高中物理競賽熱學

子占據(jù)的空間VVM/子占據(jù)的空間VVM/A1高中物競賽——熱一．分動理論1、物質是由大量分子組成的（注意分子體積和分子所占據(jù)空間的區(qū)別）對于分子（單原子分子）間距的計算，氣體和液體可直接用，對固體，則與分子的空間排列（晶體的點陣）有關?！纠}1】如圖6-1所示，食鹽（NCl）的晶體是由鈉離子（圖a中的白色圓點表示）和氯離子（圖中的黑色圓點表示）組成的，離子鍵兩兩垂直且鍵長相等。已知食鹽的摩爾質量為

－3

kg/mol，密度

3

kg/m

3

，阿伏加德羅常數(shù)6.0×10

23

mol

－1

，求食鹽晶體中兩個距離最近的鈉離子中心之間的距離?！窘庹f】題意所求即圖中任意一個小立方塊的變長（設為a）的

倍，所以求a成為本題的焦點。由于一摩爾的氯化鈉含有N氯化鈉分子，事實上也含2NAA鈉離子（或氯離子所以每個鈉離子占據(jù)空間為v=2NA而由圖不難看出，一個離子占據(jù)的空間就是小立方體的體積

3

，a即a3==，最后，鄰近鈉離子之間的距離=2N2NAA【答案】3.97×10－10m。〖思考〗本題還有沒有其它思路？〖答案〗每個離子都被八個小立方體均分，故一個小立方體含有

1

個離子=

1

分子，82所以…（此法普遍適用于空間點陣比較復雜的晶體結構2、物質內的分子永不停息地作無規(guī)則運動固體分子在平衡位置附近做微小振動（振幅數(shù)量級為0.1數(shù)可以脫離平衡位置運動。液體分子的運動則可以用“長時間的定居（振動）和短時間的遷移”來概括，這是由于液體分子間距較固體大的結果。氣體分子基本“居無定所停地遷移（常溫下，速率數(shù)量級為102m/s無論是振動還是遷移，都具備兩個特點：a、偶然無序（雜亂無章）和統(tǒng)計有序（分子數(shù)比率和速率對應一定的規(guī)律——如麥克斯韋速率分布函數(shù)6-2所示、劇烈程度和溫度相關。氣體分子的三種速率。最可幾速v：f(v)=P

N

（其中ΔN表示v到v+Δv內分子數(shù)，N表示分子總數(shù)）極大時的速率，v

P=

=

2kT

；平均速率

v

：所有分子速率的算術平均值，

v=

8RT

=

；方均根速率

：與分子平均動能密切相關的一個速率，

=

3RT

=

3kT

〔其中普適氣體恒量，R8.31J/(mol.K)。k玻耳茲曼常量，k=v=3N=總nm=xv=3N=總nm=x2

=1.38×10

－23

J/K〕

A【例題2】證明理想氣體的壓P=

n

K

其中n為分子數(shù)密度，為氣體分子平均動能。K【證明】氣體的壓強即單位面積容器壁所承受的分子的撞擊力里可以設理想氣體被封閉在一個邊長a立方體容器中，如圖6-3所示?？疾閥oz平面的一個容器壁，P=

2

①設想在Δt時間內，有N個分子（設質量為m）沿x方向以x恒定的速率v撞該容器壁且碰后原速率彈回則根據(jù)動量定x理，容器壁承受的壓力F=

=

N?2mvx

x

②在氣體的實際狀況中，如何尋求Nv？xx考查某一個分子的運動，設它的速度為v，它沿x、y、z三個方向分解后，滿足v

2

=

v

x

++y

v

分子運動雖然是雜亂無章的，但仍具有“偶然無序和統(tǒng)計有序”的規(guī)律，即v

=

v

+

v

+

vv

③這就解決了的問題。另外，從速度的分解不難理解，每一個分子都有機會均等的碰撞3x個容器壁的可能。設Δt=

avx

，則N=x

·3N

總

=

na

3

④注意，這里的

是指有6個容器壁需要碰撞，而它們被碰的幾率是均等的。結合①②③④式不難證明題設結論。〖思考〗此題有沒有更簡便的處理方法？〖答案〗有令”所有分子以相同的速v沿+x、?x、?y、+z?z這6個方向運動（這樣造成的宏觀效果和“雜亂無章”地運動時是一樣的則N

x

=

na

3

；而且v=vx所以，P=

a2

=

N?2mvx?

x

=

16

naavx

a

x

=

12v33

n

K3、分子間存在相互作用力（注意分子斥力和氣體分子碰撞作用力的區(qū)別引力和斥力同時存在宏觀上感受到的是其合效果。分子力是保守力，分子間距改變時，分子力做的功可以用分子勢能的變化表示，分子勢能E隨分子間距的變化關系如圖6-4P所示。分子勢能和動能的總和稱為物體的內能。二、內能22222231．物體的內能(1)自由度i：即確定一個物體的位置所需要的獨立坐標系數(shù)。如自由運動的質點，需要用三個獨立坐標來描述其運動，故它有三個自由度。（2）物體的勢能(3)物體中所有分子熱運動的動能和分子勢能的總和稱為物體的內能。2．理想氣體的內能理想氣體的分子之間沒有相互作用，不存在分子勢能。因此理想氣體的內能是氣體所有分子熱運動動能的總和，它只跟氣體的分子數(shù)和溫度有關，與體積無關。分子熱運動的平均動能：EK

