高二(上學(xué)期)期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

第第頁第=page22頁，共=sectionpages22頁高二(上學(xué)期)期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析（時(shí)間120分鐘，滿分150分）題號一二三四總分得分一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）傾斜角為135°，在軸上的截距為的直線方程是（

）A. B. C. D.設(shè)雙曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為15，則點(diǎn)到的距離是（

）A.7 B.23 C.7或23 D.5或23命題甲：雙曲線C的漸近線方程是：y=±；命題乙：雙曲線C的方程是：，那么甲是乙的（）A.分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件對拋物線y2=4x，下列描述正確的是（）A.開口向上，焦點(diǎn)為（0，1） B.開口向上，焦點(diǎn)為

C.開口向右，焦點(diǎn)為（1，0） D.開口向右，焦點(diǎn)為已知a、b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面．下列選項(xiàng)中說法正確的是（）

①若a∥b，b?α，則a∥α②若a⊥α，b⊥a，則b∥α

③若a⊥α，b⊥β，a∥b則α∥β④若α∥β，a?α，b?β，則a∥bA.①② B.③④ C.②③ D.③已知圓，則過點(diǎn)的最短弦所在直線的方程是（

）A. B. C. D.已知曲線C的方程為+=1，給定下列兩個(gè)命題：p：若9＜k＜25，則曲線C為橢圓；q：若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則k＜9；那么，下列命題為真命題的是（

）A. B.

C. D.?橢圓+=1上的點(diǎn)到直線（t為參數(shù)）的最大距離是（）A.3 B. C.2 D.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒中下列結(jié)論正確的是（）

A. B.與所成的角為60°

C. D.與所成的角為60°已知雙曲線，則下列說法正確的是（）A.離心率的最小值為4

B.當(dāng)m=2時(shí)，離心率最小

C.離心率最小時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

D.離心率最小時(shí)，雙曲線的漸近線方程為如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1B的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（）

A.對任意的F點(diǎn)，三棱錐F-ADE與三棱錐A1-ADE的體積相等

B.對任意的F點(diǎn)過D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的截面始終是梯形

C.存在點(diǎn)F，使得EF∥平面A1C1D

D.存在點(diǎn)F，使得EF⊥平面BDC1已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為???????

B.若直線過點(diǎn)，則???????

C.若，則的最小值為???????

D.若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓所截得的弦長為

．設(shè)點(diǎn)A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l過點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是

．將邊長為的正方形沿翻折成直二面角，若四點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積等于_______________.以橢圓=1的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線=1的兩條漸近線都相切的圓方程為______．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直，求直線的方程.

已知圓和點(diǎn)

（1）若過點(diǎn)有且只有一條直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值，并求出切線方程；

（2）若，過點(diǎn)作圓的兩條弦，且互相垂直，求的最大值。

如圖，在三棱柱中，平面，，，，、分別為、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積.

如圖,已知拋物線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，，與交于點(diǎn).

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）求四邊形的面積的最小值.

如圖，在三棱錐P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC．

（1）求直線PC與平面ABC所成的角的大??；

（2）求二面角B－AP－C的大?。?/p>

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，且△AOF的面積為（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上的一點(diǎn)，過P的直線l與以橢圓的短軸為直徑的圓切于第一象限，切點(diǎn)為M，證明：|PF|+|PM|為定值．

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查直線的斜截式方程，直線的傾斜角和截距，屬于基礎(chǔ)題.

求出斜率即可得斜截式進(jìn)而得一般式方程.【解答】解：傾斜角為，

直線的斜率，

在y軸上的截距為，

所求直線方程為，

即.

故選：A.

2.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的定義,屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)考查雙曲線的定義，有||PF1|-|PF2||=8，將代入即可．【解答】???????解：∵雙曲線-=1，

∴2a=8，（-5，0）,（5，0）是兩個(gè)焦點(diǎn)，

∵點(diǎn)P在雙曲線上，

∴||PF1|-|PF2||=8，

∵點(diǎn)P到點(diǎn)（5，0）的距離為15，

∴,

則點(diǎn)P到點(diǎn)（-5，0）是23或7.

故選C.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，充分、必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義判定即可.

