取反后是另一項(xiàng)的因子,則此因子是多余的,可以消去。3、A·B+A·B=A——化簡(jiǎn)中的并項(xiàng)法(23)兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí),若它們分別包含B和B兩個(gè)因子而其它因子相同,則兩項(xiàng)可以合并,其結(jié)果為相同的部分。二、冗余律(冗余定理)*4、——化簡(jiǎn)中的消項(xiàng)法
在兩個(gè)乘積項(xiàng)中,若有一個(gè)變量是互反的,那么由這兩個(gè)乘積項(xiàng)中的其它變量組成的乘積項(xiàng)就是多余的,可以消去。公式可推廣:2.3.2若干常用公式三、異或運(yùn)算公式(58頁(yè)題2.1)1、交換率:2、結(jié)合率:3、分配率:4*、常量、變量異或:5、因果互換率:2.3.2若干常用公式2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理:任何一個(gè)含有某變量的等式,如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個(gè)邏輯函數(shù)式,則此等式依然成立。例:AB=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個(gè)變量:利用反演律2.4.2反演定理:對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F,做如下處理:①運(yùn)算符號(hào)變:“●”變“+”,“+”變“●”;②常量變:“0”變成“1”,“1”變成“0”;③變量變:原變量變成反變量,反變量變成原變量。
那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的反函數(shù)式。注意:
Δ遵守“括號(hào)、乘、加”(即括號(hào)→與→或)的運(yùn)算優(yōu)先次序。必要時(shí)適當(dāng)?shù)丶尤肜ㄌ?hào)。
Δ不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)應(yīng)保留不變。2.4邏輯代數(shù)的基本定理,求。例:2.4邏輯代數(shù)的基本定理例:求:解:例:求:解:2.4.3對(duì)偶定理:對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F,做如下處理:①運(yùn)算符號(hào)變:“●”變“+”,“+”變“●”;②常量變:“0”變成“1”,“1”變成“0”;那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的對(duì)偶式FD。對(duì)偶定理:若兩邏輯式相等,則它們對(duì)應(yīng)的對(duì)偶式也相等。即若F1=F2,則F1D=F2D。注意:同反演定理相比較
Δ運(yùn)算的優(yōu)先次序相同;Δ只變換運(yùn)算符號(hào)和常量,其變量是不變的。2.4邏輯代數(shù)的
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