第十章無窮級數(shù)

1第十章無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)第二節(jié)數(shù)項級數(shù)的審斂法第三節(jié)冪級數(shù)第四節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開第五節(jié)傅里葉級數(shù)2

公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時候,阿基里斯跑了1000米,此時烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個100米時,烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠也追不上烏龜?shù)?這個結(jié)論顯然是錯誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？

齊諾悖論—阿基里斯與烏龜3第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具.

一、級數(shù)的基本概念

計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積41、級數(shù)的定義:—(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項部分和數(shù)列級數(shù)的部分和52、級數(shù)的收斂與發(fā)散:6解收斂發(fā)散例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))

的收斂性.

7

發(fā)散發(fā)散綜上所述,8

公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍,也永遠也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時候,阿基里斯跑了1000米,此時烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個100米時,烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠也追不上烏龜?shù)?這個結(jié)論顯然是錯誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？

齊諾悖論—阿基里斯與烏龜9如果我們從級數(shù)的角度來分析這個問題,齊諾的這個悖論就會不攻自破.

1011解例2討論無窮級數(shù)

的收斂性.

12解例3所以級數(shù)發(fā)散.

13級數(shù)收斂的必要條件證明定理14說明：1、如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散；

級數(shù)發(fā)散；

級數(shù)發(fā)散。152、必要條件不充分：再舉一個重要例子：

但級數(shù)發(fā)散。

調(diào)和級數(shù)

16討論于是矛盾，調(diào)和級數(shù)

17二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)也收斂,且有由級數(shù)收斂的定義，以及極限的性質(zhì)，不難證明。思考：可逆嗎？性質(zhì)1性質(zhì)218說明：證矛盾.19去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項,不會影響它的斂散性(但收斂級數(shù)的和可能要改變).

性質(zhì)3性質(zhì)4收斂級數(shù)任意加括號后仍收斂,且其和不變.證因為部分和數(shù)列只相差一個常數(shù)。例如，20性質(zhì)4收斂級數(shù)任意加括號后仍收斂,且其和不變.續(xù)證注收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.推論如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)也發(fā)散.

例如例如，則級數(shù)

且和不變.21例4判斷下列級數(shù)的斂散性：

因為都收斂，故原級數(shù)收斂，解且和為22例4判斷下列級數(shù)的斂散性：

收斂；發(fā)散。23第二節(jié)數(shù)項級數(shù)的審斂法

1、定義：這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2、正項級數(shù)收斂的充要條件：定理一、正項級數(shù)的收斂問題24證明比較審斂法定理(1)25(2)是(1)的等價命題.

注：定理的條件可放寬為：

證明比較審斂法定理26解例1所以原級數(shù)收斂.

27解例228所以于是29重要參考級數(shù)：幾何級數(shù),p-級數(shù),調(diào)和級數(shù).比較：30解例3例4解所以原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)收斂。例8-1331,設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù)如果,當(dāng)時;則(1)兩級數(shù)有相同的斂散性(3)當(dāng)時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;比較判別法的極限形式：32證明由比較判別法,可知兩級數(shù)有相同的斂散性.33證明由比較判別法可知,

(注意：不可逆)；

由(2)即得結(jié)論.

34例5例6例7例8所以原級數(shù)發(fā)散。收斂發(fā)散收斂35常用等價無窮?。?6例9解例10收斂。解37例1138例12解39證例13由基本不等式40比值判別法(達朗貝爾D’Alembert判別法)

證略.41例14例15收斂.解收斂.解42例16解所以用比值法無法判斷.用比較法,收斂.43解例17收斂.44例18解45根值判別法(柯西Cauchy判別法)：

證略.46例19解所以級數(shù)收斂.

例20解所以級數(shù)收斂.

47例21收斂.解48二、交錯級數(shù)及其審斂法定義：正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理(萊布尼茨判別法)

如果交錯級數(shù)滿足條件稱萊布尼茨型級數(shù)

49證另一方面,

50定理(萊布尼茨判別法)

如果交錯級數(shù)滿足條件注意：萊布尼茲判別法所給的條件只是交錯級數(shù)收斂的充分條件，而非必要條件.

51例22解這是交錯級數(shù),

由萊布尼茨定理知，級數(shù)收斂。一般地，稱為交錯

p—級數(shù).所以級數(shù)收斂。52解所以級數(shù)收斂.例2353三、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂定義：正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).54證明定理：由正項級數(shù)的比較判別法可知,

55上述定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)說明：這是因為它們的依據(jù)是

如上例；

56例24例25的絕對收斂,條件收斂或發(fā)散性.判定解故原級數(shù)絕對收斂.

判定的絕對收斂,條件收斂或發(fā)散性.解絕對收斂.

57例26解58例27解即原級數(shù)非絕對收斂;59由萊布尼茨定理,此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．60例28解所以級數(shù)發(fā)散；故原級數(shù)絕對收斂；61小結(jié)正

項

級

數(shù)任

意

項

級

數(shù)判別法4.充要條件5.比較法6.比值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);1.2.7.根值法62第三節(jié)冪級數(shù)

1、定義：一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念632、收斂點與收斂域：3、和函數(shù)：64解由達朗貝爾判別法，原級數(shù)絕對收斂.例165原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;解例166二、冪級數(shù)及其收斂性1、冪級數(shù)的定義級數(shù)稱為關(guān)于x的冪級數(shù)。672、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域68證O定理(阿貝爾Abel定理)

69由正項級數(shù)的比較判別法知,

證70由(1)結(jié)論,幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與所設(shè)矛盾.71此時正數(shù)

R

稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?72定理簡單地講，就是73證74證畢.75求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例1解發(fā)散；收斂。76一般，求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域.