K

E

K2

E

K3

1v1/1mv2n2

2理想氣體的內能可以表達為：imiiENkTPVM2注意：N/NA=m/M=n，R=NAk對于單原子分子氣體i=3，對于雙原子分子氣體。一定質量的理想氣體的內能改變量：二、改變內能的兩種方式

1．做功和傳熱

A2．功的計算(1)機械功

D

B(2)流體體積變化所做的功

O

V氣體對外界所作的元功：ΔW｜=pSΔx=pΔV。外界(活塞)對氣體做元：ΔW=-｜=-pΔV；功W=∑ΔWi=-∑piΔVi。當氣體膨脹時ΔV＞0，外界對氣體做功W＜0；氣體壓縮時ΔV＜0，外界對氣體做功。準靜態(tài)過程可用p-V上一條曲線來表示，功值W為p-V圖中過程曲線下的面積，當氣體被壓縮時W＞0，反之W＜0。3.熱傳遞內能從一個物體轉移到另一個物體，或者從物體的一部分轉移到同一物體的鄰近部分的過程叫熱傳遞。熱傳遞的方式有三種：對流、傳導和輻射對流熱傳導※如果導熱體各點溫度不隨時間變化，這種導熱過程稱為穩(wěn)定導熱，在這種情況下，考慮長度為l，橫截面積為S柱體，兩端截面處的溫度為T1，T2且T1>T2，則熱量沿著柱體長度方向傳遞，在△t時間內通過橫截面S所傳遞的熱量為：Tl

S式中K為物質的導熱系數(shù)。固體、液體和氣體都可以熱傳導，其中金屬的導熱性最好，液體除V2V24水銀和熔化的金屬外，導熱性不好，氣體的導熱性比液體更差。石棉的熱傳導性能極差，因此常作為絕熱材料。（3）熱輻射一切物體都發(fā)射并吸收電磁波。物體發(fā)射電磁波又稱熱輻射，發(fā)射出的是不同波長的電磁波。溫度越高，輻射的能量越多，輻射中短波成份比例越大。一定時間內物體輻射能量的多少以及輻射能量按波長的分布都與物體的溫度有關，這種與溫度有關的輻射稱為熱輻射。熱輻射在真空環(huán)境中也能進行；熱輻射與周圍物體的溫度高低是無關的。三、熱力學第一定律．熱力學第一定律．熱量的計算熱容質量為m比熱為c的系統(tǒng)在一個熱力學過程中升（或降低溫度為△則該系統(tǒng)吸（或放出）的熱量為：cm定義熱容：

，式中cn為摩爾熱容，n為摩爾數(shù)。結合熱力學第一定律，可得：pC※3．氣體的自由膨脹四、熱力學第一定律對理想氣體熱力學過程的應用1．理想氣體的等容過程T

量

，

Wp

。QnV

i

iC式中：定容，又稱之為定容摩爾熱容。2．理想氣體的等壓過程VT

量

，

W

，Q=nCpΔT，inCi定壓摩爾熱容量Cp與定容摩爾熱容量的關系有Cp=Cv+R=。3．理想氣體的等溫過程pV=恒量，△E=0，Q=-W。在等溫膨脹過程中，體積從變?yōu)閂2，吸熱為：

=ln

21或R2p或R2p5在等溫壓縮過程中，體積從變?yōu)閂2，放熱為：

=ln

124．理想氣體的絕熱過程氣體始終不與外界交換熱量的過程稱之為絕熱過程，即。pVT

。i(VpV)11絕熱過程的狀態(tài)方程是：

VVV112

-1

22

-1其中：

iCCiV2

ii5．其他過程氣態(tài)方程：

nRT熱力學第一定律：△E=W+Q=nCV△T功：p-V圖中過程曲線下面積，要注意功的正負。過程方程：由過程曲線的幾何關系找出過程的p～V關系式?！?、熱力第二定律1．循環(huán)過程熱機物質系統(tǒng)由某一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)歷一系列的變化過程又回到初始狀態(tài)，這樣的周而復始的變化過程為循環(huán)過程，簡稱循環(huán)。在圖上，物質系統(tǒng)的循環(huán)過程用一個閉合的曲線表示。經(jīng)歷一個循環(huán)，回到初始狀態(tài)時，內能不變，因此△。利用物質系統(tǒng)稱為工作物質)持續(xù)不斷地把熱轉換為功的裝置叫做熱機。熱機循環(huán)過程在P-V圖上是一根順時針繞向的閉合曲線熱機效率表示吸收來的熱量有多少轉化為有用的功，是熱機性能的重要標志之一，效率的定義為：

