初中數(shù)學人教版九年級上冊第二十四章圓2圓的有關性質(zhì)-參賽作品

24．1圓的有關性質(zhì)24．圓經(jīng)歷圓的概念的形成過程，理解圓、弧、弦等與圓有關的概念，了解等圓、等弧的概念．重點經(jīng)歷形成圓的概念的過程，理解圓及其有關概念．難點理解圓的概念的形成過程和圓的集合性定義．活動1創(chuàng)設情境，引出課題1．多媒體展示生活中常見的給我們以圓的形象的物體．2．提出問題：我們看到的物體給我們什么樣的形象？活動2動手操作，形成概念在沒有圓規(guī)的情況下，讓學生用鉛筆和細線畫一個圓．教師巡視，展示學生的作品，提出問題：我們畫的圓的位置和大小一樣嗎？畫的圓的位置和大小分別由什么決定？教師強調(diào)指出：位置由固定的一個端點決定，大小由固定端點到鉛筆尖的細線的長度決定．1．從以上圓的形成過程，總結(jié)概念：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．2．小組討論下面的兩個問題：問題1：圓上各點到定點(圓心O)的距離有什么規(guī)律？問題2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？3．小組代表發(fā)言，教師點評總結(jié)，形成新概念．(1)圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑r)；(2)到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．因此，我們可以得到圓的新概念：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．(一個圖形看成是滿足條件的點的集合，必須符合兩點：在圖形上的每個點，都滿足這個條件；滿足這個條件的每個點，都在這個圖形上．)活動3學以致用，鞏固概念1．教材第81頁練習第1題．2．教材第80頁例1.多媒體展示例1，引導學生分析要證明四個點在同一圓上，實際是要證明到定點的距離等于定長，即四個點到O的距離相等．活動4自學教材，辨析概念1．自學教材第80頁例1后面的內(nèi)容，判斷下列問題正確與否：(1)直徑是弦，弦是直徑；半圓是弧，弧是半圓．(2)圓上任意兩點間的線段叫做?。?3)在同圓中，半徑相等，直徑是半徑的2倍．(4)長度相等的兩條弧是等?。?教師強調(diào)：長度相等的弧不一定是等弧，等弧必須是在同圓或等圓中的?。?(5)大于半圓的弧是劣弧，小于半圓的弧是優(yōu)弧．2．指出圖中所有的弦和?。顒?達標檢測，反饋新知教材第81頁練習第2，3題．活動6課堂小結(jié)，作業(yè)布置課堂小結(jié)1．圓、弦、弧、等圓、等弧的概念．要特別注意“直徑和弦”“弧和半圓”以及“同圓、等圓”這些概念的區(qū)別和聯(lián)系．等圓和等弧的概念是建立在“能夠完全重合”這一前提條件下的，它將作為今后判斷兩圓或兩弧相等的依據(jù)．2．證明幾點在同一圓上的方法．3．集合思想．作業(yè)布置1．以定點O為圓心，作半徑等于2厘米的圓．2．如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，點O是AB的中點．求證：A，B，C，D四個點在以點O為圓心的同一圓上．答案：1.略；2.證明OA＝OB＝OC＝OD即可．24．垂直于弦的直徑理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題．通過復合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解．重點垂徑定理及其運用．難點探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題．一、復習引入①在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．②連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖線段AC，AB；③經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖線段AB；④圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，以A，C為端點的弧記作“eq\o(AC,\s\up8(︵))”，讀作“圓弧AC”或“弧AC”．大于半圓的弧(如圖所示eq\o(ABC,\s\up8(︵)))叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧(如圖所示eq\o(AC,\s\up8(︵))或eq\o(BC,\s\up8(︵)))叫做劣?。輬A的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．⑥圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線．二、探索新知(學生活動)請同學按要求完成下題：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M.(1)如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系？說一說你理由．(老師點評)(1)是軸對稱圖形，其對稱軸是CD.(2)AM＝BM，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，即直徑CD平分弦AB，并且平分eq\o(AB,\s\up8(︵))及eq\o(ADB,\s\up8(︵)).這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．下面我們用邏輯思維給它證明一下：已知：直徑CD、弦AB，且CD⊥AB垂足為M.求證：AM＝BM，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).分析：要證AM＝BM，只要證AM，BM構(gòu)成的兩個三角形全等．因此，只要連接OA，OB或AC，BC即可．證明：如圖，連接OA，OB，則OA＝OB，在Rt△OAM和Rt△OBM中，∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴AM＝BM，∴點A和點B關于CD對稱，∵⊙O關于直徑CD對稱，∴當圓沿著直線CD對折時，點A與點B重合，eq\o(AC,\s\up8(︵))與eq\o(BC,\s\up8(︵))重合，eq\o(AD,\s\up8(︵))與eq\o(BD,\s\up8(︵))重合．∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).進一步，我們還可以得到結(jié)論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．(本題的證明作為課后練習)例1有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB＝60m，水面到拱頂距離CD＝18m，當洪水泛濫時，分析：要求當洪水到來時，水面寬MN＝32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R解：不需要采取緊急措施，設OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，R2＝302＋(R－18)2，R2＝900＋R2－36R＋324，解得R＝34(m)，連接OM，設DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，342＝162＋(34－x)2，162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，解得x1＝4，x2＝64(不合題意，舍去)，∴DE＝4，∴不需采取緊急措施．三、課堂小結(jié)(學生歸納，老師點評)垂徑定理及其推論以及它們的應用．四、作業(yè)布置1．垂徑定理推論的證明．2．教材第89，90頁習題第8，9，10題．24．弧、弦、圓心角1．理解圓心角的概念和圓的旋轉(zhuǎn)不變性，會辨析圓心角．2．掌握在同圓或等圓中，圓心角與其所對的弦、弧之間的關系，并能應用此關系進行相關的證明和計算．重點圓心角、弦、弧之間的相等關系及其理解應用．難點從圓的旋轉(zhuǎn)不變性出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并論證圓心角、弦、弧之間的相等關系．活動1動手操作，得出性質(zhì)及概念1．在兩張透明紙片上，分別作半徑相等的⊙O和⊙O′.2．將⊙O繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后會出現(xiàn)什么情況？圓是中心對稱圖形嗎？3．在⊙O中畫出兩條不在同一條直線上的半徑，構(gòu)成一個角，這個角叫什么角？學生先說，教師補充完善圓心角的概念．如圖，∠AOB的頂點在圓心，像這樣的角叫做圓心角．4．判斷圖中的角是否是圓心角，說明理由．活動2繼續(xù)操作，探索定理及推論1．在⊙O′中，作與圓心角∠AOB相等的圓心角∠A′O′B′，連接AB，A′B′，將兩張紙片疊在一起，使⊙O與⊙O′重合，固定圓心，將其中一個圓旋轉(zhuǎn)某個角度，使得OA與O′A′重合，在操作的過程中，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系，理由是什么？請與小組同學交流．2．學生會出現(xiàn)多對等量關系，教師給予鼓勵，然后，老師小結(jié)：在等圓中相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．3．在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等嗎？所對的弦相等嗎？4．綜合2，3，我們可以得到關于圓心角、弧、弦之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．請用符號語言把定理表示出來．5．分析定理：去掉“在同圓或等圓中”這個條件，行嗎？6．定理拓展：教師引導學生類比定理，獨立用類似的方法進行探究：(1)在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角，所對的弦也分別相等嗎？(2)在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角，所對的弧也分別相等嗎？綜上所述，在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，就可以推出它們所對應的其余各組量也相等．活動3學以致用，鞏固定理1．教材第84頁例3.多媒體展示例3，引導學生分析要證明三個圓心角相等，可轉(zhuǎn)化為證明所對的弧或弦相等．鼓勵學生用多種方法解決本題，培養(yǎng)學生解決問題的意識和能力，感悟轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想．活動4達標檢測，反饋新知教材第85頁練習第1，2題．活動5課堂小結(jié)，作業(yè)布置課堂小結(jié)1．圓心角概念及圓的旋轉(zhuǎn)不變性和對稱性．2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，以及其應用．3．數(shù)學思想方法：類比的數(shù)學方法，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想．作業(yè)布置1．如果兩個圓心角相等，那么()A．這兩個圓心角所對的弦相等B．這兩個圓心角所對的弧相等C．這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等D．以上說法都不對2．如圖，AB和DE是⊙O的直徑，弦AC∥DE，若弦BE＝3，求弦CE的長．3．如圖，在⊙O中，C，D是直徑AB上兩點，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．(1)求證：eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))；(2)若C，D分別為OA，OB中點，則eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(MN,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))成立嗎？答案：；；3.(1)連接OM，ON，證明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得出eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))；(2)成立．

