初中數(shù)學浙教版八年級下冊第2章一元二次方程2．2一元二次方程的解法 說課一等獎

2．2一元二次方程的解法(四)1．已知一元二次方程ax2＋4x＋2＝0有兩個相等的實數(shù)根，則a＝__2__，x＝－1．2．若關(guān)于x的方程(k－2)x2－4x＋1＝0有實數(shù)根，則k滿足的條件是k≤6．3．若關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有實數(shù)根，則x的取值范圍是m≤eq\f(9,4)．4．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正確的是(D)A．x＝eq\f(12±\r(122－4×3×4),2×3)B．x＝eq\f(－12±\r(122－4×3×4),2×3)C．x＝eq\f(12±\r(122＋4×3×4),2×3)D．x＝eq\f(－（－12）±\r(（－12）2－4×3×4),2×3)5．若關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則一次函數(shù)y＝kx＋b的大致圖象可能是(B)6．方程x2－kx－1＝0的根的情況是(A)A．方程有兩個不相等的實數(shù)根B．方程有兩個相等的實數(shù)根C．方程沒有實數(shù)根D．方程的根的情況與k的取值有關(guān)7．已知關(guān)于x的一元二次方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是(CA．m>eq\f(3,4)B．m≥eq\f(3,4)C．m>eq\f(3,4)且m≠2D．m≥eq\f(3,4)且m≠28．用公式法解下列方程：(1)2x2－3x－5＝0.【解】∵a＝2，b＝－3，c＝－5，∴b2－4ac＝49∴x＝eq\f(－（－3）±\r(49),2×2)＝eq\f(3±7,4)，∴x1＝eq\f(5,2)，x2＝－1.(2)3x2－10x－8＝0.【解】∵a＝3，b＝－10，c＝－8，∴b2－4ac＝196∴x＝eq\f(－（－10）±\r(196),6)＝eq\f(10±14,6)，∴x1＝4，x2＝－eq\f(2,3).(3)y(2y＋7)＝4.【解】y(2y＋7)＝4，2y2＋7y－4＝0.∵a＝2，b＝7，c＝－4，∴b2－4ac＝81∴y＝eq\f(－7±\r(81),4)＝eq\f(－7±9,4)，∴y1＝eq\f(1,2)，y2＝－4.(4)(x＋2)(2x－9)＝－6.【解】(x＋2)(2x－9)＝－6，2x2－5x－12＝0.∵a＝2，b＝－5，c＝－12，∴b2－4ac＝121∴x＝eq\f(－（－5）±\r(121),4)＝eq\f(5±11,4)，∴x1＝4，x2＝－eq\f(3,2).9．用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x2－8x＝20.(2)(x－eq\r(2))2＋4eq\r(2)x＝0.(3)eq\r(2)x2－4x＝4eq\r(2).(4)(x－2)2－4(x－2)＝－4.【解】(1)x2－8x－20＝0，(x－10)(x＋2)＝0，∴x1＝10，x2＝－2.(2)x2－2eq\r(2)x＋2＋4eq\r(2)x＝0，x2＋2eq\r(2)x＋2＝0，(x＋eq\r(2))2＝0，∴x1＝x2＝－eq\r(2).(3)eq\r(2)x2－4x－4eq\r(2)＝0，x2－2eq\r(2)x－4＝0，b2－4ac＝(－2eq\r(2))2－4×1×(－4)＝24，∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(2\r(2)±2\r(6),2)＝eq\r(2)±eq\r(6)，∴x1＝eq\r(2)＋eq\r(6)，x2＝eq\r(2)－eq\r(6).(4)(x－2)2－4(x－2)＋4＝0，(x－2－2)2＝0，(x－4)2＝0，∴x1＝x2＝4.10．如果實數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，求代數(shù)式a＋b2＋c3【解】∵a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，∴2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac∴(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝0∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，a－c＝0，b－c＝0，即a＝b＝c.又∵a＋2b＋3c＝12，∴6a∴a＝b＝c＝2，∴a＋b2＋c3＝2＋4＋8＝14.11．已知關(guān)于x的方程x2＋2(1＋a)x＋(3a2＋4ab＋4b2＋2)＝0有實數(shù)根，則a＝__1__，b＝－eq\f(1,2)．【解】∵關(guān)于x的方程x2＋2(1＋a)x＋(3a2＋4ab＋4b2＋2)＝0有實數(shù)根∴Δ＝4(1＋a)2－4(3a2＋4ab＋4b2＝－4[(a＋2b)2＋(a－1)2]≥0，∴(a＋2b)2＋(a－1)2≤0.