2020年高考數(shù)學(理)二輪專項復習教學設(shè)計三角函數(shù)與解三角形

2020年高考數(shù)學二輪專項復習教課方案三角函數(shù)與解三角形三角函數(shù)是一種重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的一個重要函數(shù)模型，可以加深對函數(shù)的看法和性質(zhì)的理解和運用．其主要內(nèi)容包含：三角函數(shù)的看法、三角變換、三角函數(shù)、解三角形等四部分．在掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、引誘公式、兩角和與兩角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基礎(chǔ)上，能進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明；理解并能正確解決正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性詰問題；運用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重點觀察相關(guān)的數(shù)學思想方法，如方程的思想、數(shù)形聯(lián)合、換元法等．§3－1三角函數(shù)的看法【知識重點】1．角擴大到任意角：經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和弧度制使得三角函數(shù)成為以實數(shù)為自變量的函數(shù)．2．弧度rad以及度與弧度的互化：

l;180π,1rad(180)57.3．rπ3．三角函數(shù)的定義：在平面直角坐標系中，任意角的極點在原點，始邊在x軸正半軸上，終邊上任意一點()，｜OP｜＝r(r≠0)，則sin;cos;tanPx，yyxyrrx4．三角函數(shù)的定義域與值域：函數(shù)定義域值域y＝sinxR[－1，1]y＝cosxR[－1，1]y＝tanxπR{x|xkπ,kZ}25．三角函數(shù)線：正弦線MP，余弦線OM，正切線AT6．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：

sin2

cos2

1,tan

sincos7．引誘公式：任意角

的三角函數(shù)與角

,π

,π

等的三角函數(shù)之間的關(guān)系，2可以一致為“

k·

π±

”形式，記憶規(guī)律為“將

看作銳角，符號看象限，

(函數(shù)名

)奇變2偶不變”．【復習要求】1．會用弧度表示角的大小，能進行弧度制與角度制的互化；會表示終邊同樣的角；會象限角的表示方法．2．依據(jù)三角函數(shù)定義，熟練掌握三角函數(shù)在各個象限中的符號，牢記特別角的三角函數(shù)值，3．會依據(jù)三角函數(shù)定義，求任意角的三個三角函數(shù)值．4．理解并熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式和引誘公式．【例題分析】例1(1)已知角的終邊經(jīng)過點A(－1，－2)，求sin，cos，tan的值；(2)設(shè)角的終邊上一點P(3,y)，且sin12，求y的值和tan．13解：(1)r|OA|5，所以siny225,cosx5,tany2.r55r5x(2)r|OP|3y2,sinyy212,313y0y6得y212，解得y6,tan23.x33y213【評析】利用三角函數(shù)的定義求某一角三角函數(shù)值應(yīng)熟練掌握，同時應(yīng)關(guān)注此中變量的符號．例2(1)判斷以下各式的符號：①sin330°cos(－260°)tan225°②sin(－3)cos4已知cos＜0且tan＜0，那么角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(3)已知是第二象限角，求角,2的終邊所處的地點．2解：如圖3－1－1，圖3－1－2(1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，為第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【評析】角的終邊所處的象限可以經(jīng)過在座標系中逆時針、順時針兩個方向旋轉(zhuǎn)進行判斷，圖3－1－1，圖3－1－2兩個坐標系應(yīng)予以重視．(2)cos＜0，所以角終邊在第二或第三象限或在x軸負半軸上tan＜0，所以角終邊在第二或第四象限中，所以角終邊在第二象限中，選B.【評析】角的終邊在各個象限中時角的函數(shù)值的符號應(yīng)熟練掌握，(3)分析：簡單誤以為是第一象限角，其錯誤原由于以為第二象限角的范圍是(π,π),22是第二象限角，所以2k＋πππkππ＜＜2k＋，(k∈Z)，所以kπ2,242(kZ)以以下圖313，可得是第一象限或第三象限角，又4k＋＜2＜4k＋2，－－22是第三象限或第四象限角或終邊落在y軸負半軸的角．【評析】辦理角的象限問題常用方法利用旋轉(zhuǎn)成角，聯(lián)合圖3－1－1，圖3－1－2，從角度制和弧度制兩個角度辦理；遇到弧度制問題也可以由1rad(180)°≈57.3°化為角度辦理；π在考慮角的終邊地點時，應(yīng)注意考慮終邊在座標軸上的狀況．關(guān)于象限角和軸上角的表示方法應(yīng)很熟練．如第一象限角：2kπ2kππZ)，注意防范0π,(k的錯誤寫法．22例3(1)已知tan＝3，且為第三象限角，求sin，cos的值；(2)已知cos1＋tan的值；，求sin3(3)已知tan＝－2，求值：①2sincos；②sin2＋sincos．sincos解：(1)由于為第三象限角，所以sin＜0，cos＜0sin3sin31010.cos，獲得sin2cos21cos1010(2)由于cos1，且不等于－1，所以為第二或第三象限角，03當為第二象限角時，sin＞0，222sinsin1cos3,tancos22,所以sintan423當為第三象限角時，sin＜0，222sinsin1cos3,tancos22,所以sin42tan3綜上所述：當為第二象限角時，42sintan3，當為第三象限角時，42sintan3【評析】已知一個角的某一個三角函數(shù)值，求其他的三角函數(shù)值的步驟：先定所給角的范圍：依據(jù)所給角的函數(shù)值的符號進行判斷利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求其他的三角函數(shù)值(注意所求函數(shù)值的符號)當角的范圍不確準時，對付角的范圍進行分類談?wù)?3)(法一)：由于tan＝－2，所以sin2,sin2cos.cos①原式4coscos3cos1，2coscos3cos②原式＝(－2cos)2＋(－2cos)cos＝2cos2，由于sin2cos，獲得cos21，所以sin2sincos2sin2cos21552sin12tan141(法二)：①原式cos1,sin1tan121cos②原式sin2sincostan2tan422sin2cos2tan21415【評析】已知一個角的正切值，求含正弦、余弦的齊次式的值：(1)可以利用tansin將切化弦，使得問題得以解決；cos(2)1的靈巧運用，也可以利用sin2＋cos2＝1，tansin，將弦化為切．cos例4求值：(1)tan2010°＝______；(2)sin(19π)＝______；6(3)sin(2π)cos(π))cos(πsin(3π)sin(3π)22解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝tan3033sin(19πsin19πππππsinπ1))sin()(2)666662或:sin(19πsin(3ππππsinπ16))sin()6266【評析】“將看做銳角，符號看象限，(函數(shù)名)奇變偶不變”，ππππ62，26可以看出是πππ2的－2倍(偶數(shù)倍)，借助圖3－1－2看出6為第二象限角，正弦值為正．(3)原式sin(cos)sin[π(π)cos(π)]sin(π)22sin·coscos1sin(π)sinsincossinsin2【分析】3π3π，將看做銳角，借助圖3－1－2看出3π為第三象限222角，正弦值為負，π的3倍(奇數(shù)倍)，改變函數(shù)名，變成余弦，所以可得sin(3π)cos，22同理可得cos(π)sin，所以原式sin(cos)1csc.2cossinsinsin【評析】引誘公式重在理解它的實質(zhì)規(guī)律，關(guān)于“將看做銳角，符號看象限，(函數(shù)名)奇變偶不變”要靈巧運用，不然簡單墮入公式的包圍，給引誘公式的應(yīng)用帶來麻煩．例5已知角的終邊經(jīng)過點(cosππ的值為()5,sin)，則5A．πB．4πCππ,(kZ)D．4ππZ)5555解：由于義得，