/-Q

獲得低溫裝置的致冷機也是利用工作物質的循環(huán)過程來工作的，不過它的運行方向與熱機中工作物的循環(huán)過程相反。2．卡諾循環(huán)卡諾循環(huán)是在兩個溫度恒定的熱源之間工作的循環(huán)過程。卡諾熱機的效率為：

T12T1致冷機的功效常用從低溫熱源中吸熱和所消耗的外功W的比值來量度，稱為致冷系數(shù)，即：TT6。3．熱力學第二定律違背熱力學第一定律的過程都不可能發(fā)生，不違背熱力學第一定律的過程不一定都可以發(fā)生。自然過程是按一定方向進行的。表述1：不可能制成一種循環(huán)動作的熱機，只從一個熱源吸取熱量，使之全部變?yōu)橛杏玫墓Γ渌矬w不發(fā)生任何變化。表述2：不可能將熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其它變化（即熱量不會自動地從低溫物體傳到高溫物體）在表述1中，我們要特別注意“循環(huán)動作”幾個字，如果工作物進行的不是循環(huán)過程，如氣體作等溫膨脹，那么氣體只使一個熱源冷卻作功而不放出熱量便是可能的。表述1與表述2具有等價性，是相互依存的。4．卡諾定理卡諾循環(huán)中每個過程都是平衡過程，所以卡諾循環(huán)是理想的可逆循環(huán)?？ㄖZ定理指出：(1)在同樣高溫(溫度為T1)低溫(溫度為T2)之間工作的一切可逆機，不論用什么工作物，效T-）率都等于。2）(2)在同樣高低溫度熱源之間工作的一切不可逆機的效率不可能高于可逆機即：1。5．熱力學第二定律的統(tǒng)計意義內能、熱力學定律典型例題【例】一箱理想氣體，由個分子組成，用mi示第i個分子的質量，vi示第i分子的相對箱子無規(guī)則運動的速度i=1，2…若整箱氣體又以恒定的速u運動，求此箱氣體的總動能和內能．【例2質量為m1的圓筒水平地放置在真空中質量為厚度可忽略的活塞將圓筒分為體積相同的兩部分，如圖所示。圓筒的封閉部分充有n摩爾的單原子理想氣體氦，氣體的摩爾質量為M，溫度為T0，突然放開活塞，氣體逸出。試問圓筒的最后速度是多少？設摩擦力、圓筒和活塞的熱交換以及氣體重心的運動均忽略不計(T0=273K，m1=0.6kg，m2=0.3kg，n=25mol氦的摩爾質量為M＝4×10-3kg/mol，γ=5/3）ⅡⅠ

Ⅲ【例3】橫截面積S和αS(α＞1)，長度相同的兩圓柱形“對7接”的容器內盛有理想氣體，每個圓筒中間位置有一個用硬桿相連的活塞，如圖所示。這時艙Ⅰ內氣體壓強為p1艙Ⅲ內氣體壓強為活塞處于平衡整個系統(tǒng)吸收熱量溫度上升，使各艙溫度相同。試求艙Ⅰ內壓強的變化1mol氣體內能為CT(C是氣體摩爾熱容量，圓筒和活塞的熱容量很小，摩擦不計?！纠繉⒍葹?7的氦氣，以的向速度注入體積為真空容器中，容器四周絕熱。求平衡后的氣體壓強?！纠?】絕熱容器A經(jīng)一閥門與另一容積比的容積大得多的絕熱容器B相連。開始時閥門關閉，兩容器中盛有同種理想氣體，溫度均為℃，B氣體的壓強是A中的兩倍?，F(xiàn)閥門緩慢打開，直至壓強相等時關閉。問此時容器A中氣體的溫度為多少？假設在打開到關閉閥門的過程中處在A中的氣體與處在B中的氣體之間無熱交換已知每摩爾該氣體的內能為。【例6】一根長為的玻璃管，上端封閉，插入水銀中。水銀充滿管子的一部分。封閉體積內有空氣1.0×10-3mol，如圖所示，為76cmHg。空氣的定容摩爾量，當玻璃管溫度

降低10℃時，求封閉管內空氣損失的熱量。

【例7】一臺四沖程內燃機壓縮比r=9.5熱機抽出的空氣和氣體燃料的溫

V

rV

V

8度為27℃，latm=105Pa壓強下的體積為9.5V0，如圖所示，1→2是絕熱壓縮過程；2→3混合氣體燃爆壓強加倍從→4活塞外推氣體絕熱膨脹至體積這時排氣閥門打開，壓強回到初始值latm(壓縮比是氣缸最大與最小體積比，γ是比熱容比。求：確定狀態(tài)1、2、3、4的壓強和溫度；求此循環(huán)的熱機效率?！纠?一卡諾致冷機從溫度為-10℃的冷藏室吸取熱量而向溫度為20℃的物體放出熱量。設