第十一章傅里葉級數(shù)

二元函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的判定；多元數(shù)值函數(shù)的梯度；二元函數(shù)的極值；多元函數(shù)隱函數(shù)求偏導(dǎo)；二重積分的比較；交換二重積分累次積分次序；二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算三重積分的計(jì)算；求立體體積；重積分對稱性；2013-2014高等數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試考點(diǎn)第一類曲線積分的計(jì)算；第二類曲線積分的計(jì)算；第一類曲面積分的計(jì)算；第二類曲面積分計(jì)算；高斯公式，向量函數(shù)的散度；斯托克斯公式；數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判斷（含絕對收斂和條件收斂）；冪級數(shù)的收斂半徑，收斂域及和函數(shù)；函數(shù)的冪級數(shù)展開；將函數(shù)展成以

為周期的傅里葉級數(shù)；周期2l的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)。情況一：設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù)21.將函數(shù)展成以

為周期的傅里葉級數(shù)；情況二：設(shè)

f(x)是定義在[–,]上的函數(shù)情況三：設(shè)

f(x)是定義在[0,]上的函數(shù)(可展成正弦或余弦級數(shù))情況一：設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù)

f(x)的傅里葉級數(shù)在收斂,且有

x

為間斷點(diǎn)其中為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點(diǎn)的傅里葉展開式為即：的間斷點(diǎn)連續(xù)的點(diǎn)以及滿足結(jié)論：例.

設(shè)的表達(dá)式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數(shù).是周期為2的周期函數(shù),它在解:滿足收斂定理的條件.(-,

)的奇函數(shù),因此根據(jù)收斂定理可得f(x)

的傅里葉展開式為:故f(x)

的傅里葉級數(shù)為:周期延拓收斂定理其它

x

間斷

x

為連續(xù)點(diǎn)注：有相同的傅里葉級數(shù)x

為間斷點(diǎn)

x

為連續(xù)點(diǎn)情況二：設(shè)

f(x)是定義在[–,]上的函數(shù)傅里葉展開式為：即：的間斷點(diǎn)以及中連續(xù)的點(diǎn)以及中滿足的使等號成立的端點(diǎn)例.

將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).并求解:

先求傅里葉系數(shù)根據(jù)收斂定理可得f(x)

的傅里葉展開式為:故f(x)

的傅里葉級數(shù)為:注：正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

對奇函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為對偶函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為傅里葉級數(shù)f(x)在[0,]上展成傅里葉級數(shù)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)f(x)在[0,]上展成情況三：設(shè)

f(x)是定義在[0,]上的函數(shù)將則有作偶延拓,例.

將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).解:

先求余弦級數(shù).根據(jù)收斂定理可得f(x)

的傅里葉展開式為:故f(x)的傅里葉級數(shù)為:將f(x)作奇延拓,再求正弦級數(shù).根據(jù)收斂定理可得f(x)的傅里葉展開式為:故f(x)

的傅里葉級數(shù)為:注：一定要分清三個(gè)概念:傅里葉級數(shù)、和函數(shù)、傅里葉展開式若f(x)是奇偶函數(shù)，求傅里葉系數(shù)一定要利用定積分的對稱性結(jié)論簡化計(jì)算求s(x)是通過f(x)的表達(dá)式來求的將f(x)展成傅里葉級數(shù),一定要注意x的取值范圍：

（1）要屬于f(x)的定義域（2）包含定義域中除端點(diǎn)外所有連續(xù)的點(diǎn)（3）包含滿足“等式”的間斷點(diǎn)和端點(diǎn)21.周期2l的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)情況一：設(shè)

f(x)是周期為2l的周期函數(shù)

x

為間斷點(diǎn)

x

為連續(xù)點(diǎn)x

為間斷點(diǎn)

x

為連續(xù)點(diǎn)情況二：設(shè)

f(x)是定義在[–l,l]上的函數(shù)例：設(shè)

的傅里葉級數(shù)在答案:

B是以為周期的函數(shù),在上則處收斂于二元函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的判定1)函數(shù)或有的極限不存在.證明函數(shù)極限不存在:

以不同方式函數(shù)趨于不同值(常用的趨近方式為直線式)證明函數(shù)極限存在:

換元或夾逼準(zhǔn)則先代后求:先求后代:利用定義:例如：分段函數(shù)分段點(diǎn)例如：初等函數(shù)定義區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)例如：上述兩種例子情況均可、函數(shù)式復(fù)雜2)某點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在的判定:應(yīng)該用法一和法三提示:

利用故f

在(0,0)連續(xù);知在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)性及偏導(dǎo)數(shù)存在性.例.討論法一:偏導(dǎo)存在性:法二:（A）連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在,例：二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處（）（B）連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在,（C）不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在,（D）不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在,答案：C2.多元數(shù)值函數(shù)的梯度?三元函數(shù)在點(diǎn)?二元函數(shù)在點(diǎn)梯度為:梯度為:例.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對稱性(92考研)15.向量場的散度設(shè)散度:則例:設(shè)矢量場23.二元函數(shù)的極值（1）具體二元函數(shù)求極值（2）實(shí)際問題求二元函數(shù)的條件極值可以結(jié)合變力做功等第二類的曲線積分綜合考察（1）具體二元函數(shù)求極值第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).時(shí),具有極值定理

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)例.求

的極值。解：先求函數(shù)的駐點(diǎn).解得函數(shù)為駐點(diǎn)為

在取極大值在取極小值（2012考研題）例.求

的極值。（2013考研題）答案:（2）實(shí)際問題求二元函數(shù)的條件極值(a)簡單問題用代入法轉(zhuǎn)化為無條件極值問題.(b)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法求一元函數(shù)的無條件極值問題引入輔助函數(shù)一定要合理轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù):非負(fù)可平方、可取倒數(shù)等要注意解方程組的技巧：一般先得出自變量的關(guān)系再代入約束條件隱函數(shù)求導(dǎo)方法：方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則方程兩邊直接關(guān)于自變量求導(dǎo),要把因變量看成自變量的函數(shù)方法2.利用隱函數(shù)定理的求導(dǎo)公式4．多元函數(shù)隱函數(shù)求偏導(dǎo)注：兩種求導(dǎo)方法中方程所確立的隱函數(shù)中因變量的地位是不一樣的例.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再