ππ0ππcos0,sin，所以點(cos,sin)在第二象限中，由三角函數(shù)定5555ysinππtan5的終邊在第二象限，xπtan，由于角5cos5所以πtan4πtan(4π2π)，555所以，4π2π,()，選D．5kkZ例6化簡以下各式：(1)若為第四象限角，化簡tan1sin2(2)化簡cos1tan2(3)化簡12sin4cos(π4)解：(1)原式＝tancos2tan|cos|sin|cos|，cos由于為第四象限角，所以cos＞0，原式＝sincossin，cos(2)原式＝cos1sin2coscos2sin2cos1coscos2cos2cos2|cos|當為第二、三象限角或終邊在x軸負半軸上時，cos＜0，所以原式cos1，cos當為第一、四象限角或終邊在x軸正半軸上時，cos＞0，所以原式cos1.cos(3)原式12sin4cos4(sin4cos4)2|sin4cos4|.4弧度屬于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0，所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【評析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡的基根源則和方法：函數(shù)名稱有弦有切：切化弦；(2)分式化簡：分式化整式；(3)根式化簡：無理化有理(被開方式湊平方)，運用x2|x|，注意對符號的分析討論；(4)注意公式(sin±cos)2＝1±2sincos＝1±sin2的應(yīng)用．例7扇形的周長為定值L，問它的圓心角(0＜＜)取何值時，扇形的面積S最大?并求出最大值．解：設(shè)扇形的半徑為r(0rL)，則周長L＝r·＋r(0＜＜)22所以rL,Sπr21r21L2212L21L2．22π22(2)244244由于442448，當且僅當4，即＝2∈(0，)時等號成立．此時S1L21L2，所以，當＝2時，S的最大值為L2.281616練習3－1一、選擇題1．已知cos2，角(2)，則t的值為()3終邊上一點P－，tA．5B．5C．5D．5552．“tan＝1”是“2kππ),kZ”的(4A．充分而不用要條件B．必需不而充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件3．已知點P(sin－cos，tan)在第一象限，則在[0，2]上角的取值范圍是()A．π3π5πB．πππ5π442442C．(π3π5π3πD．(ππ3π,)(,)4,)(,π)2442244．化簡12sin10cos170()A．sin10°＋cos10°B．sin10°－cos10°C．cos10°－sin10°D．－sin10°－cos10°二、填空題5．已知角，滿足關(guān)系;0π－的取值范圍是______．，則26．扇形的周長為16，圓心角為2弧度，則扇形的面積為______．7．若sinm,π3π，則tan(－)＝______．28．已知：sincos1ππ－sin＝______．8,，則cos42三、解答題9．已知tan＝－2，且cos(＋)＜0，求(1)sin＋cos的值(2)2－2sincos2的值10．已知tan1，求值：2(1)sin2cos；(2)cos2－2sincos．sincossin(kπ)cos(kπ)sincostan2111．化簡]cos[(k1)π]tansin[(k1)π§3－2三角變換【知識重點】1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(＋)＝sincos＋cossin；sin(－)＝sincos－cossin；cos(＋)＝coscos－sinsin；cos(－)＝coscos＋sinsin；tan()tantan)tantan1tan;tan(1tantantan2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2＝2sincos：cos2＝cos2－sin2＝1－2sin2＝2cos2－1；tan2