∵(a＋2b)2＋(a－1)2≥0，∴(a＋2b)2＋(a－1)2＝0，∴a＋2b＝0，a－1＝0，∴a＝1，b＝－eq\f(1,2).12．已知整數(shù)k＜5，若△ABC的三邊長均滿足關(guān)于x的方程x2－3eq\r(,k)x＋8＝0，則△ABC的周長是6或12或10．【解】根據(jù)題意，得k≥0且(3eq\r(,k))2－4×8≥0，解得k≥eq\f(32,9).∵整數(shù)k＜5，∴k＝4，∴方程可變形為x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.∵△ABC的三邊長均滿足關(guān)于x的方程x2－6x＋8＝0，∴△ABC的三邊長為2，2，2或4，4，4或4，4，2，∴△ABC的周長為6或12或10.13．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．【解】(1)∵Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝1＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的解為x＝eq\f(2k＋1±\r(1),2)，即x1＝k，x2＝k＋1.當AB＝k，AC＝k＋1，且AB＝BC時，△ABC是等腰三角形，則k＝5；當AB＝k，AC＝k＋1，且AC＝BC時，△ABC是等腰三角形，則k＋1＝5，解得k＝4.∴k的值為5或4.14．已知關(guān)于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.(1)求證：無論k取何值，方程總有實數(shù)根．(2)若等腰三角形ABC的一邊長a＝1，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【解】(1)∵Δ＝b2－4ac＝(k＋2)2－8k＝(k－2)2≥0∴無論k取何值，方程總有實數(shù)根．(2)分兩種情況：①若b＝c，則方程x2－(k＋2)x＋2k＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2－4ac＝(k－2)2＝0解得k＝2，此時方程為x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2.∴△ABC的周長為5.②若b≠c，則b＝a＝1或c＝a＝1，即方程有一個根為1，把x＝1代入方程x2－(k＋2)x＋2k＝0，得1－(k＋2)＋2k＝0，解得k＝1，此時方程為x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.∴方程的另一個根為2.∵1，1，2不能構(gòu)成三角形，∴此時不能構(gòu)成三角形．綜上所述，所求△ABC的周長為5.15．閱讀材料：一元二次方程的求根公式有兩種推導方法：方法一(教材中的方法)：∵ax2＋bx＋c＝0，a≠0，∴x2＋eq\f(b,a)x＋eq\f(c,a)＝0.配方，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＝eq\f(b2－4ac,4a2).當b2－4ac≥0時x＋eq\f(b,2a)＝±eq\f(\r(b2－4ac),2a)，∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a).方法二：∵ax2＋bx＋c＝0，a≠0，∴4a2x2＋4abx＋4ac∴(2ax＋b)2＝b2－4ac當b2－4ac≥0時2ax＋b＝±eq\r(b2－4ac)，∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a).根據(jù)材料，請回答下列問題：(1)這兩種方法有什么異同？你認為哪個方法好？(2)說說你有什么感想？(3)選用上述方法解方程：(x－1)(2－3x)＝x－3.【解】(1)兩種方法的本質(zhì)是相同的，都運用了配方法，不同的是：第一種方法配方時出現(xiàn)分式，比較繁瑣；兩邊開平方時分子、分母都出現(xiàn)“±”，相除后為何只有分子上有“±”，不好理解；更重要的是易誤認為eq\r(4a2)＝2a.第二種方法運用等式的性質(zhì)后，配方時無上述問題，是對教材方法的再創(chuàng)新．所以第二種方法好．(2)學習要勤于思考，敢于向傳統(tǒng)挑戰(zhàn)和創(chuàng)新，雖然教材是我們的學習之本，但也不能完全照本宣科．(3)原方程整理，得3x2－4x－1＝0，9x2－12x－3＝0，(3x－2)2＝7，∴x1＝eq\f(2,3)＋eq\f(\r(7),3)，x2＝eq\f(2,3)－eq\f(\r(7),3).(第16題)16．如圖，有一塊長方形空地ABCD，要在中央修建一個長方形花圃EFGH，使其面積為這塊空地面積的一半，且花圃四周道路的寬相等．現(xiàn)無測量工具，只有一條無刻度且足夠長的繩子，如何確定道路的寬？【解】設(shè)道路的寬為x,AD＝a,AB＝b，不妨設(shè)a<b，則x<eq\f(a,2).由題意，得(a－2x)(b－2x)＝eq\f(1,2)ab，解方程，得x＝eq\f(a＋b±\r(a2＋b2),4).當x＝eq\f(a＋b＋\r(a2＋b2),4)時，4x＝a＋b＋e