角平分線(xiàn)模型的構(gòu)造

第二講角分線(xiàn)模型的造

3月

M

M角平分

(l)定義：如，如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC=2∠AOB=2∠像這樣，從一個(gè)角

P

的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)，叫作這個(gè)角的角平分線(xiàn)．

(c)

(d)

Nαα

圖2

(4)若P點(diǎn)∥ONOM點(diǎn)Q2-2(d)，可以構(gòu)造△POQ是等腰三角形，可記為“角分線(xiàn)十平線(xiàn)，等腰三形必呈．例1(1)如，在△中，C=90分∠CAB，，BD=4cm，那么點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離是（）角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理如果一條射線(xiàn)是一個(gè)角的平分線(xiàn)么它把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．角平分線(xiàn)的判定定理

D

B在角的內(nèi)部果一條射線(xiàn)的端點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合且把一個(gè)角分成兩個(gè)等角么這條射線(xiàn)是這個(gè)角的平分線(xiàn)，在角的內(nèi)部一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上，與角平分線(xiàn)有關(guān)的常用輔助線(xiàn)作法角平分線(xiàn)的四大基本模型，

圖2-3（a）(2)如2-3(b)，已知：∠∠，∠3=∠4，求證：AP平分∠BAC．A已知∠MON平分線(xiàn)上一點(diǎn)，(l)若⊥OM于點(diǎn)A如圖2-2(a)以過(guò)點(diǎn)作

B1

2

3

4

C⊥ON于點(diǎn)B，則PB=PA.可記為“中有角平分線(xiàn)，向兩邊作垂

P2bM

A

MP

(a)

(b)

B若點(diǎn)A是射線(xiàn)OM上任意一點(diǎn)，如圖2-2(b)，可以在ON上截取連接PB構(gòu)造△OPB∽△可記為圖中有角平線(xiàn)，可將圖對(duì)折看，稱(chēng)以后關(guān)系若AP⊥OP于點(diǎn)如圖，可以延長(zhǎng)交ON于點(diǎn)B構(gòu)造△等腰三角形是底邊AB中點(diǎn)可記為角平線(xiàn)加垂，線(xiàn)合一試試1例2如圖2-4(a)Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D.AF平分∠，交點(diǎn)，交于點(diǎn)⑴求證：CE=

例3閱讀下列學(xué)習(xí)材料：如圖2-5(a)所，平分∠，AOM上點(diǎn)，C為上一點(diǎn)，連接AC，在射線(xiàn)ON上截取OB=OA，連接如圖2-5(b))，易證△≌△F

M

M

2-4（a）

O

-5（a

AC圖2b）

N

請(qǐng)根據(jù)上面的學(xué)習(xí)材料，解答下列各題：(l)如圖2-5(c)所示在△ABC中AD是△的外角平分線(xiàn)PAD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)試比較與的小，并說(shuō)明理由．⑵將圖2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△AD，E的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其它條件不變?nèi)鐖D2-4(b)所示．試猜想與怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．CFE'E

-5（）

A

D

A'

D'

B圖（）

(2)如2-5(d)所示，AD是△ABC內(nèi)角平分線(xiàn)，其它條件不變?cè)嚤容^PC－與－的大小，并說(shuō)明理由．P

D圖-5（d）

2例4如圖2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°AB=ACBD平分∠ABCCEBD，垂足為點(diǎn)E求證：BD=2CE.

(2)如2-7(b)，BD、分別是△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，其它條件不變；AA

ED

FD

E

B

（b）

C(3)如2-7(c)，BD為△的內(nèi)角平分線(xiàn)，B

圖2（a

C

為△ABC的外角平分線(xiàn)，其它條件變，則在圖圖種情況下DE與平行嗎？它與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜測(cè)，并對(duì)其中的一種情況進(jìn)行證明。AD

EB

圖2（）

FC如圖，BD、CE分別是△ABC的外角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作上、AE⊥CE，垂足分別為D、E，連接DE.1求證：DE∥BC，DE=(AB+BC+AC)；2ADB

2-7（a）

C3變式如圖2-8，在ABC，AB=3AC,∠BAC平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)BBE⊥AD，垂足為E，求證：AD=DEA

(4)如2-9(d)，平分∠，平分外角∠ACG.∥交AB點(diǎn)，交AC于點(diǎn)線(xiàn)段與BE、CF什么關(guān)系？并說(shuō)明理由．AEFDB

2（

CGB

-8

E例6如圖2-9(a)，BD，CD別平分∠ABC∠ACB.問(wèn)：(l)圖中有幾個(gè)等腰三角形？

(5)如2-9(e)，BD、為外角∠CBM、∠BCN的平分線(xiàn)，DE∥交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，直接寫(xiě)出線(xiàn)段EF與、CF有什么關(guān)系？AA

B

CD

E

D

F

M

D圖2-9（）

NB

圖2-9（a）

C

圖2-9（）

例如圖所示，已知△中，，∠C=90°，AD平分∠CAB，過(guò)D點(diǎn)作EF∥BC圖2-9(b)于點(diǎn)，交AC點(diǎn)，圖中又增加了幾個(gè)等腰三角形？如圖2-9(c)，若將題中的△ABC改為不等邊三

求證：角形其他條件不變圖中有幾個(gè)等腰三角形？直接寫(xiě)出線(xiàn)段、CF有什么關(guān)系？

DA

圖（）

D

FB

圖2c）

C4變式如圖所示，已知△中，AB=AC，∠A=108°，平分∠ABC.求證：BC=ABCD.A

例8如圖2-13(a)，OP是∠的平分線(xiàn)，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)OP所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形，MPB

圖

C

O

圖2

N變式如圖已知ABCAB=AC∠A=IOO°，BD分∠ABC，

請(qǐng)你參考上圖構(gòu)造全等三角形的方法下列問(wèn)題：(1)如2-13(b)在△ABC∠ACB是角∠B=60°，AD、分別是∠BAC、∠BCA的平分線(xiàn)，AD、相交于點(diǎn)請(qǐng)你判斷寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系；BEFD求證：BC=BD＋AD.

A

圖2

CAB

圖

C

(2)如2-13(c)在△ABC如果∠不直角，而(l)的其他條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在1中所得結(jié)論是否依然成立？若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．BE

F

DA

圖2-13c）

C5牛刀小(l)如圖(a)，在△ABC，∠與∠的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥交AB點(diǎn)D交于點(diǎn)，BD+CE=9則線(xiàn)段DE之長(zhǎng)為（）A

3、已知圖2-16，四邊形ABCD中，B+＝°，求證：AC平分∠

F

2-16

B

圖-14(a)

C如圖，在△，、分別平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，∥AC.，，求△DEF的周長(zhǎng)，D

EF圖2-14(b)

4.如圖2-17，△ABC的外角/ACD的平分線(xiàn)CP與內(nèi)角∠ABC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)連接APCP，若∠∠的度數(shù)．2.已知：如圖，∠CAD，AB>AC，⊥AD于點(diǎn)D.HBC中點(diǎn)．1求證：DH＝AC).2A

P

圖CB

H圖2

C65.已知圖2-18四邊形中BC>ABAD=CD，BD分∠ABC.求證：∠∠C=180°

(2)若°是EF的中點(diǎn)如圖直接寫(xiě)出∠BDG的度數(shù)；DA

D

圖

FB

圖

C6.在平行四邊形ABCD中，∠的平分線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)F.

(3)若∠ABC=°，CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG(如圖2-19（c∠BDG的度數(shù)．在圖2-19(a)中證明CE＝；D

DE

圖-19(a)

F

圖2-19(c)

F77.已知：如圖，在△中，