第四章線性控制系統(tǒng)的能控性和與能觀性

4.1定常離散系統(tǒng)的能控性4.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.3定常系統(tǒng)的能觀性4.5能控性及能觀性的對偶關系4.6線性定常系統(tǒng)的結構分解4.7能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關系4.8能控標準形和能觀標準形4.9系統(tǒng)的實現(xiàn)2023/2/21960卡爾曼(Kalman)兩個基礎性概念：能控性與能觀性兩個基本問題：在有限時間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)？指控制作用對狀態(tài)變量的支配能力，稱之為狀態(tài)的能控性問題2023/2/2在有限時間內(nèi)，能否通過對系統(tǒng)輸出的測定來估計系統(tǒng)的初始狀態(tài)？系統(tǒng)的輸出量（或觀測量）能否反映狀態(tài)變量，稱之為狀態(tài)的能觀性問題。例4.0.1

2023/2/22023/2/2

橋形電路(a)兩個電容相等。選各自的電壓為狀態(tài)變量，且設電容上的初始電壓為零，根據(jù)電路理論，則兩個狀態(tài)分量恒相等。相平面圖(b)中相軌跡為一條直線，因此系統(tǒng)狀態(tài)只能在相平面的一條直線上移動，不論電源電壓如何變動，都不能使系統(tǒng)的狀態(tài)變量離開這條直線,顯然，它是不完全能控的。2023/2/2例4.0.2

2023/2/2

選擇電感中的電流以及電容上的電壓作為狀態(tài)變量，輸出變量取為電容兩端的電壓。當電橋平衡時，電感中的電流作為電路的一個狀態(tài)是不能由輸出變量來確定的，所以該電路是不能觀測的。2023/2/24.1定常離散系統(tǒng)的能控性

4.1.1

定常離散系統(tǒng)的能控性定義線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程(4.1.1)定義4.1.1對于系統(tǒng)(4.1.1)，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系統(tǒng)從第k步的狀態(tài)向量開始，在第N步到達零狀態(tài)，其中N是大于k的有限數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)在第k步上是能控的。如果對每一個k，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。2023/2/24.1.2單輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件單輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程(4.1.2)定理4.1.1單輸入線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是，矩陣[b,Ab,…,An-1b]的秩為n。該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以Uc表示，于是此能控性判據(jù)可以寫成rankUc=rank[b,Ab,…,An-1b]=n.(4.1.5)2023/2/2例4.1.1

2023/2/2滿足能控性的充分必要條件，故該系統(tǒng)能控。2023/2/24.1.3多輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件多輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程(4.1.9)定理4.1.2多輸入線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是，矩陣[B,AB,…,An-1B]的秩為n。該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以Uc表示，于是此能控性判據(jù)可以寫成rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n.

(4.1.10)2023/2/2…,

多輸入與單輸入系統(tǒng)的能控性判據(jù)形式上完全相(1)多輸入系統(tǒng)的能控性矩陣是一個nxnp矩陣。根據(jù)判據(jù)，只要求它的秩等于n，所以在計算時不一定需要將能控性矩陣算完，算到哪一步發(fā)現(xiàn)充要條件已滿足就可以停下來，不必再計算下去。(2)為了把系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，存在著許許多多的方式，因此我們可以在其中選擇最優(yōu)的控制方式。例如選擇控制向量的范數(shù)最小。同。但多輸入系統(tǒng)有以下特點：2023/2/2例4.1.2

只要計算出矩陣[B,AB]的秩，即可

2023/2/24.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.2.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性定義線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程(4.2.1)定義4.2.1對于系統(tǒng)(4.2.1)，若存在一分段連續(xù)控制向量u(t)，能在有限時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)將系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)x(t1)，那么就稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)任意t0時刻的所有狀態(tài)x(t0)都是能控的，就稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。2023/2/2定理4.2.1系統(tǒng)(4.2.1)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性矩陣的秩為n，即4.2.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù)