【解答】

解：∵雙曲線C的方程是：，

∴漸近線方程是：y=±，

又∵雙曲線=-1的漸近線方程也是y=±，

∴根據(jù)充分、必要條件的定義可判斷：甲是乙的必要不充分條件，

故選：B

4.【答案】C

【解析】解：∵拋物線方程為y2=4x，∴拋物線分布在一二象限，可得它的開口向右；

又∵2p=4，∴=1，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

綜上所述，拋物線y2=4x開口向右，焦點(diǎn)為（1，0）．

故選：C．

根據(jù)拋物線方程為y2=4x，先定位再定量．

本題給出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的開口方向與焦點(diǎn)坐標(biāo)，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本概念等知識，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】D

【解析】解：由a、b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，知：

在①中，若a∥b，b?α，則a∥α或a?α，故①錯(cuò)誤；

在②中，若a⊥α，b⊥a，則b∥α或b?α，故②錯(cuò)誤；

在③中，a⊥α，b⊥β，a∥b，則由面面平行的判定定理得α∥β，故③正確；

在④中，若α∥β，a?α，b?β，則a與b相交、平行或異面，故④錯(cuò)誤．

故選：D．

在①中，a∥α或a?α；在②中，b∥α或b?α；在③中，由面面平行的判定定理得α∥β；在④中，a與b相交、平行或異面．

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．

6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系和兩條直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，直線的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題.

先分析出當(dāng)直線l與圓心和點(diǎn)P的連線垂直時(shí)弦最短，然后求出直線l的斜率，即可得到直線方程.【解答】解：由已知，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2＝9，

?圓心為（2，0），點(diǎn)P(1，2)在圓內(nèi)，

則圓心和點(diǎn)P所在的直線的斜率為，

而當(dāng)直線l與圓心和點(diǎn)P的連線垂直時(shí)弦最短，

所以直線l的斜率為，

所以方程為，即x-2y+3=0，

故選：A.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查復(fù)合命題真假判斷的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷p，q的真假是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

判斷命題p，q的真假，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

【解答】

解：由25-k=k-9時(shí)，2k=34，得k=17時(shí)，方程不表示橢圓，即命題p是假命題，

若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則，

即，得k＜9，即命題q是真命題，

則（￢p）∧q為真命題，其余為假命題，

故選：C．

8.【答案】D

【解析】解：由直線（t為參數(shù)）消去參數(shù)可得x+2y-=0，

設(shè)與橢圓相切且與x+2y-=0平行的直線為x+2y+m=0．

聯(lián)立，化為8y2=4my+m2-16=0，

令△=16m2-32（m2-16）=0，化為m2=32．

解得

取m=4，得直線x+2y+4=0．

則直線x+2y-=0與直線x+2y+4=0的距離d==即為所求的橢圓+=1上的點(diǎn)到直線（t為參數(shù)）的最大距離．

故選：D．

由直線（t為參數(shù)）消去參數(shù)可得x+2y-=0，設(shè)與橢圓相切且與x+2y-=0平行的直線為x+2y+m=0．與橢圓方程聯(lián)立，令△=0求得m，再利用兩條平行線之間的距離公式即可得出．

本題考查了直線與橢圓相切的位置關(guān)系、兩條平行線之間的距離公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】AD

【解析】【分析】本題考查異面直線及其所成的角與直線與直線的位置關(guān)系,屬于中檔題.

?先把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，再根據(jù)所給結(jié)論進(jìn)行逐一判定即可得到結(jié)果.

【解答】解：把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，

則AB∥CM，CM⊥EF，所以AB⊥EF，故A正確；

由于∥CM，所以與所成的角為0°，故B錯(cuò)誤；

EA∥MN，EA⊥CD，所以MN⊥CD，故C錯(cuò)誤；

EF與MN為異面直線，EA∥MN，

∴EF與MN所成角即為，

由于△EFA為等邊三角形，

所以=60°，即與所成的角為，故D正確.

所以AD正確.

故選：AD.

10.【答案】BCD

【解析】解：由雙曲線的方程可得a2=m，b2=m2-m+4，

所以c2=a2+b2=m+m2-m+4=m2+4，

所以雙曲線的離心率e===≥=2，

當(dāng)且僅當(dāng)m=，即m=2時(shí)取等號；

所以A不正確，B正確，

離心率最小時(shí)，m=2，這時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：-=1，所以C正確；