2tan1tan2【復習要求】1．牢記兩角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟練應(yīng)用；2．掌握三角變換的通法和一般規(guī)律；3．熟練掌握三角函數(shù)求值問題．【例題分析】例1(1)求值sin75°＝______；(2)設(shè)π4cos(π(,π),sin，則4)______；25(3)已知角的終邊經(jīng)過點(－1，－2)，則πtan()的值為______24(4)求值1tan15______．1tan15解：(1)sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin3023222216224．(2)由于(ππ),sin43,,所以cos，255π2223472cos(4)2cos2sin2(55)10(3)由三角函數(shù)定義得，tan2,tan2tan24，321tan22πtantanπ1tan1所以tan(4)π1tan.41tan74tan(4)1tan15tan45tan15tan(4515)tan3031tan151tan45tan1531tan15tan45tan15tan(4515)tan3031tan151tan45tan15o3【評析】兩角的和、差、二倍等基本三角公式應(yīng)當熟練掌握，靈巧運用，這是辦理三角問題特別是三角變換的基礎(chǔ)和核心．注意tan(π1tan和tan(π1tan)1tan)1tan44運用．例2求值：3cosπsinπ______；1212(2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______；(3)tan23tan37o3tan23tan37______．解：(1)原式2(3π1π2(sinππππ)2cos122sin12)3cos12cos3sin122sin(ππ)2sinπ2.3124【評析】輔助角公式：asinxbcosxa2b2sin(x),cosa,a2b2sinb應(yīng)熟練掌握，別的本題還可變形為2(3cosπ1sinπ)a2b22122122(cosπcosπsinπsinπ)2cos(ππ)2cosπ2.6126126124分析所給的角有以下關(guān)系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝

12分析所給的角有以下關(guān)系：37°＋23°＝60°，函數(shù)名均為正切，并且出現(xiàn)兩角正切的和tana＋tan與兩角正切的積tantan，全部均指向公式tan(tantan)tan1tan∵tan60tan(23tan23tan3737)3,1tan23tan37∴tan23tan3733tan23tan37,∴tan23tan373tan23otan373．【評析】三角變換的一般規(guī)律：看角的關(guān)系、看函數(shù)名稱、看運算結(jié)構(gòu)．以上題目是給角求值問題，應(yīng)首看角的關(guān)系：先從所給角的關(guān)系下手，觀察所給角的和、差、倍能否為特殊角，而后看包含的函數(shù)名稱，以及所給三角式的結(jié)構(gòu)，聯(lián)合三角公式，找到題目的打破口．公式tan()tantan＋tan＝tan(＋)(1－tantan)應(yīng)予以1tan的變形tantan靈巧運用．例3tan()2,tan()1，則tan2＝______；54(2)已知,(3π)3,sin(π12cos(π4,π),sin(5)，求4)的值．413解：(1)分析所給的兩個已知角＋，－和所求的角2之間相關(guān)系(＋)＋(－)＝2，tan()tan()2113tan2atan[(a)(a54，)]tan()tan()211811543π3ππππ3π，,(,π)，∴(,2(,)(2)∵),42424又∵sin()3，∴cos(4；5)5∵sin(π12，∴cos(π5．)13)1344cos(πcos[()(πcos()cos(π)sin(π))])sin()4(5)43)1256444(.51351365【評析】此類題目重在觀察所給已知角與所求角之間的運算關(guān)系，主若是指看兩角之間的和、差、倍的關(guān)系，如()(ππ()，2()),44()等，找到它們的關(guān)系可以簡化運算，同時在求三角函數(shù)值時應(yīng)關(guān)注函數(shù)值的符號．例4如圖，在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個銳角，，它們的終邊225分別與單位圓訂交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為10,5.(Ⅰ)求tan((Ⅱ)求＋2