圓周角(2課時)第1課時圓周角的概念和圓周角定理1．理解圓周角的概念，會識別圓周角．2．掌握圓周角定理，并會用此定理進行簡單的論證和計算．重點圓周角的概念和圓周角定理．難點用分類討論的思想證明圓周角定理，尤其是分類標準的確定．活動1復習類比，引入概念1．用幾何畫板顯示圓心角．2．教師將圓心角的頂點進行移動，如圖1.(1)當角的頂點在圓心時，我們知道這樣的角叫圓心角，如∠AOB.(2)當角的頂點運動到圓周時，如∠ACB這樣的角叫什么角呢？學生會馬上猜出：圓周角．教師給予鼓勵，引出課題．3．總結(jié)圓周角概念．(1)鼓勵學生嘗試自己給圓周角下定義．估計學生能類比圓心角給圓周角下定義，頂點在圓周上的角叫圓周角，可能對角的兩邊沒有要求．(2)教師提問：是不是頂點在圓周上的角就是圓周角呢？帶著問題，教師出示下圖．學生通過觀察，會發(fā)現(xiàn)形成圓周角必須具備兩個條件：①頂點在圓周上；②角的兩邊都與圓相交．最后讓學生再給圓周角下一個準確的定義：頂點在圓周上，兩邊都與圓相交的角叫圓周角．(3)比較概念：圓心角定義中為什么沒有提到“兩邊都與圓相交”呢？學生討論后得出：凡是頂點在圓心的角，兩邊一定與圓相交，而頂點在圓周上的角則不然，因此，學習圓周角的概念，一定要注意角的兩邊“都與圓相交”這一條件．活動2觀察猜想，尋找規(guī)律1．教師出示同一條弧所對圓周角為90°，圓心角為180°和同一條弧所對圓周角為45°，圓心角為90°的特殊情況的圖形．提出問題：在這兩個圖形中，對著同一條弧的圓周角和圓心角，它們之間有什么數(shù)量關系．由于情況特殊，學生觀察、測量后，容易得出：對著同一條弧的圓周角是圓心角的一半．2．教師提出：在一般情況下，對著同一條弧的圓周角還是圓心角的一半嗎？通過上面的特例，學生猜想，得出命題：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．活動3動手畫圖，證明定理1．猜想是否正確，還有待證明．教師引導學生結(jié)合命題，畫出圖形，寫出已知、求證．2．先分小組交流畫出的圖形，議一議：所畫圖形是否相同？所畫圖形是否合理？3．利用實物投影在全班交流，得到三種情況．若三種位置關系未出現(xiàn)全，教師利用電腦演示同一條弧所對圓周角的頂點在圓周上運動的過程，得出同一條弧所對的圓心角和圓周角之間可能出現(xiàn)的不同位置關系，得到圓心角的頂點在圓周角的一邊上、內(nèi)部、外部三種情況．4．引導學生選一種最特殊、最容易證明的“圓心角的頂點在圓周角的一邊上”進行證明，寫出證明過程，教師點評．5．引導學生通過添加輔助線，把“圓心角的頂點在圓周角的內(nèi)部、外部”轉(zhuǎn)化成“圓心角的頂點在圓周角的一邊上”的情形，進行證明，若學生不能構(gòu)造過圓周角和圓心角頂點的直徑，教師給予提示．然后小組交流討論，上臺展示證明過程，教師點評證明過程．6．將“命題”改為“定理”，即“圓周角定理”．活動4達標檢測，反饋新知1．教材第88頁練習第1題．2．如圖，∠BAC和∠BOC分別是⊙O中的弧BC所對的圓周角和圓心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.3．如圖，AB，AC為⊙O的兩條弦，延長CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.答案：1.略；°；°.活動5課堂小結(jié)，作業(yè)布置課堂小結(jié)1．圓周角概念及定理．2．類比從一般到特殊的數(shù)學方法及分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想．作業(yè)布置教材第88頁練習第4題，教材第89頁習題第5題．第2課時圓周角定理推論和圓內(nèi)接多邊形1．能推導和理解圓周角定理的兩個推論，并能利用這兩個推論解決相關的計算和證明．2．知道圓內(nèi)接多邊形和多邊形外接圓的概念，明確不是所有多邊形都有外接圓．3．能證明圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，并能應用這個性質(zhì)解決簡單的計算和證明等問題．重點圓周角定理的兩個推論和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的運用．難點圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理的準確、靈活應用以及如何添加輔助線．活動1溫習舊知1．圓周角定理的內(nèi)容是什么？2．如圖，若eq\o(BC,\s\up8(︵))的度數(shù)為100°，則∠BOC＝________，∠A＝________.3．如圖，四邊形ABCD中，∠B與∠1互補，AD的延長線與DC所夾的∠2＝60°，則∠1＝________，∠B＝________.4．判斷正誤：(1)圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)；()(2)圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半．()答案：1.略；°，50°；°，60°；4.略活動2探索圓周角定理的“推論”1．請同學們在練習本上畫一個⊙O.想一想，以A，C為端點的弧所對的圓周角有多少個？試著畫幾個．然后教師引導學生：觀察下圖，∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小關系如何？為什么？讓學生得出結(jié)論后，教師繼續(xù)追問：如果把這個結(jié)論中的“同弧”改為“等弧”，結(jié)論正確嗎？2．教師引導學生觀察下圖，BC是⊙O的直徑．請問：BC所對的圓周角∠BAC是銳角、直角還是鈍角？讓學生交流、討論，得出結(jié)論：∠BAC是直角．教師追問理由．3．如圖，若圓周角∠BAC＝90°，那么它所對的弦BC經(jīng)過圓心嗎？為什么？由此能得出什么結(jié)論？4．師生共同解決教材第87頁例4.活動3探索圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)1．教師給學生介紹以下基本概念：圓內(nèi)接多邊形與多邊形的外接圓；圓內(nèi)接四邊形與四邊形的外接圓．2．要求學生畫一畫，想一想：在⊙O上任作它的一個內(nèi)接四