由C可得，漸近線的方程為：±=0，可得y=±x，所以D正確；

故選：BCD．

由雙曲線的方程可得a，b的值，進(jìn)而求出c的值，再求雙曲線的離心率，由均值不等式可得離心率的最小值及此時(shí)的m的值，判斷出所給命題的真假．

本題考查雙曲線的性質(zhì)及均值不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

11.【答案】ABD

【解析】解：如圖所示，

∵A1D1∥面ADE，BC∥面ADE，且A1B⊥面ADE，

∴F和A1到面ADE的距離相等，故三棱錐F-ADE與三棱錐A1-ADE的體積相等，A正確；

過D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的截面為四邊形PFDQ，且PF∥QD，DF與PQ不平行，故四邊形PFDQ始終是梯形，B正確；

∵面EMCN∥面A1C1D，而EF總與面A1C1D相交于點(diǎn)E，故不存在這樣的點(diǎn)F，使得EF∥平面A1C1D，C錯(cuò)誤；

∵A1C⊥面BDC1，∴當(dāng)EF∥A1C，即F為BC中點(diǎn)時(shí)，EF⊥面BDC1，故存在這樣的點(diǎn)F，使得EF⊥平面BDC1，D正確．

故選：ABD．

證明F和A1到面ADE的距離相等判斷A；證明PF∥QD且DF與PQ不平行判斷B；證明EF總與面A1C1D相交于點(diǎn)E判斷C；取F為BC中點(diǎn)時(shí)，可得EF⊥面BDC1判斷D．

本題考查空間中直線與平面位置關(guān)系的判定，考查平面的基本性質(zhì)與推理，訓(xùn)練了利用等體積法求多面體的體積，考查邏輯思維能力與推理論證能力，是中檔題．

12.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于較難題．

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷A，直線MN與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系判斷B；根據(jù)拋物線的通徑，判斷C；通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解判斷D即可．【解答】解：拋物線化為x2=y，焦點(diǎn)為F（0，），所以A不正確；

MN過F時(shí)，可知斜率存在，設(shè)方程為y=kx+,

由，可知，則，所以B正確；

若=，則|MN|的最小值為拋物線的通徑長，為2p=，所以C正確；

拋物線x2=y的焦點(diǎn)為F（0，），準(zhǔn)線方程為y=，

取MN中點(diǎn)為P，

過點(diǎn)M、N、P分別作準(zhǔn)線的垂線MM′，NN′，PP′，

則|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|，|MM′|+|NN′|=|MF|+|NF|=，

所以|PP′|==，

所以線段MN的中的P到x軸的距離為|PP′|-==，所以D正確；

故選：BCD．

13.【答案】

【解析】【分析】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

由題意利用點(diǎn)斜式可得直線方程為???????，再利用點(diǎn)到直線的距離和垂徑定理即可得到弦長.【解答】解：設(shè)弦長為l；

∵過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線為

整理圓的方程為，圓心為(0，2)，半徑

∴圓心到直線的距離為，

∴???????；

∴弦長

故答案為：.

14.【答案】

【解析】【分析】本題考查直線的傾斜角和斜率，屬于中檔題.

作出圖形，確定邊界，利用直線的斜率和傾斜角間的關(guān)系，確定直線的斜率的取值范圍.【解答】解：如圖所示：∵點(diǎn)A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l過點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，

∴所求直線l的斜率k滿足k≥kPB

或k≤kPA，∴

∴即直線的斜率的取值范圍是故答案為

15.【答案】

【解析】【分析】本題考查學(xué)生對球的性質(zhì)的使用和對公式的利用，其中根據(jù)已知求出球的半徑是解答的關(guān)鍵，因?yàn)橥饨忧虻那蛐牡?頂點(diǎn)的距離相等，可知其球心位置和球的半徑，即可求出球的體積.【解答】解：如圖，折疊后的圖形為三棱錐A-BCD，且平面ABD⊥平面BCD，

取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，

∵AB=AD=1，

∴AE⊥BD，

同理，CE⊥BD，

∴∠AEC=90°，

∴EA=EB=EC=ED=，

即E為外接球球心O，R=,

∴球O的體積V=πR3=，

故答案為.

16.【答案】（x-5）2+y2=16

【解析】解：∵c2=169-144=25，∴橢圓的右焦點(diǎn)為F（5，0），

∴所求圓的圓心坐標(biāo)是（5，0）．

∵雙曲線的漸近線方程是，

由點(diǎn)到直線的距離公式可知（5，0）到的距離=4，

∴所求圓的半徑為4．

故所求圓的方程是（x-5）2+y2=16．

答案：（x-5）2+y2=16．

求出橢圓的右焦點(diǎn)得到圓心，再求出雙曲線的漸近線，由圓心到漸近線的距離得到圓的半徑，由此可以得到圓的方程．

求出圓的圓心和半徑，就得到圓的方程．

17.【答案】解：∵直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，

∴，

∴．

∴P（0，2）,

又∵直線l與垂直，

∴直線l的斜率為-,

∴所求直線方程為，

即4x+3y-6=0．

?故答案為4x+3y-6=0．

【解析】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，考查直線方程的點(diǎn)斜式，屬于基礎(chǔ)題.