＋)的值；的值．解：由三角函數(shù)定義可得225cos10,cos5，又由于，為銳角，所以sin72,sin5，所以tan1105＝7，tan2(Ⅰ)tan(tantan3；)tan1tan(Ⅱ)tan22tan4，所以tan(2)tantan21tan231tan1，tan2∵，為銳角，∴023π23π,42【評析】將三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式聯(lián)合在一起進行觀察，要求基礎(chǔ)知識掌握堅固，靈巧運用；依據(jù)三角函數(shù)值求角，注意所求角的取值范圍．cos2ππ3sin2.例5化簡(1)；(2))2cos(x)cos(x4x2sin22sincos14222解：(1)原式cos2cos2sin2cossin2sin(πsincossincos)42(2222sinx)3sin2x(2)法一：原式2cosx2sinx)(2cosx2cos2xsin2x3sin2x13πcos2x3sin2x2(2cos2x2sin2x)2sin(2x6)法二：(xπ(xππ)),442πππ3sin2x原式2cos[(x)]cos(x)2442sin(xππ3sin2xsin(2xπ3sin2x4)cos(x))42cos2x3sin2x2sin(2xπ)6【評析】在進行三角變換時，應(yīng)從三個角度：角的關(guān)系、函數(shù)的名稱、所給運算式的結(jié)構(gòu)全面下手，注意二倍角的變式(降冪升角)和輔助角公式的應(yīng)用，此類變換是辦理三角問題的基礎(chǔ)．sin(π例6(1)已知sin4)1為第二象限角，且的值．154(2)已知6cos2x23sinxcosx323，求sin2x的值．解：(1)由于為第二象限角，且sin1514，所以cos，422原式2(sincos)1)12(sincos))22.2sincos(2cos22cos(sincos4cos【評析】此類題目為給值求值問題，從分析已知和所求的三角式關(guān)系下手，如角的關(guān)系，另一個特色是常常先對所求的三角式進行整理化簡，可降低運算量．(2)由于61cos2x3sin2x3cos2x3sin2x3231π23(2cos2x2sin2x)323cos(2x6)3323ππ0所以cos(2x)1,sin(2x)66sin2xsin[(2xππsin(2xππcos(2xππ1)])cos6)sin626666【評析】在進行三角變換時，應(yīng)從三個角度：角的關(guān)系、函數(shù)的名稱、所給運算式的結(jié)構(gòu)全面下手，注意二倍角的變式(降冪升角)cos21cos2,sin21cos2和輔22助角公式的應(yīng)用，此類變換是辦理三角問題的基礎(chǔ)，由于辦理三角函數(shù)圖象性詰問題時常常先進行三角變換．練習3－2一、選擇題1．已知ππ),sin3π)(,，則tan()等于(254A．1B．7C．1D．－7772．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝()A．31C．31B．2D．2223．1sin30o()A．sin15°－cos15°B．sin15°＋cos15°C．－sin15°－cos15°D．cos15°－sin15°4．若cos22，則cos＋sin的值為()π2sin()4711D．A．B．C．222二、填空題5．若sin(π)3，則cos2＝______．2513______．6．cos10sin107．若cos(13＝______．),cos()，則tantan558．已知tan1sin2cos2，則______．31cos2

72三、解答題9．證明sin2.costan1cos21cos210．已知為第四象限角，且sin412sin(2，求5cos11．已知為第三象限角，且sincos3.3(1)求sin＋cos的值；5sin28sincos11cos28(2)求2222的值．cos§3－3三角函數(shù)【知識重點】1．函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象性質(zhì)．性質(zhì)y＝sinxy＝cosx一周期簡圖最小正周2π2π期奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)