能控性判據(jù)的第一種形式2023/2/2此時，能控性矩陣為nxn維，即要求陣是非奇異的。注如果系統(tǒng)是單輸入系統(tǒng)，即控制變量維數(shù),則系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控性的判據(jù)為例4.2.1考察如下系統(tǒng)的能控性2023/2/2易知2023/2/2其秩為3，該系統(tǒng)能控從而2023/2/2其秩為2，所以系統(tǒng)不能控

例4.2.2判斷線性定常系統(tǒng)2023/2/2注

對照一下定常連續(xù)系統(tǒng)與定常離散系統(tǒng)能控性判別條件，發(fā)現(xiàn)兩者是一致的，這有其內(nèi)在聯(lián)系。如果離散系統(tǒng)的系矩陣和控制矩陣與連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣相同，則它們的能控性相同。

對于一個線性系統(tǒng)來說，經(jīng)過線性非奇異狀態(tài)變換后，其狀態(tài)能控性不變。

2023/2/2定理4.2.2如果線性定常系統(tǒng)

的系統(tǒng)矩陣A具有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能控的充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后A陣變換成對角標準形，它的狀態(tài)方程其中，

不包含元素全為0的行。

能控性判據(jù)的第二種形式2023/2/2狀態(tài)變量x3不受控制

例4.2.3此系統(tǒng)是不能控的2023/2/2此方法的優(yōu)點在于很容易判斷出能控性，并且將不能控的部分確定下來，但它的缺點是要進行等價變換。例4.2.4下列系統(tǒng)是能控的2023/2/2定理4.2.3若線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣具有重特征值，且對應于每一個重特征值只有一個約當塊，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是，經(jīng)線性非奇異變換后，系統(tǒng)化為約當標準形2023/2/2其中，

矩陣中與每個約當塊最后一行相對應的那些行，其各行的元素不全為零。4.2.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為定義4.2.2

如果在一個有限的區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，存在適當?shù)目刂葡蛄縰(t),使系統(tǒng)能從任意的初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任意指定最終輸出y(t1)，則稱系統(tǒng)是輸出完全能控的。2023/2/2系統(tǒng)輸出完全能控的充分必要條件是矩陣的秩為q2023/2/2例4.2.9判斷系統(tǒng)是否具有狀態(tài)能控性和輸出能控性。

2023/2/2秩為1，等于輸出變量的個數(shù)，因此系統(tǒng)是輸出能控的。秩為1，所以系統(tǒng)是狀態(tài)不能控的。

2023/2/24.2.4利用Matlab判定系統(tǒng)能控性

ctrb2023/2/24.3.1定常離散系統(tǒng)的能觀性定義4.3.1

對于上述系統(tǒng)，在已知輸入u(t)的情況下，若能依據(jù)第i步及以后n-1步的輸出觀測值y(i),y(i+1),…,y(i+n-1)，唯一地確定出第i步上的狀態(tài)x(i)，則稱系統(tǒng)在第i步是能觀測的。如果系統(tǒng)在任何i步上都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測。考慮離散系統(tǒng)

4.3線性系統(tǒng)的能控性及能觀性2023/2/2定理4.3.1對于線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是矩陣

的秩為n。矩陣稱為能觀測性矩陣，記為ＵO。2023/2/2例4.3.3判斷下列系統(tǒng)的能觀測性2023/2/2于是系統(tǒng)的能觀測性矩陣為秩為3，所以系統(tǒng)能觀。

2023/2/2例4.3.4系統(tǒng)狀態(tài)方程仍如上例，而觀測方程為秩小于3，所以系統(tǒng)不能觀。

2023/2/24.3.2定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性定義4.3.2對于線性定常系統(tǒng)，在任意給定的輸入u(t)下，能夠根據(jù)輸出量y(t)在有限時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)的測量值，唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻的初始狀態(tài)x(t0)，就稱系統(tǒng)在t0時刻是能觀測的。若在任意初始時刻系統(tǒng)都能觀測，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測的。2023/2/2定理4.3.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是能觀性矩陣的秩為n。能觀性判據(jù)的第一種形式2023/2/2例4.3.5判斷下列系統(tǒng)的能觀性。秩等于2，所以系統(tǒng)是能觀測的。