?首先求出兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn)為P（0，2），再根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)可得直線l的斜率為-，從而得到直線方程．

18.【答案】(1)由條件知點(diǎn)在圓上，所以，則。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為,，此時(shí)切線方程為，即。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為,，此時(shí)切線方程為，即。所以所求的切線方程為或即.

【解析】試題分析：本題考查直線與圓相切的性質(zhì)。切線的斜率與直線OM垂直，可求得切線的斜率。又過點(diǎn)M，則可利用點(diǎn)斜式寫出切線方程。

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系、基本不等式

19.【答案】（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，

???????

又∵F是BC的中點(diǎn)，

∴；

∵E是A1C1的中點(diǎn)，

∴FG∥EC1，F(xiàn)G=EC1，

∴四邊形FGEC1為平行四邊形，

∴C1F∥EG，

∵C1F?平面EAB，EG?平面EAB，

∴C1F∥平面EAB；

（Ⅱ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，

∴，

∴=

???????．

則三棱錐???????的體積為.

【解析】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力,屬于中檔題.

（Ⅰ）取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，證明四邊形FGEC1為平行四邊形，推出C1F∥EG，然后利用直線與平面平行的判定定理證明C1F∥平面EAB；

（Ⅱ）由AB⊥BC，求出AB，然后求解幾何體的體積即可．

20.【答案】解法一:

解：(I）設(shè)

，

∵

，

∴

是線段

的中點(diǎn)，∴

，①，

.②，∵

，∴

.

∴

，依題意知

，

∴

.③，

把②、③代入①得：

，即

.

∴點(diǎn)

的軌跡方程為

.

(II)解：依題意得四邊形

是矩形，

∴四邊形

的面積為

，

，

∵

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號成立，

∴

.

∴四邊形

的面積的最小值為

.

解法二:

解:(I)依題意,知直線

的斜率存在,設(shè)直線

的斜率為

,

由于

,則直線

的斜率為

.

故直線

的方程為

,直線

的方程為

.

由

消去

,得

.

解得

或

,

∴點(diǎn)

的坐標(biāo)為

.同理得點(diǎn)

的坐標(biāo)為

.

∵

，

∴

是線段

的中點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)

的坐標(biāo)為

,

則

消去

,得

.

∴點(diǎn)

的軌跡方程為

.

(II)依題意得四邊形

是矩形，

∴四邊形

的面積為

,

,

.

當(dāng)且僅當(dāng)

,即

時(shí),等號成立.

∴四邊形

的面積的最小值為

.

【解析】本小題主要考查拋物線、求曲線的軌跡、均值不等式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識)，屬于中檔題.（I）由題意得，依題意,知直線

的斜率存在,設(shè)直線

的斜率為

,再運(yùn)用數(shù)量積公式即可求解；（II）依題意得四邊形

是矩形，再運(yùn)用四邊形的面積公式即可求解.

21.【答案】解：解法一：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為O，連結(jié)PO，CO，CD．

由已知，△PAD為等邊三角形．

所以PO⊥AD．

又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD，

所以PO⊥平面ABC．

所以∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．

不妨設(shè)AB=4，則PD=2，，OD=1，.

在Rt△OCD中，.

所以，在Rt△POC中，.

故直線PC與平面ABC所成的角的大小為.

（2）過D作DE⊥AP于E，連結(jié)CE.

由已知可得，CD⊥平面PAB．

根據(jù)三垂線定理知，CE⊥PA．

所以∠CED為二面角B－AP－C的平面角．

由（1）知，.

在Rt△CDE中，.

故二面角B－AP－C的大小為arctan2.

解法二：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，作PO⊥AB于點(diǎn)O，連結(jié)CD．

因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD，

所以PO⊥平面ABC．

所以PO⊥CD．

由AB=BC=CA，知CD⊥AB．

設(shè)E為AC中點(diǎn)，

則EO∥CD，從而OE⊥PO，OE⊥AB．

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原