π)的值．y＝tanxπ奇函數(shù)增[2kππkππ[2kπ＋π，2kπ＋,2],kZ區(qū)間222π]，k∈Z[π－ππ單22調(diào)性減(2kππ3πZ[2kπ，2kπ＋π]，,2kπ),k上是增函數(shù)區(qū)間22k∈Z對xkππ,kZx＝kπ，k∈Z稱軸2對對對稱中心(kπ,0),k稱性稱(kππ,0),kZZ(kπ，0)，k∈Z2中2心2．三角函數(shù)圖象是研究三角函數(shù)的有效工具，應(yīng)熟練掌握三角函數(shù)的基本作圖方法．會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y＝sin(x＋)(＞0，＞0)的簡圖．AA3．三角函數(shù)是描述周期函數(shù)的重要函數(shù)模型，經(jīng)過三角函數(shù)領(lǐng)會函數(shù)的周期性．函數(shù)y＝Ax＋)(≠0)的最小正周期：T2πx＋)(≠0)的最小正周||期：Tπ|．同時應(yīng)明確三角函數(shù)與周期函數(shù)是兩個不一樣的看法，帶三角函數(shù)符號的函數(shù)|不必定是周期函數(shù)，周期函數(shù)不必定帶三角函數(shù)符號．【復習要求】1．掌握三角函數(shù)y＝sinx，＝cosx，＝tanx的圖象性質(zhì)：定義域、值域(最值)、單yy調(diào)性、周期性、奇偶性、對稱性等．2．會用五點法畫出函數(shù)y＝sinx，＝cos，＝sin(x＋)(＞0，＞0)的簡圖，yxyAA掌握圖象的變換方法，并能解決相關(guān)圖象性質(zhì)的問題．3．本節(jié)內(nèi)容應(yīng)與三角恒等變換相聯(lián)合，經(jīng)過變換，整理出三角函數(shù)的分析式，注意使用換元法，轉(zhuǎn)變成最基本的三個三角函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，聯(lián)合三角函數(shù)圖象，綜合觀察三角函數(shù)性質(zhì)【例題分析】例1求以下函數(shù)的定義域1cos2x(1)y；(2)ysin2x.cosx解：(1)cosπx≠0，定義域為{x|xkπ,kZ}2(2)sin2x≥0，由正弦函數(shù)y＝sinx圖象(或利用在各象限中和軸上角的正弦函數(shù)值的符號可得終邊在第一二象限，x軸，y軸正半軸上)可得2k≤2x≤2k＋，πππ},定義域為kkZ{x|kx2例2求以下函數(shù)的最小正周期(1)ysin(π2)；(2)ππ22x；342(4)y＝2sin2x＋2sinxcos；(5)y＝｜sinx｜．x解：(1)2πππT|2|．(2)Tπ2．2(3)y1cos4x11π2cos4x，所以T.222y21cos2xsin2xcos2x12sin(2xπT(4)sin2x)1，所以2＝．4y＝｜sinx｜的圖象為以下圖，可得，T＝．【評析】(1)求三角函數(shù)的周期時，平時利用二倍角公式(降冪升角)和輔助角公式先將2π(正余弦)或Tπ函數(shù)分析式進行化簡，而后用T(正切)求最小正周期．||||關(guān)于含絕對值的三角函數(shù)周期問題，可經(jīng)過函數(shù)圖象來解決周期問題．例3(1)已知函數(shù)f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，則f(x)是()A．最小正周期為的奇函數(shù)B．最小正周期為的偶函數(shù)ππC．最小正周期為的奇函數(shù)D．最小正周期為的偶函數(shù)22(2)若函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋)為R上的奇函數(shù)，則＝______．(3)ππ函數(shù)ylncosx(x)的圖象()22解：(1)f(x)2cos2xsin2x1(2sinxcosx)21sin22x1cos4x,xR,224周期為π，偶函數(shù)，選D2(2)f(x)為奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，所以2sin(－2x＋)＝－2sin(2x＋)對x∈R恒成立，即sincos2x－cossin2x＝－sin2xcos－cos2xsin，所以2sincos2x＝0對x∈R恒成立，即sin＝0，所以＝k，k∈Z．【評析】三角函數(shù)的奇偶性問題可以經(jīng)過奇偶性定義以及與引誘公式聯(lián)合加以解決．如在本題(2)中除了使用奇偶性的定義以外，還可以從公式sin(x＋)＝－sinx，sin(x＋2)＝sinx獲得當＝2k＋或＝2k＋，k∈Z，即＝k，k∈Z時，f(x)＝2sin(2x＋)可以化為f(x)＝sinx或f(x)＝－sinx，f(x)為奇函數(shù)．分析：第一考慮奇偶性，f(－x)＝lncos(－x)＝lncosx＝f(x)，為偶函數(shù)，消除掉B，D選項考慮(0，π上的函數(shù)值，由于0＜cosx＜1，所以lncosx＜0，應(yīng)選A)2【評析】辦理函數(shù)圖象，多從函數(shù)的定義域，值域，奇偶性，單調(diào)性等方面綜合考慮．例4求以下函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間y1xπy2sin(2xπ[,0](1)cos();(2)),x26π；3(3)ycos2x3sin2x；(4)y2sin(π2x)3解：(1)＝cosx的增區(qū)間為[2k＋，2k＋2]，k∈Z，y1πππ由ππ2π2π可得π8π142k2x3k4k3x4k3y1π8π14πZ，cos(x)的增區(qū)間為[4kπ,4kπ3],k233(2)先求出函數(shù)y2sin(2xπππZ)的增區(qū)間[kπ3,kπ],k66而后與區(qū)間[－，0]取交集獲得該函數(shù)的增區(qū)間為[π,5π和[π],0]，63(3)y132cos(2xπ(1)，增區(qū)間為2(cos2xsin2x))，轉(zhuǎn)變成問題223[kππ5πZ,kπ],k36(4)原函數(shù)變成y2sin(2xπ，需求函數(shù)yπ)sin(2x)的減區(qū)間，33πππ3π5ππ11π2k2x32kk12xk122yπ2x)的增區(qū)間為π5π11π.2sin(π],kZ31212【評析】辦理形如y＝sin(x＋)＋，(＜0)的函數(shù)單調(diào)性時，可以利用引誘公Ak式將x的分數(shù)化正，而后再求相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般方法：利用三角變換將分析式化為只含有一個函數(shù)的分析式，利用換元法轉(zhuǎn)變到基本三角函數(shù)的單調(diào)性問題．(2)關(guān)于給定區(qū)間上的單調(diào)性問題，可采納問題(2)中的方法，求出全部的單調(diào)增區(qū)間，而后與給定的區(qū)間取交集即可．例5求以下函數(shù)的值域(1)函數(shù)y2cos(1π1的最大值以及此時x的取值會集x)26(2)y2sinx,x(π2π,)63(3)y2cos(2xπ(ππ),x2,3)3(4)y＝cos2x－2sinx解：(1)1xπ2kππ,kZ1π3，當6時，cos(x)1，函數(shù)的最大值為226此時x的取值會集為{x|x4kπ5π,kZ}3(2)聯(lián)合正弦函數(shù)圖象得：當π2π1x(,)時，sinx1632該函數(shù)的值域為(－1，2]分析：利用換元法，轉(zhuǎn)變成題(2)的形式．y2cos(2xπ(ππ),x,)，336xπππ2xπ2π(,),33,363設(shè)t2xπy2cost,π2π，則原函數(shù)變成t，333聯(lián)合余弦函數(shù)圖象得：1cos1，所以函數(shù)的值域為(－1，2]．2t(4)y＝－2sin2x－2sinx＋1，設(shè)t＝sinx，則函數(shù)變成y＝－2t2－2t＋1，t∈[－1，1]，由于y2(t1)2322聯(lián)合二次函數(shù)圖象得，當t＝1時，函數(shù)最小值為－3，當t1時，函數(shù)最大值為3，22所以函數(shù)的值域為[3,3].2【評析】辦理三角函數(shù)值域(最值)的常用方法：(1)轉(zhuǎn)變成只含有一個三角函數(shù)名的形式，如y＝Asin(x＋)＋k，y＝Acos(x＋)k，y＝Atan(x＋)＋k等，利用換元法，聯(lián)合三角函數(shù)圖象進行辦理．轉(zhuǎn)變成二次型：如Asin2x＋Bsinx＋C，Acos2x＋Bcosx＋C形式，聯(lián)合一元二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求值域．例6函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象(部分)以以下圖，則和的取值是()A．C．解：