2023/2/2能觀性判據(jù)的第二種形式定理4.3.3若線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣有互不相同的特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)能觀測的充要條件是經(jīng)線性等價變換把矩陣化成對角標準形后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式2023/2/2其中，矩陣不包含元素全為零的列。定理4.3.4設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣有不同的重特征值，且對應于每一重特征值只有一個約當塊。則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是，經(jīng)線性等價變換將矩陣化成約當標準形后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式2023/2/2中，與每個約當塊第一列相對應的矩陣的所有各列，其元素不全為零。4.5能控性與能觀性的對偶關系4.5能控性與能觀性的對偶關系對偶系統(tǒng)對偶系統(tǒng)結構圖

系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件和系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件相同；系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件與系統(tǒng)完全能控的充要條件相同。（對偶原理）

兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的關系

把系統(tǒng)能控或能觀測部分同不能控或不能觀測的部分區(qū)分開來，將有利于更深入了解系統(tǒng)的內(nèi)部結構。標準分解

采用系統(tǒng)坐標變換的方法對狀態(tài)空間進行分解，將其劃分成能控（能觀）部分與不能控（不能觀）部分。4.6線性定常系統(tǒng)的結構分解4.6.1系統(tǒng)能控性分解設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為假設系統(tǒng)的能控性矩陣的秩n1<n（n為狀態(tài)向量維數(shù)），即系統(tǒng)不完全能控。關于系統(tǒng)的能控性分解，有如下結論。

定理4.6.1

存在非奇異矩陣Tc，對系統(tǒng)進行狀態(tài)變換，可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變換成

其中在變換后的系統(tǒng)中，將前n1維部分提出來，得到下式這部分構成n1維能控子系統(tǒng)。而后n-n1維子系統(tǒng)為不能控子系統(tǒng)。關鍵變換矩陣Tc的構造求法如下：在能控性矩陣[

中選擇n1個線性無關的列向量；將所得列向量作為矩陣Tc的前n1個列，其余列可以在保證Tc為非奇異矩陣的條件下任意選擇]例4.6.1

對下列系統(tǒng)進行能控性分解。

能控性矩陣的秩

可知系統(tǒng)不完全能控

在能控性矩陣中任選兩列線性無關的列向量。為計算簡單，選取其中的第1列和第2列。易知它們是線性無關的。

再選任一列向量，與前兩個列向量線性無關。

變換矩陣

狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

二維能控子系統(tǒng)

2023/2/2系統(tǒng)能控性分解結構圖

2023/2/2定理4.6.2

能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同，即.

因為2023/2/24.6.2

系統(tǒng)能觀性分解設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

假設系統(tǒng)的能觀性矩陣的秩n2<n（n為狀態(tài)向量維數(shù)），即系統(tǒng)不完全能控。關于系統(tǒng)的能觀性分解，有如下結論。

2023/2/2定理4.6.3

存在非奇異矩陣To，對系統(tǒng)進行狀態(tài)變換，可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變換成

其中

2023/2/2在變換后的系統(tǒng)中，將前n2維部分提出來，得到下式這部分構成n2維能觀子系統(tǒng)。而后n-n2維子系統(tǒng)為不能觀子系統(tǒng)。

方法如下:

從能觀性矩陣中選擇n2個線性無關的行向量。將所求行向量作為的前n2個行，其余的行

對于能觀性分解，變換矩陣的求法有其特殊性。應由構造其逆做起，即先求。可以在保證為非奇異矩陣的條件下任意選擇。2023/2/2例4.6.2

系統(tǒng)同例4.6.1，進行能觀性分解。計算能觀性矩陣的秩

任選其中兩行線性無關的行向量，再選任一個與之線性無關的行向量，得2023/2/2狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