例177例2解例3解78例4解收斂半徑為

收斂；發(fā)散.79發(fā)散收斂故收斂域為(0,1].例5解80缺少偶次冪的項級數(shù)收斂；例6解直接應(yīng)用達朗貝爾判別法，81級數(shù)發(fā)散,所以原級數(shù)的收斂域為級數(shù)收斂；級數(shù)發(fā)散；823、冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)且收斂半徑仍為R.

83且收斂半徑仍為R.

(2)逐項積分或求導(dǎo)后,端點處的收斂性可能發(fā)生如下變化：逐項積分后，原來發(fā)散的端點可能變收斂；逐項求導(dǎo)后，原來收斂的端點可能變發(fā)散。84例1逐項求導(dǎo),

再逐項求導(dǎo),

85例1逐項積分,

86換元，再逐項積分，例187例2解881、解逐項求導(dǎo),

所以例3求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)：892、解收斂半徑903、解914、解所以從而924、解935、解94解6、95例4解所以由例3.4知，96例5解積分得所以？第四節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開一、泰勒級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)泰勒級數(shù)、函數(shù)展開成冪級數(shù)的步驟定理、麥克勞林級數(shù)展開式的唯一性函數(shù)ex

的冪級數(shù)展開函數(shù)sinx

的冪級數(shù)展開求冪級數(shù)展開式的間接展開法冪級數(shù)展開式小結(jié)一、泰勒級數(shù)本節(jié)討論的問題是：給定函數(shù)f(x)，要考慮是否能找到這樣一個冪級數(shù)，它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)．如果能找到這樣的冪級數(shù)，我們就說，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)．

如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有直到(n1)的階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x

在(a，b)內(nèi)時，f(x)可以表示為(xx0)的一個n次多項式與一個余項Rn(x)之和：這里x是x0與x

之間的某個值．復(fù)習(xí)泰勒中值定理：其中

如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x)，f(x)，···，f(n)(x)，···，則當(dāng)n時，f(x)在點x0的泰勒多項式泰勒級數(shù)：成為冪級數(shù)這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)．顯然，當(dāng)xx0時，f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0)．需回答的問題：除了xx0外，f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂?如果收斂，它是否一定收斂于f(x)?定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當(dāng)n時的極限為零，即證明先證必要性．設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù)，即因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)sn1(x)Rn(x)，其中sn1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n1項的和，又在U(x0)內(nèi)有sn1(x)f(x)(n)．于是Rn(x)f(x)sn1(x)0(n)．這就證明了條件是必要的．證明再證充分性．設(shè)R

n(x)0(n)對一切xU(x0)成立．

因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)sn1(x)R

n(x)，于是sn1(x)=f(x)R

n(x)f(x)(n)，即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂，并且收斂于f(x)．定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當(dāng)n時的極限為零，即

在泰勒級數(shù)麥克勞林級數(shù)：此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù)．中取x00，得事實上，如果f(x)在點x00的某鄰域(R,R)內(nèi)有冪級數(shù)展式f(x)a0a1

x

a2

x2

···an

xn

···，那么必有f

(x)a12a2x3a3x2···nanxn1···，f(x)2!a23·2a3x···n·(n1)anxn2···，f

(x)3!a3···n·(n1)(n2)anxn3

···

···········f

(n)(x)

n!an

(n1)n(n1)···2an1x

···，把x=0代入以上各式，得

如果f(x)能展開成x的冪級數(shù)，那么這種展式是唯一的，它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致．展開式的唯一性：

如果f(x)能展開成x的冪級數(shù)，那么這個冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù)．但是，反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點x00的某鄰域內(nèi)收斂，它卻不一定收斂于f(x)．因此，如果f(x)在點x00處具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來，但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間內(nèi)收斂，以及是否收斂于f(x)卻需要進一步考察．應(yīng)注意的問題：

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)第一步求f(x)，f(x)，···f(n)(x)···．第二步求f(0)，f(0)，···，(n)(0)

···第三步寫出冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)的步驟：并求出收斂半徑R．第四步考察當(dāng)x在區(qū)間(R，R)內(nèi)時余項的極限是否為零．如果為零，則在區(qū)間(R，R)內(nèi)有

解因為f(n)(x)e

x(n1,2,···)，所以f(n)(0)1(n1,2,···)．于是得級數(shù)

例1

將函數(shù)f(x)ex

展開成x的冪級數(shù)．它的收斂半徑R．對于任何有限的數(shù)x、x(x介于0與x之間)，有函數(shù)ex

的冪級數(shù)展開：例2

將函數(shù)f(x)sinx

展開成x的冪級數(shù)．函數(shù)sinx

的冪級數(shù)展開：環(huán)地取0，1，0，1···(n0,1,2,3,···)于是得級數(shù)它的收斂半徑為R．對于任何有限的數(shù)x、x(