1,πB．1,π331,πD．1,π2626Tπππ，即π2π12()，所以，433T42當xπ1πkππZ，選C時，sin[()]0，所以,k3236例7(1)將函數(shù)ysin1y1πx的圖象如何變換可獲得函數(shù)sin(x)的圖象226(2)已知函數(shù)y＝sinx的圖象，將它如何變換，可獲得函數(shù)yπ2sin(2x)的圖象3圖象向左平移π個單位解：(1)ysin1x32圖象向右平移π個單位(2)法一：y＝sinx3

y1π1πsin(x)sin(x)2326ysin(xπ)3圖象上點的縱坐標不變,橫坐標變成本來1倍2圖象上點的橫坐標不變,縱坐標變成本來2倍

πysin(2x)3πy2sin(2x)3圖象上點的縱坐標不變,橫坐標變成本來1倍法二：y＝sinx2ysin2x圖象向右平移π6個單位πysin2(x)6圖象上點的橫坐標不變,縱坐標變成本來2倍πy2sin(2x)3【評析】由y＝sinx的圖象變換為y＝Acos(x＋)(＞0)的圖象時，特別要注意伸縮變換和橫向平移的先后序次不一樣，其橫向平移過程中左右平移的距離不一樣．例8(1)函數(shù)y1π()2sin(x)的一條對稱軸方程為23A．x4πB．x5πC．xπ2π363D．x3(2)函數(shù)ycos(2xπ)的對稱軸方程和對稱中心的坐標3解：(1)法一：1π1ππ，y2sin(x)的對稱軸為xk,kZ23322即x2kπ5πZ，當k＝－1時，xπ3,k，選C3法二：將四個選項挨次代入y2sin(1πx)中，找尋使得函數(shù)獲得最小值或最大值23的選項當xπ2sin(ππ2sinπ2，選C時，y6)233(2)πππkππycos(2x)的對稱軸為2xZ，即x,kZ33k,k26對稱中心：2xπkππ,kZ,此時xkππ25,kZ3212所以對稱中心的坐標為kπ5πZ(12,0),k2【評析】正余弦函數(shù)的對稱軸經(jīng)過它的函數(shù)圖象的最高點或最低點，對稱中心是正余弦函數(shù)圖象與x軸的交點，辦理選擇題時可以靈巧運用．例9已知函數(shù)f(x)sin2x,3sinxsin(xπ0)的最小正周期為．),(2(1)求的值．(2)求f(x)在區(qū)間[0,2π]上的值域．3畫出函數(shù)y＝2f(x)－1在一個周期[0，]上的簡圖．(4)若直線y＝a與(3)中圖象有2個不一樣的交點，務(wù)實數(shù)a的取值范圍．解：(1)1cos2x3sinxcosxf(x)2311π12sinx2cos2x2sin(2x6)2由于函數(shù)f(x)的最小正周期為，且＞0，所以2ππ，解得＝12(2)由(1)得f(x)sin(2xπ10x2πππ7π)，由于，所以2x6，62366聯(lián)合正弦函數(shù)圖象，得1π1sin(2x)26所以0sin(2xπ133)2，即f(x)的取值范圍為[0,]622(3)由(1)得y2f(x)12sin(2xπ)6列表ππ3π2x0π622x0ππ7π5ππ123126y－1020－2－1由圖象可得，－2＜a＜2且a≠－1．【評析】本節(jié)內(nèi)容應(yīng)與三角恒等變換相聯(lián)合，利用降冪升角公式和輔助角公式等三角公式化簡三角函數(shù)分析式，整理、變形為只含有一個函數(shù)名的分析式，如y＝Asin(x＋)(＞0)或y＝Acos(x＋)(＞0)的形式，利用換元法，聯(lián)合y＝sinx、y＝cosx的圖象，再研究它的各種性質(zhì)，如求函數(shù)的周期，單調(diào)性，值域等問題，這是辦理三角函數(shù)問題的基本方法．練習3－3一、選擇題1．設(shè)函數(shù)f(x)π）sin(2x),x∈R，則f(x)是(2A．最小正周期為的奇函數(shù)B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為πD．最小正周期為π的奇函數(shù)的偶函數(shù)222．把函數(shù)y＝sinx(x∈R)的圖象上全部的點向左平行挪動π個單位長度，再把所得3圖象上全部點的橫坐標縮短到本來的1倍(縱坐標不變)，獲得的圖象所表示的函數(shù)是2()A．ysin(2xπRB．),x3C．ysin(2xπRD．),x33．函數(shù)ysin(2xπ))的圖象(3