二維能觀子系統(tǒng)

2023/2/2系統(tǒng)能觀性分解結構圖

2023/2/2定理4.6.4

能觀子系統(tǒng)與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同

2023/2/24.6.3系統(tǒng)按能控性與能觀性進行標準分解定理4.6.5設系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為經(jīng)過線性狀態(tài)變換,可以化為下列形式2023/2/22023/2/24.7

能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關系單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

4.7.1單輸入單輸出系統(tǒng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定理4.7.1系統(tǒng)能控能觀的充要條件是傳遞函數(shù)g(s)中沒有零極點對消現(xiàn)象。2023/2/2

一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所表示的是該系統(tǒng)既能控又能觀的那一部分子系統(tǒng)。一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若有零、極點對消現(xiàn)象，則視狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)或是不能控的或是不能觀的。兩個推論

一個系統(tǒng)的分解與所選擇狀態(tài)變量有關

舉例微分方程傳遞函數(shù)2023/2/2選擇１系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程

能控性矩陣能觀性矩陣

可分解為能控能觀和不能控能觀兩部分子系統(tǒng)2023/2/2引入中間變量z，將傳遞函數(shù)寫成

選擇２則有選擇狀態(tài)變量

系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

能控性矩陣

能觀測性矩陣

可分解為能控能觀和能控不能觀兩部分子系統(tǒng)2023/2/24.7.2多輸入多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣

定理4.7.2如果在傳遞矩陣G(s)中，與Cadj(sI-A)B之間沒有非常數(shù)公因，則該系統(tǒng)是能控且能觀測的。（僅為充分條件）2023/2/2例4.7.2

能控能觀

存在公因式2023/2/2能觀標準形是指在一組基底下，將能觀性矩陣中的A和C表現(xiàn)為能觀的標準形式適當選擇狀態(tài)空間的基底，對系統(tǒng)進行狀態(tài)線性變換，把狀態(tài)空間表達式的一般形式化為標準形式能控標準形是指在一組基底下，將能控性矩陣中的A和B表現(xiàn)為能控的標準形式2023/2/24.8

能控標準形和能觀標準形4.8.1

系統(tǒng)的能控標準形2023/2/2定理4.8.1如果系統(tǒng)是能控的，那么必存在一非奇異變換使其變換成能控標準形

線性變換矩陣

2023/2/2例4.8.1

線性定常系統(tǒng)能控性矩陣

逆矩陣

2023/2/22023/2/24.8.2系統(tǒng)的能觀標準形，2023/2/2定理4.8.2

如果系統(tǒng)是能觀測的，那么必存在一非奇異變換將系統(tǒng)變換為能觀標準形2023/2/2例4.8.2

能觀性矩陣

2023/2/24.9

系統(tǒng)的實現(xiàn)

4.9.1單輸入單輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)問題由傳遞函數(shù)矩陣或相應的脈沖響應來建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的工作，稱為實現(xiàn)問題。換言之，若狀態(tài)空間描述是傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)，則必有在所有可能的實現(xiàn)中，維數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn)。

單輸入單輸出系統(tǒng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為

當其具有嚴格真分式有理函數(shù)時，其實現(xiàn)形式為

2023/2/2

的能控標準形實現(xiàn)

2023/2/2

的能觀標準形實現(xiàn)

2023/2/2

對于多輸入多輸出系統(tǒng)而言，討論其實現(xiàn)問題要滿足如下條件：輸出向量為維傳遞函數(shù)矩陣為陣，它的每一個元素都是一個有理分式嚴格真分式傳遞函數(shù)矩陣，即實現(xiàn)形式為

4.9.2多輸入多輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)問題2023/2/2當陣的時，可采用能控性實現(xiàn)。2023/2/2式中，為各元素分母的首一最小公分母的各項系數(shù)為多項式矩陣的系