yxπRsin(),x26ysin(2x2πR),x3π對稱B．關(guān)于直線xπA．關(guān)于點(，0)對34稱π對稱D．關(guān)于直線xπC．關(guān)于點(，0)對43稱π3π）4．函數(shù)y＝tanx＋sinx－｜tanx－sinx｜在區(qū)間(,)內(nèi)的圖象大體是(22二、填空題5．函數(shù)f(x)3sinxsin(πx)的最大值是______．2ππ．6．函數(shù)(1)]的最小正周期為ycos(x)cos[2x______27．函數(shù)ysin(x)(0,0π)的圖象的一部分以以下圖，則該函數(shù)的分析2式為y＝______．8．函數(shù)y＝cos2x＋cosx的值域為______．三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的對稱軸的方程；(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間．10．已知函數(shù)f(x)2sinxcosx23sin2x3.444(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最值；(Ⅱ)令g(x)f(xπ)，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說明原由．311．已知f(x)2cos2x23sinxcosxa,(0,aR，a為常數(shù))，且滿足條件f(x)＝f(x)＝0的｜x－x｜的最小值為．1212π2(Ⅰ)求的值；ππ3，求a的值．(Ⅱ)若f(x)在[,]上的最大值與最小值之和為63§3－4解三角形【知識重點】1．三角形內(nèi)角和為A＋B＋C＝BCπA,ABCπ，注意與引誘公式相聯(lián)合的問題．22222．正弦定理和余弦定理正弦定理：余弦定理：

abc2r，(r為△ABC外接圓的半徑)．sinAsinBsinCcosAb2c2a2;cosBa2c2b2a2b2c22bc2ac;cosC2ab.a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC．3．在解三角形中注意三角形面積公式的運用：1SABC2×底×高.SABC1absinC1bcsinA1acsinB.2224．解三角形中注意進行“邊角轉(zhuǎn)變”，常常聯(lián)合三角變換辦理問題．【復習要求】1．會正確運用正余弦定理進行邊角的互相轉(zhuǎn)變；2．會熟練運用正弦定理和余弦定理解決三角形中的求角，求邊，求面積問題．【例題分析】例1(1)在△ABC中，a3，b＝1，B＝30°，則角A等于()A．60°B．30°C．120°D．60°或120°△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，滿足等式(a＋b)2＝ab＋c2，則角C的大小為______.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，則∠B的大小是______．(4)在△ABC中，若tanA1，C＝150°，BC＝1，則AB＝______．3解：(1)∵ab,31,sinA3,sinAsinBsinAsin302又∵a＞b，∴A＞B＝30°，∴A＝60°或120°，∵(a＋b)2＝ab＋c2，∴a2＋b2－c2＝－ab，∴cosCa2b2c2ab1,C120,2ab2ab2abc(3)∵sinB，sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8.sinAsinCa2c2b22564491∴a∶b∶c＝5∶7∶8，∴602ac2582分析：已知條件為兩角和一條對邊，求另一條對邊，考慮使用正弦定理，借助于1求sinAtanA3110BCAC1AB10tanA3,sinA10,sinAsinB,10sin150,AB2.10【評析】關(guān)于正弦定理和余弦定理應(yīng)熟練掌握，應(yīng)清楚它們各自的使用條件，做到合理地選擇定理解決問題．例2(1)在△ABC中，acosA＝bcosB，則△ABC必定是()A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)在△ABC中，2sinB·sinC＝1＋cosA，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形ab解：(1)法一：，acosA＝bcosB，sinAsinBsinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∵2A，2B∈(0，2)，∴2A＝2B或2A＋2B＝，∴A＝B或ABπ，選D．2法二：∵acosA＝bcosB，∴a(b2c2a2)b(a2c2b2)，2bc2ac22222整理得(a－b)(a＋b－c)＝0．(2)∵2sinB·sinC＝1＋cosA，cos(B＋C)＝cos(－A)＝－cosA，2sinB·sinC＝1－(cosBcosC－sinBsinC)，cosBcosC＋sinB·sinC＝1，cos(B－C)＝1，B，C∈(0，)，∴B－C∈(－，)，∴B－C＝0，∴B＝C，選C．【評析】判斷三角形形狀，可以從兩個角度考慮多經(jīng)過正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)變成角的關(guān)系，從而判斷三角形形狀，多經(jīng)過余弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)變成邊的關(guān)系，從而判斷三角形形狀，平時狀況下，以將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)變成角的關(guān)系為主要方向，特別需要關(guān)注三角形內(nèi)角和聯(lián)合引誘公式帶給我們的角的之間的轉(zhuǎn)變．例3已知△的周長為21，且sin＋sin＝2sinCABCAB求邊AB的長；若△ABC的面積為1sinC，求角C的度數(shù)．6解：(1)由題意及正弦定理，得ABBCAC21，解得AB＝1．BCAC2AB(2)由△ABC的面積S1BCACsinC1sinC，得BCAC1，263由于BCAC2，所以(BC＋AC)222＝BC＋AC＋2AC·BC＝2，可得BC2AC24，由余弦定理，得cosCAC2BC2AB21，32ACBC2所以C＝60°．例4在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b2＋c2－bc＝a2和c＝13，求∠A和tanB的值．b2b2c2a21解(1)由已知和余弦定理得cosA2bc，所以∠A＝60°．2分析：所給的條件是邊的關(guān)系，所求的問題為角，可考慮將利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)變成角的關(guān)系．在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sin(60°＋B)，由于csinCsin(60B)sin60cosBcos60sinBbsinBsinBsinB31112tanB23.21所以tanB2【評析】表現(xiàn)了將已知條件(邊c13)向所求問題(角tanB→sina，cos)轉(zhuǎn)變，b2充分利用了正弦定理和三角形內(nèi)角關(guān)系實現(xiàn)轉(zhuǎn)變過程．例5在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，Cπ．3(Ⅰ)若△ABC的面積等于3，求a，b；(Ⅱ)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積．解：(Ⅰ)由余弦定理cosCa2b2c222，2ab及已知條件得，a＋b－ab＝4又由于△ABC3，所以1absinC3，得ab＝4．的面積等于2聯(lián)立方程組a2b2ab4,ab4,解得a＝2，b＝2．(Ⅱ)由題意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，(sinBcosA＋cosBsinA)＋(sinBcosA－cosBsinA)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，當cos＝0時，ππ4323AA2,B6,a3,b3，當cosA≠0時，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，a2b2ab4,解得a23,b43聯(lián)立方程組2a,33.b所以△ABC的面積S1absinC23.23【評析】以上兩例題主要觀察利用正弦定理、余弦定理來確立三角形邊、角關(guān)系等基礎(chǔ)知識和基本運算能力．以及三角形面積公式SABC1absinC1bcsinA1acsinB的222運用．同時應(yīng)注意從題目中提煉未知與已知的關(guān)系，合理選擇定理公式，綜合運用正弦定理和余弦定理實現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)變．例6如圖，丈量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得∠BCD＝，∠BDC＝，CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB．解：在△BCD中，∠CBD＝－－．BCCD．由正弦定理得BDCsinCBDsinCDsinBDCssin．所以BCCBDsin(sin)在Rt△ABC中，ABBCtanACBstansinsin()例7已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，B，C的大小．解：sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，sinAsinB＋sinAcosB－(sinAcosB＋cosAsinB)＝0，sinAsinB－cosAsinB＝sinB(sinA－cosA)＝0，由于sinB≠0，所以sinA－cosA＝0，所以tanA＝1，Aπ3πB，，可得C44所以3π3π2)sinsin20，B)sinBcos(BBB42sinB＋2sinBcosB＝0，由于sinB≠0，所以cosB1,B2π,Cπ.2312【評析】觀察了三角形中角的互相轉(zhuǎn)變關(guān)系，同時兼?zhèn)淞藘山呛?、二倍角、引誘公式等綜合應(yīng)用．練習3－4一、選擇題1．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝()A．1∶2∶3B．1:3:2C．1∶4∶9D．1:2:32．在△中，角、、的對邊分別為，，，Aπabc3A．1B．2C．31D．33．△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀必定為()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形4．△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊邊長分別為a，b，c，若5b，A＝2B，則2acosB＝()55C．5D．5A．B．5634二、填空題5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，c3,Cπ，3則A＝______．6．在△ABC中，角ABC的對邊分別為a、b、c，若(a2c2b2)tanB3ac，則角B的值為______．7．設(shè)△ABC的內(nèi)角Aπ，則2sinBcosC－sin(B－C)的值為______．68．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若bcosC＝(2a－c)cosB，則∠B的大小為______.三、解答題139．在△ABC中，tanA,tanB.45(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若AB的邊長為17，求邊BC的邊長．10．如圖，某住所小區(qū)的平面圖呈扇形．小區(qū)的兩個進出口設(shè)置在點A及點CAOC處，小區(qū)里有兩條筆挺的小道AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角